Различные подходы к определению проективной плоскости - (реферат)
p>Определение: Проективной плоскостью S называют множество, элементами которого именуются точками, и набор его подмножеств, именуемых прямыми, если при этом выполняются следующие четыре аксиомы.П1. Через две различные точки P и Q плоскости S можно провести единственную прямую. П2. " две прямые пересекаются по меньшей мере в одной точки. П3. $ три неколлинеарные точки.
П4. Прямая содержит, по меньшей мере, три точки.
3. 3. Модели проективной плоскости.
1)Рассмотренная ранее расширенная евклидовая плоскость есть модель проективной плоскости.
Доказательство: Проверим выполнение четырех аксиом П1-П4.
П1. Пусть P и Q О
1. Если Р и Q - собственные (), то через них можно провести только одну прямую. 2. Если Р - собственная точка p, а Q- несобственная точка, то по аксиоме А2 $ прямая m, такая, что РОm и m || l, так , что Q О пополнению прямой m до прямой из p. Прямая m -единственная прямая p, проходящая через Р и Q. 3. Если Р и Q несобственные (), то через них проходит единственная несобственная прямая.
П2. Пусть заданы прямые l и m.
1. Если l и m - несобственные прямые и l || m, то они пересекаются в некоторой точке. Если l || m, то они пересекаются в несобственной точке РҐ. 2. Если l - собственная прямая, а m - несобственная прямая, то они пересекаются в несобственной точке РҐ. П3. Непосредственно следует из А3. Необходимо только проверить, что если Р и Q и R неколлинеарны в А, то они не будут коллинеарны вp. Действительно, в p $только одна (несобсвтенная) прямая, не принадлежащая А, но () Р, Q, R ей не принадлежат.
П4. Каждая прямая плоскости А содержит хотя бы две (). Но в pкаждая прямая содержит еще и несобственную точку, поэтому она содержит не менее трех точек.
2) Пополняя аффинную плоскость А из четырех (), мы получим проективную плоскость S1 из семи точек.
Докажем это: Проверим выполнение четырех аксиом П1-П4.
Определим () пересечения прямых АВЗCD=NҐ, BCЗAD=MҐ, АCЗBC=PҐ NҐ, PҐ, MҐ О одной несобственной прямой. П1. Через две различные () плоскости можно провести единственную прямую. Если А, В - собственные (), то через них можно провести только одну прямую из А. () А, ВОнесобственной прямой, поэтому и в S1 через них можно провести единственную прямую.
Рассмотрим А- собственная () и NҐ- несобственная (). Через эти точки проходит единственная прямая, так как () NҐ определена как пересечение прямых АВ и CDЮNҐОАВ. Пусть имеем не собственные точки, через них проходит несобственная прямая S1 и она единственная.
П2. " две прямые пересекаются по меньшей мере в одной точке. Справедливость аксиомы П2 следует из определения S1.
П3. $ три неколлинеарные точки.
Непосредственно следует из построения аффинной плоскости А. А мы дополнили точкамиNҐ, PҐ, MҐ(несобственными, которые принадлежат одной несобственной прямой). И поэтому точки не коллинеарные в А будут неколлинеарные в S1.
П4. Каждая прямая плоскости А содержит хотя бы две точки. В S1 каждая прямая содержит несобственную точку. Следовательно прямая в S1 содержит не менее трех точек.
Все аксиомы проективной плоскости выполняются, следовательно, S1 - проективная плоскость.
3) Связка прямых евклидова трехмерного пространства - модель проективной плоскости, построенной на аксиомах П1-П4.
Действительная проективная плоскость (множество упорядоченных троек действительных чисел, одновременно не равных нулю), рассмотренная ранее, удовлетворяет аксиомам П1-П4.
3. 4. Теорема Дезарга.
Одним из важных результатов проективной геометрии является теорема Дезарга, которая утверждает следующее:
П5 (теорема Дезарга)
Если прямые проходящие через соответственные вершины двух трехвершинников пересекаются в одной (), то () пересечения соответственных сторон этих трехвершинников лежат на одной прямой.
P=ABЗA’B’ AA’ЗBB’ЗCC’=0
Q=ACЗA’C’
R=BCЗB’C’
P, Q, R лежат на одной прямой.
В рамках теории, которую мы строим, не совсем правильно называть это утверждение “теоремой”, потому что нельзя доказать, исходя только из аксиом П1-П4. Примем это утверждение за аксиому П5. Хотя при первом и втором способе построения проективной плоскости это утверждение выступает как теорема. Покажем, что П5 не есть следствие П1-П4, а именно, построим геометрию, удовлетворяющую аксиомам П1-П4, но не удовлетворяющую П5.
Определение: Конфигурацией называют множество элементов, именуемых точками, и набор его подмножеств, именуемых прямыми, если при этом выполняется аксиома. К1. Две различные () принадлежат не более чем одной прямой. Отсюда следует, что две различные прямые имеют не более одной общей точки Примеры: Любая аффинная и "проективная плоскость являются конфигурациями. Набор 10 точек и 10 прямых теоремы Дезарга - тоже конфигурация.
Пусть p0- некоторая конфигурация. Мы определим свободную проективную плоскость П, порожденнуюp0.
Пусть p1- новая конфигурация, определенная следующим образом. Точками p1 являются точки p0. Прямыми p1 являются все прямые p0; кроме того, каждая пара точек Р1, Р2О p0 не принадлежащая прямой из p0, задает новую прямую н Р1, Р2э из p1. Тогда p1 обладает следующим свойством;
а) " две различные ()p1 принадлежат одной прямой. Построим p2, исходя из p1, следующим образом. Точками p2 служат все точки p1; кроме того, каждая пара непересекающихся прямых l1, l2 задает новую точку l1Зl2. Прямыми p2 служат прямые p1, пополненные новыми точками; например, () l1Зl2 О дополненным прямым l1 и l2. Тогда p2 обладает следующим свойством. б) " две различные прямые имеют общую точку; продолжим это построение. Для четных n мы построим pn+1 из pn, добавляя к прямым pn новые прямые; для нечетных n мы построим pn+1 из pn, добавляя к () pn новые точки. Пусть теперь П= Иpn
Элементы конфигураций pn мы назовем точками П; далее, прямой П мы назовем подмножество LНП, такое, что LЗpn есть прямая из pn для всех достаточно больших n. Предложение 1: Если p0 содержит по меньшей мере четыре точки, никакие три из которых не принадлежат одной прямой, то П - проективная плоскость.
Доказательство: pn удовлетворяет б) для четных n и удовлетворяет а) для нечетных n Ю на П выполняются оба свойства а) и б), то есть П удовлетворяет П1 и П2. Если P, Q, R неколлинеарны на p0, значит, П3, тоже выполняется. Покажем, что в П каждая прямая содержит хотя бы три точки.
Каждая прямая из П определяется двумя точками.
По П2: " две прямые имеют общую ()
Пусть l: нP1, P2э, m: нP3, Р4э; по П2: lЗm=P5ЮP5Оl, P5Оm
Получим, каждая прямая содержит хотя бы три точки.
Все аксиомы проективной плоскости выполняются Ю П- проективная плоскость. Определение: Ограниченной конфигурацией называется конфигурация, у которой каждая () принадлежит не менее чем трем прямым, а каждая прямая содержит не менее трех различных точек.
Пример: Конфигурация теоремы Дезарга ограничена.
Предложение 2: " конечная ограниченная конфигурация из П содержится в p0. Доказательство: Уровнем () РОП мы назовем наименьшее nі0, такое, что РОpn. Уровнем прямой LНП мы назовем наименьшее nі0, такое, что LЗpn - прямая. Пусть S - ограниченная конечная конфигурация из П, и пусть n- максимальный из уровней всех точек и всех прямых из S. Предположим, что n - уровень какой-то прямой LНS(Если максимальный уровень достигается для точки, то доказательство аналогично).
Тогда lЗpn - прямая, а lЗpn-1 не является прямой. Если n=0, то все доказано, SНp0. Предположим, что n>0. Тогда l возникла как прямая, соединяющая две () из pn-1, не принадлежащие в pn-1 одной прямой. Но в S уровень всех точек Ј n, а значит, они принадлежат pn, то есть lсодержит не более двух таких точек. Полученное противоречие и доказывает наше предложение.
Пример: Недезаргова проективная плоскость.
Пусть p0 состоит из четырех точек и не содержит ни одной прямой, П- свободная проективная плоскость порожденнаяp0.
В качестве следствия из предыдущего предложения получаем, что П бесконечно; следовательно, "прямая содержит бесконечно много точек. Значит можно выбрать четыре () О, А, В, С, " три из которых неколлинеарны, и затем А’на ОА, B' на ОВ, С’ на ОС так, что они образуют семь различных точек, причем A’, B’, C’ неколлинеарны. Тогда построим Р=АВЗА’В’, Q=ACЗA’C’, R=BCЗB’C’. Все 10 точек различны. Если теорема Дезарга была бы не верна на П, то P, Q, R принадлежали бы одной прямой, Ю10 () и 10 прямых образовали бы ограниченную конфигурацию; но тогда она должна была бы содержаться вp0, а p0 содержит всего лишь четыре точки. Построили геометрию, удовлетворяющую аксиомам П1-П4 и не удовлетворяющую П5, тем самым показали, что П5 не является следствием П1-П4.
3. 5. Принцип двойственности
Займемся изучением свойств проективной плоскости, вытекающих из аксиом П1-П4. Предложение: Пусть П - проективная плоскость, П*- множество прямых плоскости П; назовем еще пучок прямых плоскости П прямой из П*. (здесь П*- это множество элементов из П, называемых прямыми; пучком прямых называется совокупность всех прямых, проходящих через некоторую фиксированную точку- центр пучка). Тогда П* тоже является проективной плоскостью (назовем ее двойственной к П проективной плоскостью); при этом, если П удовлетворяет аксиоме П5, то и П* ей удовлетворяет.
Следствие (принцип двойственности).
Пусть S- некоторое утверждение, касающееся проективной плоскости П, которое может быть выведено из аксиом П1-П4 (соответственно П1-П5). Тогда "двойственное" утверждение S*, полученное из S заменой слов. точка Ы прямая
лежит на Ы проходит через
коллинеарные Ы сходящиеся
