Экстремумы функций - (реферат)
p>В этом пункте будет дано описаие стационарных точек функции Лагранжа (6. 10) посредством фукции 0(xm+1, xm+2, …, xn), введенной в пункте 6. 2 (см. (6. 8)). Предварительно докажем одну простую лемму из линейной алгебры.Пусть задана система линейных однородных уравнений
ai1x1+…+ ainxn=0 i=1, 2, …, m (6. 16)
и еще одно линейное однродное уравнение
b1x1+…+ bnxn=0 (6. 17) Cистему уравнений , полученную присоединением к системе (6. 16) уравнения (6. 17), будем называть расширенной системой (6. 16)-(6. 17).
Лемма: Для того чтобы расширенная система (6. 16)-(6. 17) была равносильна основной системе (6. 16) необходимо и достаточно , чтобы уравнение (6. 17) являлось линейной комбинацией уравнений системы (6. 16).
Следствие: Для того чтобы уравнение (6. 17) было линейной комбинацией уранений (6. 16) или , что то же самое , чтобы вектор
b==(b1, …, bn) (6. 18) был линейной комбинацией векторов
ai ==(ai1, …, ain) i=1, 2, …, m (6. 19) необходимо и достаточно , чтобы каждое решение системы (6. 16) являлось решением уравнения (6. 17).
Доказательство леммы . Пусть ранг матрицы (aij) коэффициентов системы (6. 16) равен m0 . Очевидно , что m0
Размерность s пространства решений системы линейных днородных уравнений равны , как известно , числу неизвестных n этой системы , из которого вычтем ранг r матрицы коэффициентов системы : s=n-r. Отсюда следует , что равносильность систем (6. 16) и (6. 16)-(6. 17) означает равенство рангов их матриц. Ранг матрицы коэффициентов системы (6. 16) по условию равен m , т. е. векторы (6. 19) линейно независимы.
Ранг матрицы коэффициентов расширенной системы (6. 16)-(6. 17) согласно сказанному в наших условиях также равен m. Поэтому векторы (см. (6. 18) и (6. 19)) b, a1, …, am (6. 20) линейно зависимы. А это означает , что b является линейной комбинацией векторов a1, …, am.
В самом деле , линейная зависимость векторов (6. 20) означает , что существуют такие числа0, 1, …, m, не все равные нулю . что
0b+ 1a1+…+ mam=0 (6. 21) Здесь заведамо 0=0, так как в противном случае векторы a1, …, am оказались бы линейно зависимыми. Поделив равенство (6. 21) на 0, получим , что b является линейной комбинацией векторов a1, …, am . Обратно, если b является линейной комбинацией векторов (6. 19), то в системах векторов (6. 19) и (6. 20) имеется в точности по m линейно независимых векторов , т. е. ранги матриц коэффициентов систем уравнений (6. 16) и (6. 16)-(6. 17) равны. Итак, условие , что вектор b является линейной комбинацией векторов (6. 19) : 1a1+…+ mam=b
эквивалентно равенству рангов матриц коэффициентов рассматриваемых основной и расширенной системв уравнений, следовательно, эквивалентно их равносильности. ч. т. д.
Доказательство следствия сразу следует из леммы, поскольку системы (6. 16) и (6. 16)-(6. 17) очевидно равносильны тогда и только тогда , когда каждое решение системы (6. 16) является и решением уравнения (6. 17)– остальные уравнения систем просто совпадают. ч. т. д.
Замечание 1 : доказанная лемма и ее следствие имеют простую геометрическую интерпритацию в n–мерном евклидовом векторном пространстве Rn, т. е. в n–мерном пространстве со скалярным произведением. Используя обозначение скалярного произведения, систему (6. 16) можно записать в виде
(ai, x)=0 i=1, 2, …, m (6. 22) а уравнение (6. 17) в виде
(b, x)=0 (6. 23)
где векторы a1, …, am и определены в (6. 18) и (6. 19) , а x=(x1, x2, …, xm+1) Множество всевозможных линейных комбинаций векторов a1, …, am образуют подпространство пространства Rnи называется подпространством, натянутым на эти векторы. Обозначим его через Z=( a1, …, am).
Множество решений системы (6. 22) состоит из всех векторов х, ортоганальных подпространству Z=( a1, …, am) Обозначим это множество решений через Т. Оно также является подпространством пространства Rn.
Подпространства L==Z(a1, …, am) и Т называются ортоганальными дополнениями друг друга в пространстве Rn. Поскольку L=Z( a1, …, am), то представимость вектора b в виде линейной комбинации векторов a1, …, am равносильна его принадлежности подпространству L пространства Rn: b L. Это условие в свою очередь, равносильно ортоганальности вектора b подпространству Т: b _Т, которая означает, что для всех x Т имеет место равенство (b, x)=0, т. е. что любое реение х системы (6. 22) является решением уравнения (6. 23). Это и является утверждением следствия леммы. Замечание 2 : напомним метод, которым можно получить все решения однородной системы линейных уравнений. Пусть система (6. 16) состоит из линейно независимых уравнений. Тогда ранг матрицы его коэффициентов равен m. Это означает , что существует минор этой матрицы порядка m, не равный нулю. Пусть для определенности
a11… a1m
am1… amm (6. 24)
В этом случае все решения системы (6. 16) можно получить , задавая произвольно последние n-m координаты вектора (x1, x2, …, xn). Остальные координаты однозначно находятся из системы уравнений (6. 16). В самом деле, возьмем произвольное решение (x1(0), x2(0), …, xn(0)) системы (6. 16). После подстановки xm+1= x(0) m+1, …, xn= xn(0) в (6. 16) получится система из m линейных уравнений (с m неизвестными x1, x2, …, xn), матрицы коэффициентов которой в силу условия (6. 24) невырожденная. Поэтому существуют единственные значения x1, x2, …, xn, удовлетворяющие получившейся системе. Поскольку (x(0)1, x(0)2, …, x(0)n). также было решением системы (6. 16), то x1=x(0)1, x2=x(0)2, …, xm=x(0)m . Перейдем теперь к анализу стационарных точек функции Лагранжа. Теорема 6. 2: Пусть функции f0, f1, f2, …, fm непрерывно дифференцируема в области G Rn, x(0) G fi(x)=0, i=1, 2, 3, …, n
а ранг матрицы Якоби функций f1, f2, …, fm в точке x(0) равен m. Для того чтобы в точке x(0)=(x(0)1, x(0)2, …, x(0)n) градиент f0 являлся линейной комбинацией градиентов f1, f2, …, fm необходимо и достаточно, чтобы точка x(0)=(x(0)1, x(0)2, …, x(0)n) была стационарной точкой для функции. g(x)=g(xm+1, …, xn)
Напомним, что если в точке x(0) градиент f0 является линейной комбинацией f0= 1f1+ 2f2+…+ mfm (6. 25)
градиентов f1, f2, …, fm, то это равносильно тому, что существует функция Лагранжа F= f0- 1f1- 2f2-…- mfm (6. 26) для которой точка x(0) является стационарной :
F(x(0))
xi i=1, 2, …, n (6. 27) Это просто координатная запись (6. 25) , ибо в силу (6. 26)
F(x(0)) f0 f1 f2 fm xi xi xi xi xi i=1, 2, …, m Доказательство: По условию ранг матрицы Якоби системы функций f1, f2, …, fm в точке x(0) равен m . Будем считать для определенности , как и в пункте 6. 2 , что (f1, f2, …, fm)
(x1, x2, …, xm) x(0) (6. 28)
Подставим в уравнение связи (6. 3) функции (6. 5) , являющиеся решением этих уравнений , и продеффиренцируем получившееся относительно переменных xm+1, …, xn тождества. Получим для точки x(0) равенства dfi(x(0))=0, i=1, 2, …, m, справедливые для любых приращений dxm+1, …, dxn независимых переменных xm+1, …, xn(напомним, что дифференциал являетсся линейной функцией , определенной на всем пространстве)Использовав инвариантность формы первого дифференциала относительно выбора переменных , получим , что в точке выполняется равенство fi fi fi fi i=1, 2, …, m x1 xm xm+1 xn (6. 29) где xm+1, …, xn произвольные , а x1, …, xm находятся изформул (6. 5). Таким образом вектор dx=( dx1, …, dxm, dxm+1, …, dxn) является решением линейной однородной системы (6. 29). Отметим , что в силу условия (6. 28) значения dx1, …, dxm при заданных dxm+1, …, dxnоднозначно находятся и из системы (6. 29). Из замечания 2 следует также , что указанным способом получаются все решения системы (6. 29).
Стационарность точки x(0) для функции g(x)=g(xm+1, …, xn)
означает , что dg(x(0)). Это равенство , в силу инвариантности формы первого дифференциала, можно более подробно записать в виде
f0 f0 f0 f0
x1 xm xm+1 xn (6. 31) где dxm+1, …, dxn можно задавать произвольно, а dx1, …, dxmследует находить из формул (6. 5) или , что дает тотже результат из формул (6. 29). Инач говоря , любое решение системы уравнений (6. 29) является и решением уравнения (6. 31). Согласно следствию из леммы это возможно тогда и тoлько тогда , когда уравнение (6. 31) является линейной комбинацией уравнений системы (6. 29) , т. е. когда существуют такие числа , что
f0= 1f1+ 2f2+…+ mfm
ч. т. д.
Замечание 3 : Согласно замечанию 2 совокупность всех решений систеиы уравнений (6. 29) образуют подпространство Т пространства Rn, являющееся ортогональным дополнением к подпространству L=Z( f1, f2, …, fm) . Любой вектор y T ортогонален каждому градиенту fi , а поэтому его естественно назвать касательным вектором в точке x(0) к гиперповерхности fi(x)=0 , являющиеся множеством уровня функций fi, i=1, 2, …, m. Таким образом , пространство решений Т системы (6. 29) состоит из векторов , касательных одновременно ко всем гиперповерхностям fi(x)=0 , i=1, 2, …, m, и потому его называют касательным пространством персечений всех гиперповерхностей fi(x)=0 , i=1, 2, …, m . Напомним , что векторы касательноо пространства Т , т. е. решения системы (6. 29), были обознаены через dx (см. (6. 30)). Поскольку в точке условного экстремума согласно теореме 2 имеет место включение f0 L=Z( f1, f2, …, fm)
то
f0 T
Иначе говоря, градиент f0 одновременно ортогонален всем касательным dx к гиперповерхностям fi(x)=0 , i=1, 2, …, m: ( f0, dx)=0
(это другая запись уравнения (6. 31)), т. е. градиент f0 перпендикулярен касательному пространству Т в точке x(0) . Но множество всех векторов , ортогональных к f0, образуют (n-1)– мерное пространство Т0 , называемое касательным пространством к гиперповерхности f0(x)= f0(x(0)) . В силу сказанного выше , каждый вектор из Т , будучи ортогонален градиенту f0, принадлежит к Т0 , т. е. Т Т0.
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
