Экстремумы функций - (реферат)
p>I f’(x)>0 при хх0, т. е. производная f’(x) при переходе через точку х0 меняет знак плюс на минус. В этом случае, в промежутке [х0- , х0] функция f(x) возрастает, a в промежутке [х0, х0+ ] убывает, так что значение f(x) будет наибольшим в промежутке [х0- , х0+ ] , т. е. в точке х0 функция имеет собственный максимум. II f’(x)0 при х>х0 , т. е. производная f’(x) при переходе через точку х0 меняет знак минус на плюс. В этом случае аналогично убеждаемся, что в точке х0 функция имеет собственный минимум. III f’(x)>0 как при хх0 либо же f’(x) и слева и справа от х0 , т. е. при переходе через х0, не меняет знака. Тогда функция либо всё время возрастает, либо всё время убывает; в любой юлизости от х0 с одной стороны найдутся точки х, в которых f(x)f(x0) так что в точке х0 никакого экстремума нет. Итак, мы получаем правило для испытания “подозрительного” значения х0 : подставляя в производную f’(x) сначала хх0, устанавливаем знак производной вблизи от точки х0 слева и справа от неё; если при этом производная f’(x) меняет знак плюс на минус , то налицо максимум, если меняет знак с минуса на плюс, то– минимум ; если же знака не меняет, то экстремума вовсе нет. Это правило полностью решает вопрос в том случае, когда в промежутке (а, b), как это обычно бывает, всего лишь конечное число стационарных точек или точек, где отсутствует конечная производная:a
именно , тогда прежде всего, в любом промежутке (а, х1), (х1, х2), … , (хk, хk+1), … , (хn, b) существует конечная производная f’(x) и, кроме того, в каждом таком промежутке f’(x) сохраняет постоянный знак. Действинельно, если бы f’(x) меняла знак, например, в промежутке (хk, хk+1) , то по теореме Дарбу, она обращалась бы в нуль в некоторой точке между хk и хk+1, что невозможно, поскольку все корни производной уже содержатся в ряду точек (3. 1).
Последнее замечание бывает полезно в некоторах случаях на практике: знак производной f’(x) во всем промежутке (хk, хk+1) определяется , если вычислить значение (или даже только установить знак) её в одной какой-либо точке этого промежутка.
3. 2. 2. Достаточное условие. Второй признак.
Нередко более удобным на практике оказывается другой признак существования экстремума, основанный на выяснении знака второй производной в стационарной точке.
Справедлива следующая теорема.
Теорема 3. 1: Если х0 есть стационарная точка функции f(x) и f’’(x)0 , то функция имеет в точке х0 минимум. Доказательство: По определению второй производной
(f’(x)-f’(x0)
f’’(x0)=lim------------
x-x0
По условию теоремы f’(x)=0. Поэтому
f’(x)
f’’=lim---------
x-x0
Допустим , что f’’(x)
f’(x)
---------- x-x0
Отсюда следует, что f’(x)>0 , если х-х0х0, и f’(x)0, или х>х0. На оснавании первого достаточного признака существования экстремума заключаем, что в точке х0 функция f(x) имеет максимум. Аналогично показывается, что условие f’’(x)>0 обеспечивает минимум функции f(x). ч. т. д.
Таким образом получаем правило нахождения экстремумов (для дважды дифференцируемых функций):
1. Вычисляем первую производную f’(x) и из уравнения f’(x)=0 находим стационарные точки функции f(x). 2. Вычсляем вторую производную, и каждую стационарную точку х0 подвергаем испытанию: если f’’(x)>0, то х0 – точка минимума функции;
если f’’(x)
Замечание 1 : если f’’(x)=0 , то это правило теряет силу и нужно воспользоваться первым признаком нахождения экстремумов. При этом экстремум может существовать , а может и не существовать.
Однако в случае своей применимости второй признак окаывается весьма удобным : вместо рассмотрения знака функции f’(x) в точках, отличных от предполагаемой точки экстремума, он позволяет дать ответ по знаку функции f’’(x) в той же точке.
3. 3. Использование высших производных.
В случае, когда f’’(x)=0 (f’(x)=0) экстремум может быть, а может и не быть. Рассмотрим общий случай. Теорема 3. 2: Пусть функция f: U(x0) R, определенная в окрестности U(x0) точки х0, имеем в х0 производные до порядка n включительно (n>1). Если f’(x0)=…=f (n-1)(x0)=0 и f(n)(x0)=0 , то при n нечетном в х0экстремума нет, а при n четном экстремум есть, причем это строгий локальный минимум, если f(n)(x0)>0 , и строгий локальный максимум, если f (n)(x0). Доказательство: Используя локальную фурмулу Тейлора
f(x)-f(x0)=f(n)(x0)(x-x0)n+ (x)(x-x0)n (3. 2)
где (x) 0 при x x0, будем рассуждать так же, как при доказательстве леммы Ферма. Перепишем (2) в виде
f(x)-f(x0)=(f(n)(x0)+ (x))(x-x0)n (3. 3)
Поскольку f(n)(x0)=0, а (x) 0 при x x0, сумма имеет знак fn(x0), когда х достаточно близок к х0. Если n нечетно, то при переходе через х0 скобка (х-х0)nменяет знак и тогда изменяется знак всей правой , а следовательно, и левой части равенства (3. 3). Значит, при n=2k+1 экстремума нет.
Если n четно, то (x-x0)n>0 при x=x0 и, следовательно, а малой окрестности точки х0 знак разности f(x)-f(x0), как видно из равенства (3. 3), совпадает со знаком f(n)(x0) : пусть f(n)(x0), тогда в окрестности точки х0 f(x)>f(x0), т. е. в точке х0 – локальный минимум; пусть f(n)(x0)>0, тогда f(x)>f(x0) , т. е. в точке х0локальный минимум. ч. т. д.
4. Экстремумы функций трех переменных.
4. 1. Необходимые условия экстремума.
Пусть функция v=f(x, y, z) определена в области D и (x0, y0, z0) будет внутренней точкой этой области. Говорят, что функция v=f(x, y, z) в точке (x0, y0, z0) имеет максимум (минимум), если её можно окружить такой окрестностью (x0- , x0+ , y0- , y0+ , z0- , z0+ )
что бы для всех точек этой окрестности выполнялось неравенство f(x, y, z)
(>)
Если эту окрестность взять настлько малой, что бы знак равенства был исключён, т. е. чтобы в каждой её точке, кроме самой точки (x0, y0, z0) выполнялось строгое неравенство f(x, y, z)
(>)
то говорят, что в точке (x0, y0, z0) имеет место собственный максимум (минимум), в противном случае максимум (минимум) называют несобственным.
Для обозначения максимума и минимума (как и в случае одной переменной) употребляется общий термин– экстремум.
Предположим, что наша функция в некоторой точке (x0, y0, z0) имеет экстремум, Покажем, что если в этой точке существуют (конечные) частные производные fx’(x0, y0, z0), fy’(x0, y0, z0) , fz’(x0, y0, z0)
то все эти частные производные равны нулю, так что обращение в нуль частных производныхпервого порядка является необходимым условием существования экстремума.
С этой целью положим y= y0, z= z0 сохраняя х переменным ; тогда у нас получится функция от одной переменной х : v=f(x, y0, z0)
Так как мы предположили, что в точке (x0, y0, z0) существует экстремум (для определенности - пуcть это будет максимум), то, в частности, отсюда следует, что в некоторой окрестности (x0- , x0+ ) точки x=x0, необходимо должно выполняться неравенство f(x, y0, z0)
так что упомянутая выше функция одной переменной в точке будет иметь максимум, а отсюда по теореме Ферма следует, что
fx’(x0, y0, z0)=0
Таким образом можно показать, что в точке и остальные частные производные равны нулю.
Итак, “подозрительными” на экстремум являются те точки, в которых частные производные первого порядка все обращаются в нуль: их координаты можно найти, решив систему уравнений
fx’(x, y, z)=0
fy’(x, y, z)=0 (4. 2)
fz’(x, y, z)=0
Как и в случае функции одной переменной, подобные точки называются стационарными.
4. 2. Достаточное условие экстремума.
Как и в случае функции одной переменной, в стационарной точке вовсе не обеспечено наличие экстремума. Таким образом, встает вопрос об достаточных для существования (или отсутствия) экстремума в стационарной точке, то есть о том исследоовании, которому эта точка должна быть дополнительно подвергнута. Предположим, что функция v=f(x, y, z) определена, непрерывна и имеет непрерывные частные производные первого и второго порядков в окрестности некоторой точки (x0, y0, z0), которая является стационарной, т. е. удовлетворяет условиям fx’(x0, y0, z0)=0, fy’(x0, y0, z0)=0 , fz’(x0, y0, z0)=0
Чтобы установить, действительно ли наша функция имеет в точке (x0, y0, z0) экстремум или нет, естественно обратимся к рассмотрению разности = f(x, y, z)- f(x0, y0, z0)
Разложим ее по формуле Тейлора,
= { fx ’’ x12+fx ’’ x22+…+fx ’’ xn2+2fx1x2 ’’ x1 x2+ +2fx1x3 ’’ x1 x3+…+2fxn-1xn ’’ xn-1 xn}= fxixj ’’ xi xj где x= xi-xi0 ; производные все вычеслены в некоторой точке (x10+0 x1, x20+0 x2, …, xn0+0 xn) (0
Введём и здесь значения
fxixj ’’ (x10, x20, …, xn0)=aik (i, k=1, 2, …, n) (4. 2) так что
fxixj ’’ (x10+0 x1, x20+0 x2, …, xn0+0 xn)= aik+ ik
и
ik 0 при x1 0, …, xn 0 (4. 3) Теперь интеесующее нас выражение можно написать в виде:
= { aik xi xk+ ik xi xk} (4. 4) На первом месте в скобках здесь стоит второй дифференциал функции f в рассматриваемой точке : он представляет собой однородный одночлен второй степени или, как говорят, квадратичную форму от переменных x1, …, xn. От свойств этой квадратичной формы, как мы увидим, и зависит решение интересующего нас вопроса.
В высшей алгебре квадратичную форму
aik yi yk (aik = aki) (4. 5)
от переменных y1, …, ynназывают определенной положительно (отрицательно), если она имеет положительные (отрицательные) значения при всех значениях аргументов, не равных одновременно нулю.
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
