Быстрый поиск

Экстремумы функций - (реферат)

p>Необходимое и достаточное условие для того, чтобы форма (4. 5) была определенной и положительной принадлежит Сильвестеру (J. J. Sylvester). Оно выражается цепью неравенств:

    a11 a12 a11 a12 a13
    a11>0, a21 a22 , a21 a22 a23 >0,
    a31 a32 a33

Так как определенная отрицательная форма с изменением знака всех её членов переходит в определенню положительную, и обратно, то отсюда легко найти и характеристику отицательной формы : она дается цепью неравенств, которая получается из написанной выше изменением смысла неравенств через одно (начиная с первого).

    a11 a12 a11 a12 a13
    a11>0, a21 a22 a21 a22 a23 >0
    a31 a32 a33

Следовательно, чтобы исследовать точку М(x0, y0, z0) на экстремум , надо исследовать квадратичную форму ( 4. 5). Сформулируем полученный результат в виде теоремы.

Теорема : Пусть в некоторой области, содержащей точку М(x0, y0, z0), функция f(x, y, z) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно; пусть кроме того, точка М(x0, y0, z0) является критической точкой функции f(x, y, z), т. е.

    f(x0, y0, z0) f(x0, y0, z0) f(x0, y0, z0)
    --------------- =0, ---------------=0, ---------------=0
    x y z
    Тогда при x=x0, y=y0, z=z0 :
    f(x, y, z) имеет максимум , если

2 f(x0, y0, z0) 2 f(x0, y0, z0) 2 f(x0, y0, z0) 2 f(x0, y0, z0) 2 ---------------0 x2 x2 y2 x y

2 f(x0, y0, z0) 2 f(x0, y0, z0) 2 f(x0, y0, z0) 2 f(x0, y0, z0) 2 --------------- -------------------------------- - --------------- - x2 x2 z2 y z

2 f(x0, y0, z0) 2 f(x0, y0, z0) 2 f(x0, y0, z0)

-- --------------- -------------------------------- - x y x y z2

    2 f(x0, y0, z0) 2 f(x0, y0, z0)
    -- --------------------------------- +
    x z y z
    2 f(x0, y0, z0) 2 f(x0, y0, z0) 2 f(x0, y0, z0)

+ --------------- -------------------------------- - x z x y y z

    2 f(x0, y0, z0) 2 f(x0, y0, z0)
    -- ------------------------------- >0
    x z y2
    f(x, y, z) имеет минимум, если

2 f(x0, y0, z0) 2 f(x0, y0, z0) 2 f(x0, y0, z0) 2 f(x0, y0, z0) 2 --------------->0 , -------------------------------- - --------------- >0 x2 x2 y2 x y 2 f(x0, y0, z0) 2 f(x0, y0, z0) 2 f(x0, y0, z0) 2 f(x0, y0, z0) 2 --------------- -------------------------------- - --------------- - x2 x2 z2 y z 2 f(x0, y0, z0) 2 f(x0, y0, z0) 2 f(x0, y0, z0)

+ --------------- -------------------------------- - x z x y y z

    2 f(x0, y0, z0) 2 f(x0, y0, z0)
    -- ------------------------------- >0
    x z y2
    3)если

2 f(x0, y0, z0) 2 f(x0, y0, z0) 2 f(x0, y0, z0) 2 f(x0, y0, z0) 2 --------------- -------------------------------- - --------------- - x2 x2 z2 y z 2 f(x0, y0, z0) 2 f(x0, y0, z0) 2 f(x0, y0, z0)

+ --------------- -------------------------------- - x z x y y z

    2 f(x0, y0, z0) 2 f(x0, y0, z0)
    -- ------------------------------- =0
    x z y2

то экстремум может быть , а может и не быть (в этом случае требуется дальнейшее исследование )

4) во всех остальных случаях f(x, y, z) не имеет ни максимума , ни минимума.

5. Экстремумы функций многих переменных.
5. 1. Необходимые условия экстремума.

Пусть функция u=f(x1, x2, …, xn) определена в области D и (x10, x20, …, xn0) будет внутренней точкой этой области. Говорят, что функция u=f(x1, x2, …, xn) в точке (x10, x20, …, xn0) имеет максимум (минимум), если её можно окружить такой окрестностью (x10 x10 x20 x20 xn0 xn0 ) что бы для всех точек этой окрестности выполнялось неравенство f(x1, x2, …, xn)
(>)

Если эту окрестность взять настлько малой, что бы знак равенства был исключён, т. е. чтобы в каждой её точке, кроме самой точки (x10, x20, …, xn0) выполнялось строгое неравенство f(x1, x2, …, xn)
(>)

то говорят, что в точке (x10, x20, …, xn0) имеет место собственный максимум (минимум), в противном случае максимум (минимум) называют несобственным.

Для обозначения максимума и минимума (как и в случае одной переменной) употребляется общий термин– экстремум.

Предположим, что наша функция в некоторой точке (x10, x20, …, xn0) имеет экстремум, Покажем, что если в этой точке существуют (конечные) частные производные fx1’(x10, x20, …, xn0) , …, f ’xn(x10, x20, …, xn0)

то все эти частные производные равны нулю, так что обращение в нуль частных производныхпервого порядка является необходимым условием существования экстремума.

С этой целью положим x2=x20, …, xn= xn0 сохраняя x1 переменным ; тогда у нас получится функция от одной переменной x1 : u=f(x1, x20, …, xn0)

Так как мы предположили, что в точке (x10, x20, …, xn0) существует экстремум (для определенности - пуcть это будет максимум), то, в частности, отсюда следует, что в некоторой окрестности(x10- , x10+ ) точки x1= x10, необходимо должно выполняться неравенство f(x1, x20, …, xn0)< f(x10, x20, …, xn0)

так что упомянутая выше функция одной переменной в точке x1= =x10 будет иметь максимум, а отсюда по теореме Ферма следует, что fx1’(x10, x20, …, xn0)=0

Таким образом можно показать, что в точке (x10, x20, …, xn0) и остальные частные производные равны нулю. Итак, “подозрительными” на экстремум являются те точки, в которых частные производные первого порядка все обращаются в нуль: их координаты можно найти, решив систему уравнений

    fx1’(x10, x20, …, xn0)=0
    ……………………. (5. 1)
    f ’xn(x10, x20, …, xn0)=0

Как и в случае функции одной переменной, подобные точки называются стационарными.

Замечения : Необходимое условие существования экстремума в случае дифференцируемой функции кратко можно записать так :

d f(x1, x2, …, xn)=0

так как, если fx1’= fx2’=…= f ’xn , то каковы бы ни были dx1, dx2, …, dxn всегда f(x1, x2 d, …, xn)= fx1’ dx1+ fx2’ dx2+…+ f ’xn dxn=0

И обратно : если в данной точке тождественно выполняется это условие, то ввиду произвольности dx1, dx2, …, dxn производные fx1’, fx2’, …, f ’xn порознь равны нулю. Обычно, рассматриваемая функция f(x1, x2, …, xn) имеет (конечные) частные производные во всей области, и тогда точки, доставляющие функции экстреммы, следует искать лишь среди стационарных точек. Однако встречаются случаи, когда в отдельных точках некоторые частные производные имеют бесконечные значения или вовсе не существуют (в то время как остальные равны нулю). Подобные точки, собственно, тоже следует причислить к “подозрительным” по экстремуму, наряду со стационарными.

Иногда дается и не прибегая к достаточным условиям выяснить характер стационарной точки функции. Так, если из условия задачи непременно следует, что рассматриваемая функция имеет где-то максимум или минимум и при этом системе уравнений (5. 1) удовлетворяет только одна точка, то ясно, что эта точка и будет искомой точкой экстремума функции.

Заметим, наконец, что точками экстремума непрерывной функции могут быть точки, в которых функция недифференцируема (им соответствуюя, например, острия поверхности– графика функции).

5. 2. Достаточные условия экстремума.

Так же как и для функции одной переменной, необходимый признак экстремума в случае многих переменных не является достаточным. Это значит, что из равенства нулю частных производных в данной точке вовсе не следует, что этаточка обязательно является точкой эксремума.

Достаточные условия экстремума для функций нескольких переменных носит значительно более сложный характер, чем для функции одной переменной. Пусть функция f(x1, x2, …, xn) определена, непрерывна и имеет непрерывные производные первого и второго порядковокрестности некоторой стационарной точки (x10, x20, …, xn0). Разлагая разность = f(x1, x2, …, xn)-f(x10, x20, …, xn0)

по формyле Тейлора, получим

= { fx ’’ x12+fx ’’ x22+…+fx ’’ xn2+2fx1x2 ’’ x1 x2+ +2fx1x3 ’’ x1 x3+…+2fxn-1xn ’’ xn-1 xn}= fxixj ’’ xi xj где x= xi-xi0 ; производные все вычеслены в некоторой точке (x10+0 x1, x20+0 x2, …, xn0+0 xn) (0
    Введём и здесь значения
    fxixj ’’ (x10, x20, …, xn0)=aik (i, k=1, 2, …, n) (5. 2)
    так что
    fxixj ’’ (x10+0 x1, x20+0 x2, …, xn0+0 xn)= aik+ ik
    и

ik 0 при x1 0, …, xn 0 (5. 3) Теперь интеесующее нас выражение можно написать в виде:

= { aik xi xk+ ik xi xk} (5. 4) На первом месте в скобках здесь стоит второй дифференциал функции f в рассматриваемой точке : он представляет собой однородный одночлен второй степени или, как говорят, квадратичную форму от переменных x1, …, xn. От свойств этой квадратичной формы, как мы увидим, и зависит решение интересующего нас вопроса.

В высшей алгебре квадратичную форму

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8