Экстремумы функций - (реферат)
p>По сути метод дает возможность вычисления определителей . Однако нас интересуют лишь знаки определителей. Это существенно упрощает задачу.Рассмотрим функцию f(x1, x2, …, xn). имеющую экстремум, а именно максимум в точке М0(x10, x20, …, xn0). Это значит, что все коэффициенты a1, a2, …, anдолжны быть положительными. Поэтому процесс определения максимума функции в точке М0заканчивается на любом этапе понижения определителя , если после положительных a1, a2, …, ak коэффициент аk+1 стал отрицательным или нулевым. Если же в точке М0 – минимум, то коффициенты a1, a2, …, an образуют знакочередующуюся последоватнльность, а именно a10, a3
Аналогично процесс прекращается, если нарушается эта знакопеременность. Итак, общая схема выглядит следующим образом :
1. Определяются стационарные точки функции, в которых
2. Определяются коэффициенты аik в этих точках
2f
xi xr
3. Выясняем знак первого диагонального элемента а11=а1
а) если а11>0, то все последующие элементы а2, а3, …, аn должны быть положительными, если в точке М0 действительно максимум б)если а11
Наконец отметим следующее важное обстоятельство. Так как коэффициенты аikявляются частными производными второго порядка и для дифференцируемой функции с непрерывными2f/ xi xrв соответствии с теоремой Шварца эти частные производные не зависят от порядка дифференцирования, то аik= аki. Это важное свойство приводит к тому, что матрица (аik) является симметрической вместе со своим определителем аik Покажем, что учет этого факта сокращант объем вычислений по крайней мере вдвое .
Во-первых, покажем, что определитель n-1также остается симметрическим, т. е. применяется операция понижения порядка инварианта и сохраняет это свойство при переходе от n-1 к n и т. д. Диагональные элементы любого определителя, очевидно, равны сами себе. Рассмотрим произвольный элемент аik в определителе n-1, i=k, i, k=1, 2, …, n-1. аik= аik – а1 k а1i / а11 (*)
Если переставить индексы i, k , то
aki= аki – а1 i а1k / а11 (**)
Сравнивая (*) и (**) видим, что из того, что аik= аki следует, что аik= аki. Этим доказано, что из того, что n- симметрический определитель, определитель n-1 также симметрический. Что это дает для вычисления n-1 ? Пусть вычислена первая строка коэффициентов а1k (k=1, 2, …, n-1) определителя n-1 , т. е. а11, а12, а13, …, а1n-1
Теперь вычислим первый столбец , он имеет вид
а11
а21
а31
…...
аn-1 1
Но ввиду симметричности коэффициентов, этот столбец совпадает со строкой. Другими словами, сосчитав элементы первой строки, первый столбец уже считать нет необходимости, его нужно просто записать. Для наглядности запишем a11 a12 … a1 n-1
a21 a22… a2 n-1
………………….
an1 an2… an-1 n-1
Вычислим теперь элементы второй строки, начиная с а22 , т. е. а22, а23, а24, …, а2 n-1. Эта строка полностью совпадает со вторым столбцом, начиная с а22, т. е. а22
а31
…...
аn-1 2
Итак, второй столбец автоматически заполняется элементами второй строки. Т. е. иммем
a11 a12 а13 … a1 n-1
a21 a22 а23 … a2 n-1
n-1= a31 a32 а33 … a3 n-1
…………………………...
an-1 1 an-1 2 an-1 3 … an-1 n-1
И т. д.
Общий вывод : необходимо расчитать лишь правую треугольную часть элементов. Нижняя же левая часть определителя заполняется автоматически. Формально ее можно вообще не заполнять, т. е. оставлять в виде
a11 a12 а13 … a1 n-1
a22 а23 … a2 n-1
n-1= а33 … a3 n-1 (5. 16) …………...
an-1 n-1
Отсюда для получения следующегоопределителя можно применить правило, условно назовем, треугольника.
a11= a11 a22- a122
a22= a11 a33- a132 и т. д.
Для недиагоналных элементов схема несколько сложнее
a12= a11 a23- a13 a12 a11 a12 а13 а23 и т. д.
Пример №3.
Исследовать на экстремум функцию z=x3+y3-3xy
1. Находим
z z
---- и ---
y x
z
---- = 3x2-3y
y
z
---- = 3y2-3x
x
2. Находим стационарные точки, решая систему
3x2-3y=0
3y2-3x=0
Получили две стационарные точкм (0; 0) и (1; 1).
3. Находим
2z 2z 2z ------- --------- -------
x2 y2 x y
2z 2z 2z ------- =6x --------- =6y -------- = -3
x2 y2 x y
4. Для точки (0; 0) имеем
a11=0 a22=0 a12= a21= -3
Для точки (1; 1) иммем
b11=6 b22=6 a12= a21= -3
5. Находим
a11 a12 0 -3
a21 a22 -3 0
b11 b12 6 -3
b21 b22 -3 6
Так как
Так как >0 и a11>0, то (1; 1) – точка минимма функции, причем zmin = -1.
Пример №4.
Исследовать на экстремум функцию w=x2/3+y2/3+z2/3
Ищем критические точки
2 2 2
w`x= ------ w`y= --------- w`z= ---------
3 3 x 3 3 y 3 3 z
Эти частные производные не обращаются в нуль ни при каких значениях x, y, z; они не сужествуют (обращаются в бесконечность) в точке P0(0; 0; 0). Точка P0лежит внутри области определения функции w, которая представляет совокупность всех точек (x; y; z) пространства. Поэтому P0 критическая точка. Исследуя знак разности w(P)-w(P0)= x2/3+y2/3+z2/3 вблизи точки P0, убеждаемся, что при любых отличных от нуля значениях x, y, z она сохраняет положительный знак. Поэтому P0 есть точка минимума, wmin=w(P0)=0
5. 4. Экстремумы на множествах.
Следует обратить внимание на то, что мы указали необходимые и достаточные условия экстремума функции лишь во внутренней точке области определения. Таким образом, при отыскании абсолютного максимума или минимума функции необходимо наряду с внутренними критическими точками функции исследовать также точки границы области определения, поскрльку максимальное или минимальное значение функция может принять в одной из таких граничных точек.
Пусть функция f дифференцируема на открытом ограниченом G и непрерывна на его замыкании G. Пусть требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции на множестве G. Для этого можно, например, найти все стационарные точки функции f в G, вычислить в них значения функции и выбрать, если, конечно это возможно (а теоретически возможно это, например, когда число стационарных точек конечно), точки, в которых функция принимает наибольшее и наименьшее значения из всех значений в стационарных точках. После этого следует сравнивать эти значения со значениями, которые функция принимает на границе открытого множества G, например, найдя, если это удается сделать, наибольшее и наименьшее значения функции f на границе области G. Сравнив наибольшее и наименьшее значения в стационарных точках с наибольшим и наименьшим значениями на границе множества G, мы можем, очевидно, найти искомый максимум и минимум f на G. В случае, когда G –плоская область и ее граница является кривой, заданной некоторым представлением x=x(t), y=y(t),
Методы, которые можно применять в многомерном случае для отыскания экстремальных точек на границе области будут рассмотрены позже (см. раздел, посвященный условному экстремуму).
Полезно лишь иметь ввиду, что при отыскании максимумов и минимумов часто наряду с формальной техникой, а иногда и вместо нее можно использовать некоторые простые соображения, связанные с природой задачи. Например, если рассматриваемая в Rnдифференцируемая функция по смыслу задачи должна иметь минимум и вместе с тем она не ограничена сверху, то при условии, что функция имеет единственную критическую точку, можно без дальнейшего исследования утверждать, что в этой точке она принимает минимальное знычение.
6. Условный экстремум.
6. 1. Постановка вопроса.
Одним из наиболее ярких популярных достижений дифференциального исчисления являются предполагаемые им рецепты отыскания экстремумов функций. Необходимые условия и достаточные дифференциальные признаки экстремума, которые мы получили из формулы Тейлора, относятся, как уже отмечалось к внутренним экстремумам. Иными словами, эти результаты применимы только к исследованию поведения функции Rnx f(x) R в окрестности точки тогда, когда аргумент может принимать любое значение из некоторой окрестности Rn в точки x0.
Часто возникает более сложная и с практической точки зрения даже более интересная ситуация, когда ищется экстремум функции при некоторых условиях, ограничивающих область измерения аргумента. Типичным примером может служить изопериметрическая задача, когда ищется тело, имеющее максимальный объем при условии, что ограничивающая его поверхность имеет заданную площадь. Чтобы получить доступную нам математичкую запись такой задачи, упростим постановку и будем считать, что задача состоит в том, чтобы среди прямоугольников, имеющих заданный периметр 2р, найти тот, который имеет наибольшую площадь . Обозначив через х и у длины сторон прымоугольника, запишем, что
(х, у)=х-у
х+у=р
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
