Реферат: Решение задач линейной оптимизации симплекс – методом
Краткое описание алгоритма.
1. Нулевая итерация:
а) составляется вспомогательная табл. 6.2, в которую вносятся параметры задачи; дополнительная строка таблицы с номером ν заполняется по мере выполнения ν-й итерации;
б) составляется
основная табл. 6.1 с номером 0, в которой заполняются первые m строк, за
исключением последних двух столбцов Аk и t. Элементы и
определяются скалярными
произведениями (Cx, ej) и (Cx, B)
соответственно. Нулевая итерация заканчивается заполнением нулевой
дополнительной строки вспомогательной таблицы с оценками
.
2. (ν+1)-я итерация.
Пусть ν-я
итерация закончена. В результате заполнена ν-я основная таблица, за
исключением двух последних столбцов, и ν-я дополнительная строка
вспомогательной таблицы. Просматривается эта строка. Если все , то опорный план
- решение задачи. Если хотя
бы одна
, то в
базис вводится вектор Аk с
(обычно
). После этого заполняется
столбец
основной
таблицы. В позицию (m+1)
этого столбца заносится оценка
вектора
Аk. Остальные элементы этого столбца равны
.
Возможны два случая:
1)
все -
задача неразрешима;
2) хотя бы для одного i. В этом случае, также как и в первом алгоритме,
заполняется столбец (t) основной таблицы ν,
определяется разрешающий элемент
.
Главная часть заполняется по рекуррентной формуле (6.3). Заполняется (ν+1)-я
дополнительная строка вспомогательной таблицы. На этом заканчивается (ν+1)-я
итерация.
Решение М-задачи
Таблица 6.3
Таблица 6.4
Задача (5.4), (5.5) имеет опорный план Х0 = (0, 0, 0, ,
,
,
, 0 ,
) с базисом
. Следовательно,
. Процесс решения М-задачи
вторым алгоритмом приведен в основной табл. 6.3 и вспомогательной
табл. 6.4.
Решение М-задачи получено за 5
шагов. Оптимальный план ее равен и
. В оптимальном
плане М-задачи искусственная переменная х9 = 0,
поэтому
- решение задачи
(2.12), (2.13) и
.
Окончательное решение задачи определения плана смешения компонентов полностью повторяет решение, рассмотренное в завершающей части п.4 (см. стр.11-12).
7. Формирование двойственной задачи
Произвольной задаче линейного программирования определенным образом соответствует некоторая другая задача линейного программирования. Будем называть ее двойственной, а первоначальную задачу – исходной.
Обозначим
;
;
;
;
(7.1)
Теперь исходная задача (2.1) - (2.3) в канонической форме может быть записана в матричном виде следующим образом.
Требуется определить вектор ,
обращающий в максимум
. (7.2)
при условиях
AX=B; (7.3)
. (7.4)
Тогда двойственная задача – определить вектор , обращающий в минимум
f(Y)=YB (7.5)
при условиях
. (7.6)
Транспонируя обе части неравенства (7.6),
записанного в виде строки, и учитывая , получим
. (7.7)
Отметим, что в двойственной задаче переменные yi могут быть и отрицательными.
Рассмотрим в качестве исходной задачу (2.12), (2.13). С учетом (7.1) и (7.7) запишем
С = (120, 100, 150, 0, 0, 0, 0, 0),
B = (,
,
,
,
),
.
Двойственная задача имеет вид
; (7.8)
(7.9)
8. Формирование оптимального решения двойственной задачи на основе теоремы о двойственности
Оказывается, что для задач (7.2) - (7.4) и (7.5), (7.6), называемых двойственной парой, справедлива следующая теорема.
Теорема (первая теорема о
двойственности). Если одна из задач двойственной пары
(7.2) - (7.4) и (7.5), (7.6) имеет решение, то другая задача
также разрешима. При этом для любых оптимальных планов и
(здесь Мх, Му
– множества планов соответственно прямой и двойственной задач) задач
(7.2) - (7.4) и (7.5), (7.6) имеет место равенство
.
Если линейная форма одной из задач не ограничена (для F(X) – сверху, для f(Y) - снизу), то другая задача не имеет ни одного плана.
Оптимальное решение двойственной задачи может быть найдено на основе следующего следствия из этой теоремы.
Следствие. Если вектор является оптимальным
опорным планом задачи (7.2) - (7.4), то вектор
(8.1), является
оптимальным опорным планом задачи (7.5), (7.6).
Стоит отметить, что в ходе решения исходной задачи
вторым алгоритмом, при каждом шаге вычисляется вектор . И если Х –
оптимальный опорный план задачи (7.2) - (7.4), то в (m+1)-й
строке, соответствующей основной таблице, находится решение задачи
(7.5), (7.6).
Пусть двойственная задача имеет вид (7.8), (7.9).
Так как исходная задача (2.12), (2.13) имеет решение, то на основании рассмотренной теоремы о двойственности двойственная задача также разрешима.
Оптимальным опорным планом исходной является (см. п.4, п.6). При
этом
;
; .
Вычислим
.
На основании следствия из теоремы о двойственности
можно заключить, что является
оптимальным планом двойственной задачи, при котором
. Анализируя (m+1)-ю
строку основной таблицы (см. табл. 6.3, шаг 5), можно убедиться
в том, что оптимальный план двойственной задачи, сформированный на основе
теоремы о двойственности, совпадает с оптимальным планом, найденном при решении
исходной задачи вторым алгоритмом симплекс-метода. Это говорит о том, что
оптимальный план задачи (7.8) - (7.9) найден верно.
9. Анализ результатов и выводы
В данной работе рассматриваются два способа решения исходной задачи линейного программирования.
Первый заключается в том, что сначала решается вспомогательная задача (L-задача), позволяющая построить начальный опорный план, затем на основе этого найденного плана решается исходная задача (определяется ее оптимальный план). Второй способ является объединением двух этапов и состоит в решении расширенной задачи (M-задачи), также приводящей к нахождению оптимального плана исходной задачи.
Вычислительную основу этих двух способов решения составляют соответственно первый и второй алгоритмы симплекс-метода. Один из параметров, по которому может быть оценен любой итерационный алгоритм – количество шагов, приводящих к решению задачи или установлению ее неразрешимости. Для данной задачи наиболее эффективным методом оказался первый метод(L-задача + исходная задача), т.к. он привел к решению за 4 шага, а второй метод (M-задача) за 5 шагов. Разница в числе шагов, вероятно, обусловлена неоднозначность выбора разрешающего элемента в исходной таблице L-задачи (3.2.1).
Сравнение количества вычислений на каждой итерации приводит к следующим оценочным результатам рассматриваемых алгоритмов. Преимущественная часть вычислений на каждом шаге алгоритмов определяется размерностью главной части таблицы (в первом алгоритме) или основной таблицы (во втором алгоритме). В первом случае она имеет размерность (m+1)x(n+1), во втором - (m+1)x(m+1). Даже учитывая, что второй алгоритм требует построения вспомогательной таблицы, он оказывается более компактным.
Еще одно несомненное достоинство второго алгоритма заключается в возможности определения оптимального плана двойственной задачи из (m+1)-й строки основной таблицы, соответствующей последней итерации, без всяких дополнительных вычислений.