Реферат: Реляционное исчисление
Для полноты необходимо добавить следующие замечания.
- Единственная ссылка на переменную V в значении параметра <имя переменной кортежа> является свободной в пределах этого параметра <имя переменной кортежа>.
- Единственная ссылка на переменную V в значении параметра <ссылка на атрибут кортежа> V.A является свободной в пределах этого параметра <ссылка на атрибут кортежа>.
- Если ссылка на переменную V является свободной в некотором выражении exp, то эта ссылка будет также свободной в любом выражении exp’, непосредственно содержащем выражение exp как подвыражение, если только в выражении exp’ не вводится квантор, связывающий переменную V.
Приведём несколько примеров формул WFF, содержащих переменные
кортежей.
- Простые сравнения
SX.S# = S# (‘S1’)
SX.S# = SPX.S#
SPX.P# ≠ PX.P#
Здесь все ссылки на переменные SX, PX и SPX являются свободными.
- Логические выражения из простых сравнений
PX.WEIGHT < WEIGHT (15.5) OR PX.CITY = ‘Rome’
NOT (SX.CITY = ‘London’)
SX.S# = SPX.S# AND SPX.P# ≠ PX.P#
PX.COLOR = COLOR (‘Red’) OR PX.CITY = ‘London’
Здесь также все ссылки на переменные SX,PX и SPX являются свободными.
- Формулы WFF с кванторами
EXISTS SPX (SPX.S# = SX.S# AND SPX.P# = P# (‘P2’) )
FORALL PX (PX.COLOR = COLOR (‘Red’) )
В этих примерах ссылки на переменные SPX и PX являются связанными, а ссылка на переменную SX является свободной. Подробнее данные примеры объясняются ниже.
2.4. Кванторы.
Существуют два квантора: EXISTS и FORALL. Квантор EXISTS является квантором существования, а FORALL─ квантором всеобщности. По сути, если выражение p ─ формула WFF, в которой переменная V свободна, то выражения
EXISTS V (p)
и
FORALL V (p)
также являются допустимыми формулами WFF, но переменная V в них обеих будет связанной. Первая формула означает следующее: «Существует по крайней мере одно значение переменной V, такое, что вычисление формулы p даёт для него значение истина». Вторая формула означает следующее: «Для всех значений переменной V вычисление формулы p даёт значение истина». Предположим, например, что переменная V изменяется на множестве «Члены сената США в 1999 году», и предположим также, что выражение p ─ следующая формула WFF: «V ─ женщина» (разумеется, здесь не пытаемся использовать формальный синтаксис). Тогда выражение EXISTS V(p) будет допустимой формулой WFF, имеющей значение истина (true); выражение FORALL V(p) также будет допустимой формулой WFF, но вычисление его значения будет давать значение ложь (false).
Теперь рассмотрим квантор существования EXISTS более внимательно. Ещё раз обратимся к примеру из предыдущего раздела.
EXISTS SPX (SPX.S# = SX.S# AND SPX.P# = P# (‘P2’) )
Из приведённых ранее рассуждений следует, что эта формула WFF может быть прочитана следующим образом.
В текущем значении отношения SP существует кортеж (скажем, SPX), такой, для которого значение атрибута S# в этом кортеже равно значению атрибута SX.S# (какое бы оно ни было), а значение атрибута P# в кортеже SPX равно ‘P2’.
Каждая ссылка на переменную SPX в этом примере является связанной. Единственная ссылка на переменную SX свободна.
Формально квантор существования EXISTS определяется как повторение операции OR (ИЛИ). Другими словами, если r ─ это отношение с кортежами t1, t2, … , tm, V ─ это переменная кортежа, изменяющаяся на данном отношении, и p(V) ─ это формула WFF, в которой переменная V используется как свободная переменная, то формула WFF вида
EXISTS V (p (V))
равносильна следующей формуле WFF.
false OR p (t1) OR … OR p (tm)
В частности, обратите внимание, что если отношение R пустое (т.е. m=0), то результатом вычисления данного выражения будет значение ложь.
Рассмотрим в качестве примера отношение r, содержащее следующие кортежи.
(1, 2, 3)
(1, 2, 4)
(1, 3, 4)
Для простоты предположим, что три атрибута, идущие по порядку слева направо, имеют имена A, B и C соответственно и каждый из этих атрибутов имеет тип INTEGER. Тогда приведённые ниже выражения будут иметь указанные значения.
EXISTS V (V.C>1) : true
EXISTS V (V.B>3) : false
EXISTS V (V.A>1 OR V.C = 4) : true
Теперь рассмотрим квантор общности FORALL, для чего вернёмся к соответствующему примеру из предыдущего раздела.
FORALL PX (PX.COLOR = COLOR (‘Red’) )
Эта формула WFF может быть прочитана следующим образом.
В текущем значении отношения P для всех кортежей (скажем, PX) значение их атрибута COLOR равно ‘Red’.
Обе ссылки на переменную PX в этом примере связаны.
Подобно тому, как квантор EXISTS был определён как повторение операции OR, квантор существования FORALL определяется как повторяющаяся операция AND (И). Другими словами, если обозначения r, V и p(V) имеют тот же смысл, что и в приведённом выше определении квантора EXISTS, то формула WFF вида
FORALL V (p (V) )
равносильна следующей формуле WFF.
true AND p (t1) AND … AND p (tm)
В частности, обратите внимание, что если отношение r пустое, то результатом вычисления данного выражения будет значение истина.
В качестве примера рассмотрим отношение R, содержащее те же кортежи, что и в предыдущем примере. Тогда приведённые ниже выражения будут иметь указанные значения.
FORALL V (V.A>1) : false
FORALL V (V.B>1) : true
FORALL V (V.A = 1 and V.C>2) : true
Замечание. Квантор FORALL включён в реляционное исчисление просто для удобства. Он не является необходимым, так как приведённое ниже тождество показывает, что любая формула WFF, использующая квантор FORALL, всегда может быть заменена эквивалентной формулой WFF, использующей квантор EXISTS.
FORALL V (p) ≡ NOT EXISTS V (NOT p)
(Проще говоря, выражение «все значения V, удовлетворяющие формуле p» ─ это то же самое, что и выражение «нет таких значений V, которые бы не удовлетворяли формуле p».)
Например, утверждение (истинное)
Для любого целого x существует целое y, такое, что y>x
равносильно утверждению
Не существует целого x, такого, что не существует целого y, такого, что y>x.
(Иначе говоря, не существует наибольшего целого числа.) Но обычно легче выразить подобное утверждение в терминах квантора FORALL, чем в терминах квантора EXISTS, с использованием двойного отрицания. Другими словами, на практике гораздо удобнее использовать оба квантора.
2.5. Ещё раз о свободных и связанных переменных.
Предположим, что переменная x изменяется на множестве всех целых чисел, и рассмотрим следующую формулу WFF.
EXISTS x (x>3)
Связанная переменная x в этой формуле WFF является своего рода фиктивной переменной. Она служит лишь для связи внутренних параметров выражения с внешним квантором. В формуле WFF просто утверждается, что существует целое число (скажем, x), которое больше 3. Следовательно, значение этой формулы WFF осталось бы полностью неизменным, если бы все экземпляры x были заменены экземплярами некоторой другой переменной (скажем, y). Другими словами, формула WFF EXISTS y (y>3) семантически идентична формуле, приведённой ранее.
Теперь рассмотрим другую формулу WFF.
EXISTS x (x>3) AND x<0
Здесь имеется три ссылки на переменную x, обозначающие две различные переменные. Первые две ссылки связаны и могли быть заменены ссылкой на другую переменную y без изменения общего смысла формулы. Третья ссылка на переменную x не может быть безболезненно изменена. Таким образом, из двух приведённых ниже формул WFF первая эквивалентна рассмотренной формуле, а вторая ─ нет.
EXISTS y (y>3) AND x<0
EXISTS y (y>3) AND y<0
Кроме того, обратите внимание, что окончательное значение первоначальной формулы WFF не может быть определено, если неизвестно значение свободной переменной x. В отличие от неё формула WFF, в которой все ссылки на переменные являются связанными, всегда однозначно имеет значение либо истина, либо ложь.
Дополнительная терминология. Формула WFF, в которой все переменные связаны, называется закрытой формулой WFF (фактически она является высказыванием). Открытая формула WFF ─ это формула, которая не является закрытой, т.е. такая формула, которая содержит по крайней мере одну ссылку на свободную переменную.
2.6. Реляционные операции.
Параметр <реляционная операция> не совсем уместен в контексте исчисления ─ более подходящим вариантом был бы параметр <реляционное определение>. Однако будем использовать именно первый вариант, и в качестве напоминания приводим следующий синтаксис.
