Вопросы к гос. экзамену по дисциплине "Математика – Алгебра" - (шпаргалка)
p>Теорема 2. Пусть Р[x] – кольцо над Р, Р(a) – простое расширение Р с помощью элемента a. Пусть y: Р[х] на Р[a] – отображение такое, что y(f(x))=f(a). Тогда: 10. "aОP, y(a)=a;20. y(x)=a;
30. y – гомоморфизм и эпиморфизм;
40. Ker y ={f(x)О Р[x]/ f(a)=0О Р[a]};
50. Фактор-кольцо Р[х]/Ker y изоморфно кольцу Р[a].
n 10 и 20 следуют из определения y.
30: y(f(x)+g(x))= f(a)+g(a), y(fg)=f(a)g(a), y(1)=1, это проверяется непосредственно, поэтому y – гомоморфизм; "f(a)ОР[a], $ f(x)О Р[x], y(f(x))=f(a) Ю y – эпиморфизм. 40: следует из существования Ker f для гомоморфизма и из определения y. Рассмотрим 50. Так как Ker y – идеал Р[х], то становится возможным Р[х] факторизовать, получить Р[х]/Ker y, тогда по основной теореме об эпиморфизме колец Р[х]/Ker y є Р[a].
e: Р[x]® Р[x]/Kery, e (f(x))=Kf(x).
j: Р[x]/Kery® Р[a], где
j(Kf(x))=f(a)Ю j – изоморфизм.
Следствие 3. Если a - трансцендентный элемент над полем Р, то Р[х]@ Р[a]. n В силу трансцендентности a над Р, Kery={0} и Р[x]/{0}@ Р[a], кроме того e – изоморфизм, то есть Р[x]/{0}@ Р[x] следовательно, Р[x]@ Р[a]. Определение 4. Пусть Р[х] – кольцо многочленов над полем Р. Пусть a – алгебраический элемент над полем Р. Минимальным многочленом * a над Р называется нормированный многочлен наименьшей степени, для которого a является корнем. Обозначим минимальный многочлен для a над Р через g(x), deg g(x)=n называют степенью алгебраического элемента a над Р. Легко показать:
g(x) существует для каждого алгебраического элемента;
g(х) – неприводимый многочлен в Р[х] над Р;
g(x) для a определяется однозначно.
– вытекает из определения алгебраического элемента.
– из определения минимальности g(x).
– из предположения, что существует два многочлена * g и h и их неприводимости, они ассоциированы, а так как они неприводимы, то g(x)=h(x). Теорема 5. Пусть a алгебраический элемент степени n над Р (aПР) и g(x) – его минимальный многочлен степени n, тогда имеют место: 10. Если f(a)=0, где f(x)О Р[х], то f(x)M g(x);
20. Р[х]/(g(f))@ Р[х];
30. Р[х]/(g(f)) – поле;
40. Р[a]=Р(a).
n Пусть a корень f(x), то есть f(a)=0, известно, что g(a)=0, тогда (f, g) либо 1, либо нет. Первое невозможно, так как по известной теореме f(x)M (x-a) и g(x)M(x-a). Следовательно, (f, g)№1, то есть они не являются взаимно простыми, поэтому f(x) делится на g(x). Зададим гомоморфизм y: Р[х]® Р[a], y(f(x))=f(a)ЮKer y={f(x), f(a)=0} состоит из многочленов, делящихся на g(x), поэтому Ker y=J=(g(x)) – идеал Р[х]Ю Р[х]/(g(x)) @ Р[a] (*), так как Р[a]МР(a), то Р[a] – область целостностиЮ Р[х]/(g(x)) в силу (*) тоже область целостности. Покажем, что любой элемент из Р[х]/(g(x)) ненулевой обратимый. Пусть смежный класс, , то f(a)=0, тогда f(x) не делится на g(x)Ю(f(x), g(x))=1Ю, но Ю Ю , что и требовалось доказать, то есть Р[х]/(g(x)) – поле, а так как эта алгебра изоморфна Р[a], то Р[a] тоже поле являющееся подполем поля Р(a). Но Р(a) минимальное подполе поля F, следовательно, Р(a) М Р[a], откуда получаем, что Р[a]=Р(a). Эта теорема позволяет установить строение простого алгебраического расширения Р(a). Пусть a - алгебраический элемент над P, а Р(a) – простое алгебраическое расширение P, пусть степень a равна n>0. Тогда Теорема 6. Любой элемент поля Р(a) однозначно представим в виде линейной комбинации n элементов 1, a, ...., an-1 с коэффициентами из P.
Вопрос 15. Простые и составные числа.
Рассмотрим N – натуральные числа. Введем понятие простого и составного числа. Опр. 1 N ' а называется делящимся на число вОN, в > 0, если существует такое число с, что а = вс, при этом а – делимое, в – делитель, с – частное. Все натуральные числа, в связи с отношениеми делимости на , разбиваются на группы: {0}, {1}, {р1, р2, …, …}, {а1, а2, …}, где 1 обладает только один делитель, рi – двумя, а для аi существует более двух. Опр. 2Натуральное число р называется простым, если оно имеет ровно два различных делителей. (1 и само число р), составным, если имеет более двух делителей. Введенное определение позволит выражать числа натуральные через простые. Это описывается теоремой, которую называют основной теоремой арифметики. Теорема. 3 Любое n О N, n > 1 можно единственным образом представить в виде произведения простых чисел с точностью до перестановки сомножителя.
В теореме содержится две теоремы: о существовании разложения и его единственности.
(7) Пусть n О N, n > 1. Для доказательства исследуем метод математической индукции. n = 2, 2 – простое число, следовательно n = 2 и есть его разложение. Предположим, что для любого натурального числа, меньшего n, теорема верна и докажем для n.
Пусть дано натурально n, если оно простое, то это и есть его разложение. Если n составное, тогда n = вс, где в, сО Nи меньше n. По предположению индукции разложение их на простые множители существует, поэтому оно существует и для n. На основании принципа математической индукции, можно утверждать истенность теоремы для любого nО N, n > 1. (! ) Докажем единственность разложения на простые множетели методом математической индукции.
n = 2, 2 = 2. Разложение единственное.
Допустим, что для любого числа натурального, меньшего n утверждение справедливо и докажем для n. Если n простое число, то это и есть его разложение и оно единственно. Если n составное, то оно допустит разложение на простые числа. Предположим, что таких разложений оказалось два: n = p1p2 ј pк = q1q2 … qs (1). Из равенства (1) видно, что “правая часть” делится на p1. А т. к. в “правой части числа простые”, то существует число qi, которое делится на p1;
(p1, qi) = 1. Следовательно, p1 = qi. Пусть qi = q1, разделим обе части равенства (1) на p1, получим, что и “левая часть” и “правая часть” числа натуральные, меньше n, а для них разложение единственное с точночтью до перестановки сомножителя. Поэтому при соответственно мы получаем, что n = p1p2 ј pк – разложение n и это разбиение единственное. Что и требовалось доказать. Если среди простых множителей окажутся равные, то их объединяют в степень и получают представление nО N в виде: , которое называют каноническим разложением натурального числа. В теории натуральных чисел имеет место теорема, решающая вопрос о количестве простых чисел во множествеN.
Теорема 4. (Евклида) Множество простых чисел в N бесконечно. Проведем доказательство методо от противного.
Пусть простых чисел конечное число: p1p2 ј pк. Рассмотрим N = p1p2 ј pк+1. Исследуем полученное число: 1) N > 1 => оно простое или составное; N № pi, i = 1, к ; 2) N pi, , i = 1, к =>, т. к. при делении на pi получен остаток 1; N – составное. Если N составное, то ему надлежит делиться на 1, N и еще на какое-нибуть простое число (см. ниже), но это не так, поэтому N не является составным. Полученное противоречие и доказывает теорему. Теорема 5. Наименьший, отличный от 1 делитель составного числа, является простым числом. Пусть n О Nимеет делители, отличные от 1. Обозначим тот делитель, который будет наименьшим среди всех делителей. Пусть это натуральное число к, т. е. n = к. m; к, m О N, к > 1. Исследуем к. Если к = p – простое число, то теорема верна.
Если к – составное число, то к = к1 m1, тогда n = к1 (m1 m), n к1, к1< к, что противоречит выбранному наименьшему значению. Это и доказывает теорему.
Достаточно часто в математике приходитс для числа а О Nвыяснять, является оно простым или составным. Для решения подобных задач предложен способ, носящий название “решето Эратосфена…” или способа отсеивания чисел кратных 2, 3, …, p, … .
Опишем этот способ.
Если даны числа натурального ряда: 1, 2, 3, 4, 5, …, n, то для установления какими они являются: простыми или составными, поступают так: вычеркивают 1, 2 и каждое второе, ибо каждое второе начинается от 3, делится на 2, поэтому является составным. Затем повторяем эту процедуру для 3. 3 вычеркивается и каждое третье, ибо 6–третье по счету за 3, делится на 3. названную процедуру повторяют до простого числа с не превосходящего. Оставшиеся числа являются простыми. Такой алгоритм можно использовать и для установления чисел в промежутке от n1 до n2. Опишем его спецификацию . Если надо установить какие числа в промежутке от n1 до n2 являются простыми, то поступим так: выясним простое или составное является число n1:
Проверим его делимость на 2, 3, 5, …p ? . Если оно не делится на эти простые числа, то оно простое; Если оно делится хотя бы на одно из этих чисел, то оно составное. при выяснении простого числа n, одновременно поступаем так: 2. 1 если n12, то вычеркивают его и каждый второй (как в первом случае); и переходим к (n1 + 1); 2. 2 если n1 2, то к числу добавляем 1 и вычеркиваем n1 + 1 и любое второе за ним; 2. 3 если было 2. 1, то переходим к (n1+ 1) и проверяется делим его на 3, повторяем процедуру решета Эратосфена переходит к (n1 + 2);
2. 4 Если было 2. 2, то проверяют делимость на 3;
2. 4. 1. если n13, то проверяю решето Эратосфена и переходят следующему. не вычеркнутому числу и исследуют его делимое на 5;
2. 4. 2. если n1 = 3q + r, то в зависимости от r = 1 или r = 2, добавляем 1 или 2 и n1 + 1, n1 + 2.
И любое третье по счету и т. д.
2. 5 Если n1 оказалось простым, то все не вычеркнутые числа тоже простые. Если n1 оказалось составным, а ni – простое, то все стоящие за ni числа остальные простые.
