Экстремумы функций - (реферат)

p>Итак, надо найти экстремум функции (х, у) при условии, что переменные х, у связаны соотношением х+у=р. Таким образом, экстремум функции ищется только на множестве тех точек плоскости R2, которые удовлетворяют указанному соотношению. Эта конкретная задача, конечно, решается без труда : достаточно, записав, что у=р-х, подставить это выражение в формулу для (х, у) и найти обычными методами максимум функции х(р-х). Она нам была нужна лишь для постановки вопрса. В следующих пунктах мы рассмотрим общий случай решения подобных задач.

    6. 2. Понятие условного экстремума.
    Пусть на открытом множестве G Rn заданы функции.

yi=fi(x) i=1, 2, 3, …, m (6. 1) x=(x1, x2, …, xn). Обозначим через Е множество точек x G , в которых все функции fi i=1, 2, 3, …, m обращаются в нуль: E={x: fi(x)=0, i=1, 2, 3, …, m, x G} (6. 2) Уравнения

fi(x)=0, i=1, 2, 3, …, n (6. 3) будем называть уравнениями связи.

Определение : пусть на множестве G задана функция y=f0(x) . Тогда x(0) E называется точкой условного экстремума (принят также термин “относительный экстремум”) функции f0(x) относительно (или при выполнении) уравнений связи (6. 3) , если она является точкой обычного экстремума этой функции , рассмотриваемой только на множестве Е.

Иначе говоря , здесь значения функции f0(x) в точке x(0) сравниваются не со всеми ее значениями в достаточно малой окрестности этой точки , а только со значениями в точках , принадлежащих одновременно указанной достаточно малой окрестности и множеству Е. Как и в случае обычных экстремумов , можно , естественно , рассматривать точки просто условного экстремума и точки строго условного экстремума.

    Будем предполагать , что

все функции f0, f1, f2, …, fm непрерывно дифференцируемы в открытом множестве G ; в рассматриваемой точке x(0) векторы f1, f2, …, fm линейно независимы , т. е. ранг матрицы Якоби fj j=1, 2, …, m

    xi i=1, 2, …, n

равен m-числу ее строк (строки матрицы Якоби являются компонентами градиентов f1, f2, …, fm).

Это означает , что функции системы (6. 1) независимы в некоторой окрестности точки x(0). Поскольку в n-мерном пространстве не может быть больше чем n линйено независимых векторов и ранг матрицы не может быть больше чиола столбцов , то из условия 2) следует , что m

Согласно условию 2) в точке x(0) хотя бы один из определителей вида (f1, f2, …, fm)

    (xi1, xi2, …, xim)
    отличен от нуля. Пусть для определенности в точке x(0).
    (f1, f2, …, fm)
    (xi1, xi2, …, xim) (6. 4)

Тогда , в силу теоремы о неявных функциях , систему уравнений (6. 3) в некоторой окрестности точки x(0)=(x1(0), x2(0), …, xn(0)) можно разрешить относительно переменных x1, x2, …, xm : x1= 1( x1, x2, …, xm)

    x2= 2( x1, x2, …, xm)
    …………………… (6. 5)
    xm= m( x1, x2, …, xm)

Поставив значения x1, x2, …, xm, даваемые формулами (6. 5) в y=f0(x), т. е. рассмотрев композицию функции f0 и 1, получили функцию y= f0(1( xm+1, …, xn), …, m( xm+1, …, xn), xm+1, …, xn)==0( xm+1, …, xn) (6. 6)

от n-m переменных xm+1, …, xn, определенную и непрерывно дифференцируемую в некоторой окрестности точки x(0)=(x1(0), x2(0), …, xn(0)) в (n-m)–мерном пространстве Rn-m. Поскольку , согласно теореме о неявных функциях , условия (6. 3) и (6. 5) равносильны , то справедливо следующее утверждение.

Точка x(0) является точкой (строгого) условного экстремума для функции g относительно уравнений связи (6. 3) в том и только том случае , когда x(0) является точкой обычного (строгого) экстремума (6. 6). Если x(0)–точка обычного экстремума функции g, то она является стационарной точкой этой функции:

dg (x(0))=0 (6. 7) Напомним , что дифференциал –линейная однородная функция и его равенство нулю означает равенство нулю этой функции при любых значениях ее аргументов , в данном случае– при любых dxm+1, dxm+2, …, dxn. Это возможно , очевидно , в том и только том случае , когда все коэффициенты при этих аргументах , т. е. производные g/ xm+k, k=1, 2, …, n-m обращаются в нуль в точке x(0). Условие (6. 7) необходимо для условного экстремума в точке x(0). Таким образом , метод , основанный на решение системы уравнений (6. 3) через элементарные функции часто невозможно или весьма затруднительно; поэтому желательно располагать методом , позволяющим найти условный экстремум не решая системы (6. 3). Такой способ , так называемый метод множетелей Лагранжа , изложен в следующем пункте .

6. 3. Метод множетелей Лагранжа для нахождения точек условного экстремума. В этом пункте будем предполагать , что все функции f0, f1, f2, …, fm непрерывно дифференцируемы в открытом множестве G. Теорема 6. 1 : пусть x(0)– точка условного экстремума функции f0 при выполнении уравнений связи (6. 3). Тогда в этой точке градиенты f1, f2, …, fm линейно независимы , т. е. существуют такие не все равные нулю , числа 0, 1, 2, …, m что 0 f0+ 1f1+ 2f2+…+ mfm=0 (6. 8)

Следствие : если в точке x(0) условного экстремума функции f0 относительно уравнений связи (6. 3) градиенты f1, f2, …, fm линейно независимы , то ранг матрицы Якоби fj j=1, 2, …, m

    xi i=1, 2, …, n

равен m, то существуют такие 1, …, m , что в этой точке f0+ i fj=0 (6. 9)

т. е. f0 является линейной комбинацией градиентов f1, f2, …, fm.

В координатной форме это условие имеет вид : для любого i=1, 2, …, n в точке x(0) f0 fi

    xi xi (6. 10) функция

F(x)==f0(x)+ jfj(x) (6. 11) где числа 1, …, mудовлетворяют условию(6. 10), называется функцией Лагранжа рассматриваемой задачи , а сами числа1, …, m – множителями Лагранжа.

Условие (6. 10) означает , что если x(0) является точкой условного экстремума функции f0относительно уравнений связи (6. 3) , то она является стационарной точкой для функции Лагранжа , т. е.

    F(x(0))

xi i=1, 2, …, n (6. 12) Прежде , чем доказать теорему , разъясним ее смысл и покажем , как ее использовать для нахождения точек условного экстремума. Прежде всего обратим внимание на то , что у функции вида (6. 11) при произвольных числах1, …, m, каждая точка ее условного экстремума является и точкой условного экстремума исходной функции f0, и наоборот. Мы выбираем такие значения 1, …, m, чтобы выполнялись условия (6. 10) , т. е. чтобы данная точка условного экстремума оказалась и стационарной точкой фуцнкции (6. 9).

Для отыскания точек условного экстремума следует рассмотреть систему n+m уравнений (6. 3) и (6. 8) относительно неизвестных x1(0), x2(0), …, xn(0), 1, …, m и решить ее (если это возможно) , найдя x1(0), x2(0), …, xn(0) и по возможности исключив 1, …, m. Сформулированная теорема утверждает , что все точки условного экстремума будут находится среди найденных таким образом точек (x1(0), x2(0), …, xn(0)). Вопрос о том , какие же из них фактически будут точками условного экстремума , требует дополнительного исследования , об этом будет говориться в п. 6. 5 Доказательство теоремы . Докажем утверждение равносильное теореме : если в точке x(0)=(x1(0), x2(0), …, xn(0)), удовлетворяющей уравнениям связи fk(x(0))=0 k=1, 2, …, n (6. 13)

градиенты f0, f1, f2, …, fm линейно независимы , то x(0) не является точкой условного экстремума. Итак , пусть f0, f1, f2, …, fm линейно независимы и , следовательно , ранг матрицы Якоби fj/ xij=1, 2, …, m, i=1, 2, …, n равен m+1. Тогда в матрице существует минор порядка m+1 не равный нулю. Для определенности будем считать , что он образован первыми m+1 столбцами , т. е.

    (f0, f1, f2, …, fm)
    (x1, x2, …, xm+1) x=x(0) (6. 14)

Множество G–открыто , а поэтому существует такое 00>0, что при всех 0 0

лежит в G и , следовательно, на нем определены все функции f0, f1, f2, …, fm. Зафиксируем xm+2= x(0)m+2, …, xn=xn(0) и введем обозначения

    x*=(x1, x2, …, xm+1)
    Q m+1={x*: xi-xi(0)

Очевидно , функции fj(x1, x2, …, xm+1, x(0)m+2, …, xn(0)) j=1, 2, …, m определены и непрерывно дифференцируемы всюду в Q m+1. Рассмотрим отображение Ф : Q m+1 Rm+1, задаваемое формулами y1= f0(x1, x2, …, xm+1, x(0)m+2, …, xn(0))

    y2= f1(x1, x2, …, xm+1, x(0)m+2, …, xn(0))
    …………………………………… (6. 15)
    ym+1= fm(x1, x2, …, xm+1, x(0)m+2, …, xn(0))

В силу (6. 15) для точки x*(0)=(x1(0), x2(0), …, xn(0)) имеем (y1, y2, …, ym+1) (f0, f1, f2, …, fm)

    (x1, x2, …, xm+1) x*= x*(0) (x1, x2, …, xm+1) x=x(0)

а в силу (6. 13) Ф(x*(0))=(f0(x(0), 0, …, 0) . Поэтому (в силу теремы о локальной обратимости непрерывно дифференцируемого отображения в точке , в которой его якобиан не равен нулю , существует такое число >0 , что на окрестности

V={y=(y1, y2, …, ym+1) : y1- f0(x(0)) < , yj< , j=2, 3, …, m} В частности , поскольку при любом n, 0
    Ф(x``*)=(f0(x(0))-n, 0, …, 0)

Если положим для краткости x`=(x`1, x`2, …, x`m+1, x(0)m+2, …, xn(0)) и x``=(x``1, x``2, …, x``m+1, x(0)m+2, …, xn(0)), то в координатной записи (6. 15) получим f0(x`)= f0(x(0))+n> f(x(0)) , fk(x`)=0, k=1, 2, …, n , x` Q n и

f0(x``)= f0(x(0))-n> f(x(0)) , fk(x``)=0, k=1, 2, …, n , x`` Q n В силу произвольности 0>0, 0

Доказательство следствея. Если векторы f1, f2, …, fm линейно независимы , то в равенстве (6. 8) имеем 0=0 так как в случае 0=0 указанные векторы в силу (6. 8) оказались бы линейно зависимыми . Разделив обе части на0 получим равенство вида (6. 9).

    ч. т. д.
    Пример №5.

Пусть требуется найти экстремум функции u=xyzt при условии x+y+z+t=4c; область изменения переменных определяетссся неравенствовами x>0, y>0, t>0, z>0. Применяя к этой задаче метод Лагранжа, введем вспомогательную функцию Ф=xyzt+ (x+y+z+t)

    И составим условия
    Фx =yzt+ =0
    Фy =xzt+ =0
    Фz =yxt+ =0
    Фt =yzx+ =0
    откуда
    yzt=xzt=xyt=xyz
    так что
    x=y=z=t=c.
    6. 4. Стационарные точки функции Лагранжа.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8