Учебное пособие: Анализ временных рядов
Для разности порядка d , то есть
модель
описывает уже стационарный обратимый процесс АРСС(р, q).
Для того чтобы от ряда разностей вернуться к исходному ряду требуется
оператор s, обратный :
Этот оператор называют оператором суммирования, поскольку
.
Если же исходной является разность порядка d, то для восстановления исходного ряда понадобится d - кратная итерация оператора s, иначе d- кратное суммирование (интегрирование). Поэтому процесс (3) принято называть процессом АРИСС, добавляя к АРСС термин интегрированный. Кратко модель (3) записывают как АРИСС(р, d, q), где р – порядок авторегрессии, d – порядок разности, q – порядок скользящего среднего. Ясно, что при d =0 модель АРИСС переходит в модель АРСС .
На практике d обычно не превышает двух, то есть d .
Модель АРИСС допускает представление, аналогичное общей линейной модели, а так же в виде «чистого » процесса авторегрессии (бесконечного порядка). Рассмотрим, к примеру, процесс АРИСС (1, 1, 1):
(4)
Из (4) следует, что
Отсюда
(5)
В выражении (5) коэффициенты, начиная с третьего, вычисляются по формуле .
Представление (5) интересно тем, что веса, начиная с третьего, убывают по
экспоненциальному закону. Поэтому, хотя формально зависит от всех прошлых значений,
однако реальный вклад в текущее значение внесут несколько «недавних» значений
ряда. Поэтому уравнение (5) более всего подходит для прогнозирования.
11.Прогнозирование по модели АРИСС
Как уже отмечалось, процессы АРИСС допускают представление в виде обобщенной линейной модели, то есть
Естественно искать будущее (прогнозное) значение ряда в момент в виде
Ожидаемое значение , которое мы будем обозначать как
=
Первая сумма в правой части последнего соотношения содержат лишь будущие
возмущения (прогноз делается в момент t, когда известны прошлые значения и ряда и возмущений
) и для них
математическое ожидание равно 0 по определению. Что же касается второго
слагаемого, то возмущения здесь уже состоялись, так что
Таким образом
=
(1)
Ошибка прогноза, представляющая расхождение между прогнозным значением и его ожиданием есть
=
Дисперсия ошибки отсюда есть
(2)
Прогнозирование по соотношению (1) в принципе возможно, однако
затруднительно поскольку требует знания всех прошлых возмущений. К тому же для
стационарных рядов скорость затухания часто оказывается недостаточной,
не говоря уже о нестационарных процессах, для которых ряды
расходятся.
Поскольку модель АРИСС допускает и другие представления, рассмотрим возможности их использования для прогнозирования. Пусть модель задана непосредственно разностным уравнением
(3)
По известным значениям ряда (результатам наблюдений) и оцененным значениям
возмущений
,
опираясь на рекуррентную формулу (3) можно оценить ожидаемое значение ряда в
момент t+1:
-, (4)
При прогнозировании на два такта следует вновь воспользоваться
рекуррентным соотношением (3), где в качестве наблюденного значения ряда в
момент t+1 следует взять предсказанную по (4)
величину ,
то есть
и
так далее.
Наконец, возможно прогнозирование опираясь на представление процесса АРИСС в виде авторегрессии (). Как уже отмечалось, несмотря на то что порядок авторегрессии бесконечен, весовые коэффициенты в представлении ряда убывают довольно быстро, поэтому для вычисления прогноза достаточно умеренное число прошлых значений ряда.
Дисперсия ошибки прогноза на шагов вперед есть
и согласно выражению (2) дается выражением
В предположении, что случайные возмущения являются гаусовским белым
шумом, то есть можно рассматривать доверительный
интервал для прогнозного значения ряда стандартным образом.
12.Технология построения моделей АРИСС
Описанные выше теоретические схемы строились в предположении, что временной ряд имеет бесконечную предысторию, тогда как реально исследователю доступен ограниченный объем наблюдений. Модель приходится подбирать экспериментально, подгоняя ее к имеющимся в распоряжении данным. Поэтому с позиций теоретического применения теории анализа временных рядов определяющее значение имеют вопросы корректной спецификации модели АРИСС(p, d, q) (ее идентификации) и последующего оценивания ее параметров.
На этапе идентификации наблюденные данные используются для определения подходящего класса моделей и делаются предварительные оценки ее параметров, то есть строится пробная модель. Затем пробная модель подгоняется к данным более тщательно; при этом первичные оценки, полученные на этапе идентификации выступают в качестве начальных значений в итеративных алгоритмах оценивания параметров. И наконец, на третьем этапе полученная модель подвергается диагностической проверке для выявления возможной неадекватности модели и выработки подходящих изменений в ней.Рассмотрим перечисленные этапы подробнее.
Идентификация модели
Цель идентификации – получить некоторое представление о величинах p, d, q и о параметрах модели. Идентификация модели распадается на две стадии
1. Определение порядка разности d исходного ряда .
2. Идентификация модели АРСС для ряда
разностей .
Основной инструмент, используемый на обеих стадиях – автокорреляционная и частная автокорреляционная функции.
В теоретической части мы видели, что у стационарных моделей
автокоррелящии спадают с ростом k весьма быстро (по корреляционному
закону). Если же автокорреляционная функция затухает медленно и почти линейно,
то это свидетельствует о нестационарности процесса, однако, возможно, его
первая разность стационарно.
Построив коррелограмму для ряда разностей, вновь повторяют анализ и так
далее. Считается, что порядок разности d, обеспечивающий стационарность, достигнут тогда,
когда автокорреляционная функция процесса падает довольно быстро. На
практике
и
достаточно просмотреть порядка 15-20 первых значений автокорреляции исходного
ряда, его первые и вторые разности.
После того как будет получен стационарный ряд разностей, порядка d, изучают общий вид
автокорреляционной и частной автокорреляционной функций этих разностей.
Опираясь на теоретические свойства этих функций можно выбрать значения p и q для АР и СС операторов. Далее при выбранных p и q строятся начальные оценки параметров авторегрессии и скользящего среднего b=(
). Для авторегрессионных процессов используются
уравнения Юла-Уокера, где теоретические автокорреляции заменены на их
выборочные оценки. Для процессов скользящего среднего порядка q только первые q автокорреляций отличны от нуля и
могут быть выражены через параметры
(см. ). Заменяя
их выборочными оценками
и решая
получающиеся уравнения относительно
, получим оценку
. Эти предварительные оценки можно
использовать как начальные значения для получения на следующих шагах более
эффективных оценок.
Для смешанных процессов АРСС процедура оценивания усложняется . Так для
рассмотренного в п. процесса АРСС(1,1) параметры и
, точнее их оценки, получаются из
( ) с заменой
и
их выборочными оценками.
В общем случае вычисление начальных оценок процесса АРСС(p,q) представляет многостадийную процедуру и здесь не рассматривается. Отметим только, что для практики особый интерес имеют АР и СС процессы 1-го и 2-го порядков и простейший смешанный процесс АРСС(1,1).
В заключение заметим, что оценки автокорреляций, на основе которых строятся процедуры идентификации могут иметь большие дисперсии (особенно в условиях недостаточного объема выборки – несколько десятков наблюдений) и быть сильно коррелированны. Поэтому говорить о строгом соответствии теоретической и эмпирической автокорреляционных функций не приходится. Это приводит к затруднениям при выборе p, d, q, поэтому для дальнейшего исследования могут быть выбраны несколько моделей.
линейный ряд система временной ряд
Размещено на http://www.