Реферат: Математические методы планирования экспериментов

Рассмотрим идею выбора значения звездного плеча  на примере матрицы рототабельного планирования второго порядка для , представленной в таблице 5.

Размещение точек этого плана показано на рисунке 3, б. Для обеспечения рототабельности точек 5, 6, 7, 8 необходимо удалить их от центра плана на расстояние  в  раз большее, чем удаление точек 1, 2, 3, 4 от осейи . В результате этого все точки плана (таблица 5) оказываются лежащими на окружности. Учитывая существенно большее влияние на функцию отклика случайной ошибки в точке 9, рекомендуется ставить в этой точке плана не один, а несколько дублирующих опытов (в данном случае опыты с 9 до 13) для усреднения полученных результатов и для осуществления статистического анализа результатов всего эксперимента в целом.

Таблица 5 – Рототабельный план второго порядка

Учитывая специфический характер рототабельного плана в общем виде, можно также получить формулы для расчета коэффициентов уравнения регрессии и их дисперсий:

 (22)

; (23)

 (24)

 (25)

 (26)

 (27)

 (28)

где   (29)

  (30)

  (31)

 (32)

Здесь  - число опытов в центре плана;  - число остальных опытов.

Матрица рототабельного планирования, оказывается неортогональной, так как:

 (33)

Следовательно, если какой-либо из квадратичных эффектов оказался незначимые, то после его исключения коэффициенты уравнения регрессии необходимо пересчитать заново.

При использовании рототабельных планов второго порядка дисперсию воспроизводимости можно определить по опытам в центре плана. В связи с этим при проверке адекватности уравнения регрессии, полученного по рототабельному плану второго порядка, поступают следующим образом.

Находят остаточную сумму квадратов:

 (34)

с числом степеней свободы

 (35)

По опытам в центре плана определяют сумму квадратов воспроизводимости:

 (36)

с числом степеней свободы  

Далее находят сумму квадратов, характеризующих неадекватность , число степеней свободы которой

 (37)

Проверяют значимость по критерию согласия Фишера:

. (38)

Уравнение значимо, если  

Если модель второго порядка оказалась неадекватной, следует повторить эксперименты на меньшем интервале варьирования факторов или перенести центр плана в другую точку факторного пространства. В тех случаях, когда адекватность модели по-прежнему не достигается, рекомендуется перейти к планам третьего порядка [1].

Использование теории планирования эксперимента является одним из путей существенного повышения эффективности многофакторных экспериментальных исследований. Под планированием эксперимента понимают процедуру выбора числа и условий проведения опытов, необходимых и достаточных для решения поставленной задачи с требуемой точностью. Основные преимущества активного эксперимента связаны с тем, что он позволяет:

1. Минимизировать общее число опытов;

2. Выбирать четкие логически обоснованные процедуры, последовательно выполняемые экспериментатором при проведении исследования;

3. Использовать математический аппарат, формализующий многие действия экспериментатора;

4. Одновременно варьировать всеми переменными и оптимально использовать факторное пространство;

5. Организовать эксперимент таким образом, чтобы выполнялись многие исходные предпосылки регрессионного анализа;

6. Получать математические модели, имеющие лучшие в некотором смысле свойства по сравнению с моделями, построенными из пассивного эксперимента;

7. Рандомизировать условия опытов, то есть многочисленные мешающие факторы превратить в случайные величины;

8. Оценивать элемент неопределенности, связанный с экспериментом, что дает возможность сопоставлять результаты, полученные разными исследователями.

В планировании экспериментов применяются в основном планы первого и второго порядков. Планы более высоких порядков используются в инженерной практике редко. В данном реферате было кратко изложена методика составления плана эксперимента для моделей первого порядка и более подробно представлено понятие о планировании второго порядка и построение планов второго порядка [2].

1.  Спирин Н.А., Лавров В.В. Методы планирования и обработки результатов инженерного экспиремента: конспект лекции Н.А. Спирина – Екатеринбург: ГОУ ВПО УГТУ – УПИ, 2004.- 257 с.

2.  Налимов В.Н. Логические основания планирования эксперимента: учебник Е.А. Шалыгина -2-е изд. – М.: Колос, 2001.

3.  Планирование эксперимента – Режим доступа: URL: http://opds.sut.ru/electronic_manuals/pe/f053.htm