Различные подходы к определению проективной плоскости - (реферат)
p>Вывод: точки Е1, Е2, Е3 не лежат на одной прямой и эти точки Е1, Е2, Е3 линейно независимы.На каждой прямой лежит не менее трех точек.
Доказательство: Прямой lОP2 соответствует в векторном пространстве V3 двумерное подпространство V2. Пусть V2 натянуто на векторыa и b. Вектор с = a + b, сОV2. Соответствующие точки А, В, СОl и различны. Вывод: На каждой прямой лежит не менее трех точек.
Замечание: Любая четверка точек проективной плоскости линейно зависима.
1. 3. Модели проективной плоскости.
Связка прямых в трехмерном евклидовом пространстве Е3.
Связкой прямых в Е3 называется множество прямых пространства проходящих через некоторую фиксированную ().
Эта () - называется центром связки.
Пространство Е3 построено на базе V3. Зададим отображение jмножества ненулевых векторов на связку по закону каждому вектору A поставим в соответствии прямую ОА связки, чтобы ОА// a.
Проверим выполняемость аксиом проективной плоскости.
1)j- сюрьективно, так как у " прямой ОМ всегда будет хотя бы один прообраз вектор m // ОМ 2)если 2 вектора коллинеарны a // a1, то образы совпадают - это будет прямая ОА, j(a)=j(a1)=OA. Если образы 2-х векторов совпадают, то векторы коллинеарны. Построенная конструкция является моделью проективной плоскости. Роль проективных точек в этой модели выполняют прямые связки, с роль проективных прямых выполняют плоскости связки.
Проанализируем, как выполняются свойства проективной плоскости. Свойства проективной плоскости
Реализация на модели
1)Через две любые точки проходит единственная прямая
2)" две прямые на проективной плоскости пересекаются
3)$ три () не лежащие на одной прямой
4) на каждой прямой лежит не менее трех точек
1)Через две прямые связки проходит единственная плоскость связки 2)" две плоскости связки пересекаются по прямой связки
3)$ три прямые связки не лежащие в одной плоскости связки
4)Каждой плоскости связки принадлежит не менее трех прямых этой связки 2)Рассмотрим вторую модель - расширенная евклидова плоскость. Рассмотрим в пространстве связку с центром в ()О и плоскость p не проходящую через ()О и зададим отображение j плоскости p в связку с центром в ()О по закону: "()А плоскости p ставится в соответствии прямая ОА.
j- биективно? т. е. любой ли прямой связки будет соответствовать прообраз? Ответ: нет. Прямые связки параллельныеpне имеют прообразов и такие прямые называют особыми. Таких прямых будет бесчисленное множество и все они лежат в плоскости связки, которая параллельнаp. Такую плоскость назовем особой плоскостью. Для того, чтобы отображение jсделать биективным и получить новую модель проективной плоскости дополним евклидову плоскостьp "несобственными элементами".
Рассмотрим особую прямую связки m, m // p, и проведем через эту прямую не особую плоскость a, a(m)З p =a, a// m. " прямая (не особая прямая) связки Оa имеет свой прообраз на прямой a. Поставим в соответствие прямой m не собственную ()М Ґ, которая Оa.
Проведем через особую прямую m другую не особую плоскость b b(m)З p =b, a // b // m, так как каждая не особая прямая b имеет прообраз на прямую b, то прообраз особой прямой m не собственная ()МҐОb. Если рассмотрим другую особую прямую n, то должны поставить в соответствие свою несобственную ()NҐ. Каждая не особая плоскость связки имеет на плоскости p своим прообразом прямую пересечения этой плоскости с плоскостью p. a-a, b-b. Поставим в соответствие особой плоскости несобственную прямую lҐ, тогда так как все особые прямые лежат в единственной особой плоскости, то все несобственные точки лежат на единственной несобственной прямой. Определение: Расширенной евклидовой плоскостью pназывается евклидова плоскость дополненная несобственными элементами: несобственными точками и единственной несобственной прямой, причем все прямые параллельные между собой дополняются одной и той же несобственной точкой и все несобственные точки лежат на единственной несобственной прямой. Отображение j: p ®связку стало биективным, так как связка прямых является моделью проективной плоскости, то и расширенная плоскостьp является моделью проективной плоскости. Роль проективных точек в этой модели выполняют собственные и несобственные точки. Роль проективных прямых выполняют собственные прямые плоскостиp и несобственная прямая.
Рассмотрим выполняемость свойств проективной плоскости на построенной модели. Свойства проективной плоскости
Выполнение свойств на модели
1)через две любые точки проходит единственная прямая
2)" две прямые пересекаются
а)()А, В собственные и через них проходит единственная прямая АВ б) А, ВҐ
через А проводим прямую a¤¤b прямая АВҐ
в)АҐ, ВҐ- лежат на единственной несобственной прямой lҐ.
2) а)a, b- собственные aЗb=А
б)a, b собственные но с евклидовой точки зрения ¤¤, а как прямые расширенной плоскости aЗb=АҐ в)a, bҐ
AҐОA, AҐОbҐ Ю AЗbҐ=AҐ
3)Третья модель проективной плоскости.
В трехмерном евклидовом пространстве дана сфера. Под ()М будем понимать две диаметрально противоположные точки сферы, под прямой множество пар диаметрально противоположных точек лежащих на окружности большого радиуса. Докажем, что построенное множество является проективной плоскостью. ()N=нN', N''э, ()K=нK', K''э.
Рассмотрим связку с центром в ()О и зададим отображение j: A®нA', A''э(прямой связки соответствует пара диаметрально противоположных точек пересечения этой прямой со сферой). j - биективно Ю построенная конструкция является моделью проективной плоскости. Проверим выполняемость свойств проективной плоскости.
Свойства:
1)Через " две точки проходит единственная прямая
- через две пары диаметрально противоположных точек сферы нМ', М''э и нN', N''э проходит единственная окружность большого радиуса. 2)" две прямые проективной плоскости пересекаются
"две окружности большого радиуса пересекаются в диаметрально противоположных точках.
3)$ три точки не лежащие на одной прямой
-$ три пары диаметрально противоположных точек П одной окружности большого радиуса. Например: точки N={N', N''}, K={K', K''}, P={P', P''}. 4)На каждой прямой лежит не менее трех точек
рассмотрим окружность большого радиуса через ()О можно провести три различных диаметра, каждый диаметр пересекает данную окружность в диаметрально противоположных точках. Это означает, что на каждой прямой лежит не менее трех точек.
1. 4. Теорема Дезарга.
При данном способе построения проективной плоскости имеет место теорема Дезарга, которая гласит:
Теорема: Если прямые проходящие через соответствующие вершины двух трехвершинников пересекаются в одной точке, то точки пересечения соответствующих сторон этих трехвершинников лежат на одной прямой.
ABЗA'B'=P, ACЗA'C'=Q, BCЗB'C'=R, AA'ЗBB'ЗCC'=O,
P, Q, R- лежат в одной прямой?
Доказательство:
Рассмотрим векторы O, A, A', B, B', C, C', P, Q, R порождающие соответствующие (), так как А, А', О лежат на одной прямой, то векторы порождающие их линейно зависимы, т. е. O=aA + a'A'. Из того, что В', В, О - лежат на одной прямой Ю В, В', О- линейно зависимы Ю O= bB + b'B' ()С, С', О - лежат на одной прямой Ю O= cC + c'C'
aA + a'A' = bB + b'B' = cC + c'C'
aA - bB = b'B' - a'A' = P (1)
А, В, Р - линейно зависимы Ю () А, В, Р О одной прямой, А', В', Р'- линейно зависимы Ю()А', В', Р' О одной прямой. P=ABЗA'B'
aA - cC = c'C' - a'A' (2)
А, С, Q- линейно зависимы Ю()А, С, Q О одной прямой.
А', С', Q'- линейно зависимы Ю()А', С', Q' О одной прямой.
Следовательно, Q=АСЗА'С'
bB - cC = c'C' - b'B' = R (3)
В, С, R –линейно зависимы Ю()В, С, R О одной прямой.
В', С', R' –линейно зависимы Ю()В', С', R' О одной прямой
Следовательно, R=ВСЗВ'С'.
Составим выражение:
- векторы линейно зависимы Ю ()P, Q, R лежат на одной прямой. Теорема доказана.
Принято называть трехвершинники, удовлетворяющие теореме Дезарга, дезарговыми. ()О=АА'ЗВВ'ЗСС'- дезарговой, прямую, которой принадлежат точки P, Q, R - дезарговой. Для теоремы Дезарга имеет место обратная теорема:
Если точки пересечения соответственных сторон двух трехвершинников лежат на одной прямой, то прямые, проходящие через соответственные вершины этих трехвершинников, проходят через одну точку.
Замечание: Трехвершинник - это фигура, которая состоит из трех точек не лежащих на одной прямой и прямых проходящих через каждую пару этих точек.
А, В, С- вершины прямые АВ, ВС, АС- стороны
1. 5. Теорема Паппа.
Следующей составляющей данной теории является теорема Паппа- Паскаля, которая является частным случаем теоремы Паскаля. Сформулируем теорему Паскаля.
рис. 1
Теорема Паскаля: Для того, чтобы шесть точек, из которых никакие три не лежат на одной прямой принадлежали овальной кривой, необходимо и достаточно, чтобы точки пересечения соответствующих сторон шестивершинника* лежали на одной прямой. AB’ЗA’B=P, AC’ЗA'C=Q, BC’ЗB’C=R. (рис. 1) P, Q, R принадлежат прямой (прямая Паскаля)
