Различные подходы к определению проективной плоскости - (реферат)
p>точка пересечения двух прямых Ы прямая, соединяющая две точки и т. д. , тоже может быть выведено из аксиом П1-П4 (соответственно П1-П5). Определение: Полным четырехугольником называется конфигурация, состоящая из семи точек и шести прямых, полученных следующим образом: рассмотрим четыре точки А, В, С, D (такие, что любые три из них неколлинеарны), шесть соединяющих их прямых и три новые точки пересечения этих прямых.("противоположных сторон" полного четырехугольника) Р=АВЗСD, Q=АСЗВD, R=АDЗВС.
Точки Р, Q и R называются диагональными точками полного четырехугольника. Диагональные точкиP, Q и R могут оказаться коллинеарными. Однако на действительной проективной плоскости этого быть не может. Мы убедимся в этом позже, пока будем рассматривать случай коллинеарности диагональных точек как исключительное явление и поэтому введем следующую аксиому П7 (аксиома Фано). П7: Диагональные точки полного четырехугольника неколлинеарны. Предложение: Действительная проективная плоскость удовлетворяет аксиоме П7. Определение: Полным четырехсторонником называется конфигурация, состоящая из семи прямых и шести точек, полученных следующим образом: рассмотрим четыре прямые a, b, c, d (такие, что никакие три из них не являются сходящимися), шесть точек их пересечения и три новые прямые p, q, r.
Соединяющие пары противоположных вершин полного четырехсторонника прямые p, q, r называются диагоналями полного четырехсторонника. Предложение: Из того, что П7 выполняется на П Ю, что П7* выполняется на П*; поэтому принцип двойственности применим также и к следствиям из П7.
Докажем П7*: П7* в терминах П означает: диагонали полного четырехсторонника не являются сходящимися (не принадлежат одному пучку). Пусть a, b, c, d- "стороны" полного четырехсторонника; предположим, что диагоналиp, g, r- сходящиеся. Но в этом случае диагональные точки полного четырехугольника АВСD, где А=bЗd, B=cЗd, C=aЗb, D=aЗc коллинеарны, что противоречит П7. Значит утверждение П7* справедливо. Заметим, что определение четырехсторонника двойственно определению полного четырехугольника.
3. 6. Гармонические четверки точек.
Определение: Упорядоченная четверка различных коллинеарных точек А, В, С, D называется гармонической четверкой, если$полный четырехугольник XYZW, такой, что А и В являются его диагональными точками (например А=XYЗZW, B=XZЗYW), а С и D принадлежат двум другим сторонам четырехугольника (например, CОXW, DОYZ).
Для гармонических точек А, В, С, D мы введем обозначение H (АВ, СD). Из того, что точки А, В, С, D образующие гармоническую четверку, различны, следует неколлинеарность диагональных точек определяющего эту четверку четырехугольника XYZW. Вообще понятие гармонической четверки точек в значительной мере теряет смысл, если аксиома Фано не выполняется; поэтому, говоря о гармонической четверке точек, мы всегда будем предполагать выполняемость П7. Предложение 1: Н(АВ, СD)уН(BA, CD)уH(AB, DC)уH(BA, DC)
Доказательство: Это утверждение немедленно следует из определения гармонической четверки, так как А и В, С и D играют одинаковую роль в построении полного четырехугольника. Действительно, можно переставить буквы X, Y, Z, W, так, чтобы привести обозначение в соответствие с определением Н(ВА, СD) ч. т. д. Предложение 2: Пусть А, В, С- три различные точки прямой. Тогда (если выполняется П7) $точка D, такая, что Н(АВ, СD). Более того (если выполняется П5), можно утверждать, что подобная точка D единственная (D называется четвертой гармонической точкой для А, В, С или точкой, гармонически сопряженной к точке С по отношению к точкам А и В).
Предложение 3: Пусть А, В, С, D- гармоническая четверка точек. Тогда (если выполняется П5) C, D, A, B- тоже гармоническая четверка.
Объединяя это предложение с предложением 1, получаем:
H(AB, CD)ЫH(BA, CD)ЫH(AB, DC)ЫH(BA, DC)
H(CD, AB)ЫH(DC, AB)ЫH(CD, BA)ЫH(DC, BA)
Доказательство: Пусть Н(АВ, CD) и пусть XYZW- полный четырехугольник, с которым связано определение этой гармонической четверки.
Проведем DX и CZ и обозначим точку пересечения через U. Пусть, далее XWЗYZ=T. Тогда XTUZ- полный четырехугольник, а С и D- две его диагональные точки. Точка ВОXZ, поэтому достаточно доказать, что TU проходит через А, так как в этом случае будем иметь H(CD, AB). Рассмотрим 2 треугольника XUZ и YTW. Пары их соответственных сторон пересекаются в точках D, B и С, но эти точки коллинеарныЮпо П5*, XY, TU, WZ соединяющие соответственные вершины принадлежат одному пучку.
Пример: На действительной евклидовой плоскости четыре точки А, В, С, D образуют гармоническую четверку тогда и только тогда, когда
(АС/ВС)*(ВD/AD)=-1
3. 7. Перспективные и проективные отображения.
Определение: Проективное отображение- это отображение прямой l на l' (быть может, совпадающую с l), которое, может быть представлено как композиция перспективных отображений. Обозначение: l – l’ или АВС…-А’В’С’…
Последняя запись означает, что проективное отображение переводит точки А, В, С, …. соответственно в A', B', C', ….
Проективное отображение устанавливает взаимно однозначное соответствие между точками прямыхl и l' и является отображением на l'.
Определение: Перспективным отображением прямой l на прямую l' (обе прямые рассматриваются как множество точек) с центром О (точка О не принадлежит ниl, ни l') называется отображение А®A', где для произвольной точки АОl точка А' находится как ОАЗl'. Обозначение l = l’ ("l переводится в l' перспективным отображением с центром в ()О". Отметим, что перспективное отображение устанавливает взаимно однозначное соответствие между точками l и l' и является отображением
l на l' и что отображение, обратное
перспективному отображению,
также является перспективным отображением. Если ()Х=lЗl', то Х (как точка l) переходит в Х (как точку l'). Композиция двух или более перспективных отображений уже не обязательно будет перспективным отображением: так мы имеемl = l’ = l’’ и ABCY = A’B’C’Y’ = A’’B’’C’’Y’’ если бы полученное в результате композиции отображений l = l и l = l отображение l на l'’ было перспективным, то в точку lЗl’'=Y оно должно было бы переводить в себя. Однако у переходит в точку Y'', которая не совпадает с Y. Поэтому мы ввели проективное отображение.
Предложение 1: Пусть, задана прямая l. Тогда множество проективных преобразований (взаимно однозначное отображение множества М на себя называется преобразованием множества М). lобразует группу. Это означает, что 1)композиция двух проективных отображений снова есть проективное отображение. 2)отображение, обратное проективному отображению, снова есть проективное отображение.
Предложение 2: Пусть задана прямая l и пусть А, В, С и A', B', C'- две тройки ее различных точек. Тогда $ проективное преобразование l, переводящее А, В, С в A', B', C'. Доказательство: Пусть l'- прямая отличная от l и не проходящая через А и А’, а О произвольная точка не принадлежащая ни l, ни l'. Спроектируем из О точки A', B', C' прямой l в точки A’’, B’’, C’’, прямой l’: A'B'C' = A''B''C'', где АПl’ и А’’Пl. Ясно, что нам достаточно построить проективное отображение l на l’, переводящее A, B, C, в A’’, B’’, C’’.
Заменим в обозначениях двойные штрихи одинарными и забудем про исходные A’, B’, C’. Таким образом, наша задача свелась к следующей. Заданы две различные прямые l и l’. Пусть А, В, С- три различные точки l, а A’, B’, C’-три различные точки l’, предположим что AПl’ и A’Пl. Требуется построить проективное отображение l на l’, переводящее А, В, С соответственно в A’, B’, C’. Проведем прямые AA’, AB’, AC’, A’B, A’C и положим AB’ЗA’B=B’’, AC’ЗA’C=C’’. Обозначим прямую B’’C’’ через l’’; пусть она пересекает AA’ в A’’. Тогда l = l’’ = l’ переводит ABC = A’’B’’C’’ = A’B’C’.
Таким образом, мы построили искомое проективное отображение l на l’ как композиция двух перспективных отображений. Предложение 3: Проективное отображение переводит гармоническую четверку точек в гармоническую четверку.
3. 8. Аксиома Паппа и основная теорема о проективных преобразованиях прямой. Докажем “основную теорему”, которая утверждает, что существует единственное проективное преобразование прямой, переводящее три заданные точки в любые другие три заданные точки. Эта теорема не следует из аксиом П1-П5 и П7; поэтому нам предстоит дополнительно ввести аксиому Паппа П6.
Основная теорема (теорема о проективных преобразованиях прямой). Пусть задана прямая l и А, В, С; A’, B’, C’- две тройки различных точек этой прямой. Тогда существует одно и только одно проективное преобразованиеl, такое, что АВС - A’B’C’.
П6 (аксиома Паппа). Пусть l и l’-две различные прямые, А, В, С- три различные точки прямой l, отличные от Х=lЗl’и А’, В’, С’- три различные точки прямой l’, отличные от Х. Тогда точки P=AB’ЗA’B, Q=AC’ЗA’C, R=BC’ЗB’C коллинеарны.
Предложение 1: Аксиома П6 влечет за собой двойственную аксиому Паппа П6*, то есть принцип двойственности применим и ко всем выводам из П6.
Предложение 2: На действительной проективной плоскости справедлива аксиома П6. Лемма 1: Пусть l = m = n, где l№n, предположим еще, что или: а)прямые l, m, n принадлежат одному пучку, или
б)точки O, P и lЗn коллинеарны.
Тогда полученное проективное отображение l - n является перспективным (то есть $ такая точка Q, что перспективное отображение l = n совпадает с нашими проективными отображениями l - n). Лемма 2: Пусть l = m = n,
Где l№n; предположим теперь, что не имеет места ни а) ни б) из условий леммы 1. Тогда $ прямая m’ и точки O’Оn и P’Оl, такие, что l = m = n есть рассматриваемое проективное отображение l на n.
Доказательство: Пусть l, m, n, O, P заданы; пусть далее A, A’- две точки на l и AA’ = BB’ = CC’. Точку пересечения ОР и n обозначим через O’. Так как мы предположили, что точки О, Р, lЗn=X неколлинеарны, то O’№X, то есть O’Пl. Проведем O’A и O’A’; пусть они пересекаются РС и РС’ соответственно в D и D’. Соответствующие стороны треугольников АBD и A’B’D’ пересекаются в коллинеарных точках O, P, O’; значит, по П5*, прямые, соединяющие соответственные вершины этих треугольников принадлежат одному пучку. Таким образом, прямаяm1, содержащая D и D’, проходит через точку Y=lЗm. Следовательно, прямая m1 определена точками D и Y, и если точка A’ меняется, то D’ меняется, оставаясь на прямой m1. Поэтому исходное проективное отображение совпадает с отображением l = m1 = n. Повторяя то же самое рассуждение еще раз, мы можем переместить Р в положение P’=OPЗl и найти новую прямую m’, такую, что l = m’= n дает исходное проективное отображение. Лемма 3: Пусть l и l’- две различные прямые. Тогда любое проективное отображение l - l’ может быть получено как композиция двух перспективных отображений. Теорема 1: Основная теорема вытекает из аксиом П1-П6.
