Вопросы к гос. экзамену по дисциплине "Математика – Алгебра" - (шпаргалка)
p>Способом: a, r2…rg(m)=rj, сократим на ri, получим r1, r2…rj-1, rj+1 rg(m)=1, тогда (r2…rg(m)=(r1)-1, (r1r3…rg(m)=(r2)-2 и т. д. , что подвтерждает факт существования длякаждого класса ri ему обращенного ri-1. Теорема доказана.
Теория сравнения имеет всевозможное применение. В частности, теория сравнения Используется при выводе признаков делимости. Сформулируем общий признак Делимости на mОZ, m>1, который назван признаком Паскаля. В основе этого признака лежит систематическая запись натурального числа в системе с основанием g, т. е. (anan-1…a1a0)g=anЧgn+an-1gn-1+…a1g1+a0g°.
Теорема 3. (Паскаля) Число а=(аn, an-1…a1, a0)g делится на mОZ, m>1 тогда и только Тогда, когда на m деления в число: anrm+an-1rn-1+…a1r1+a0r0, где ri остаток От деления gi на m.
g°=mg0+r0, g1=mg2+r1, …gn=mgn=rnЮ
g0єr0(m0dm), g1єr1(m0d0), …, gnєrn(m0d0). Используя свойства сравнения легко получаем, что angn+…+a0g0єanrn+…+a0r0 (m0d0). Воспользуемся определение сравнения, мы получаем истинность теоремы. Общий признак позволяет вывести частный признак.
Выведем признак делимости на 3 и на 5, если число записано в десятичной Системе исчисления.
m=3, g=10, тогда 10°=1є1(mod3),
10є1 (mod3), используем лемму, можно утверждать, что остатки ri =1, по по признаку Паскаля
(anan-1…a0)10єan+…a0(mod3), откуда можно сфоормулировать признак делимости на 3:
“Число делится на 3 тогда и только тогда, когла сумма его цифр в десятичной делится на 3”.
Пусть b ОР(a), т. к. Р(a) = Р[a], то b = аSas +···+a1a + a0, где f(х) = аSхs +···+a1х + a0О Р[х], f(a) = b. Пусть g(х) – линейный элемент для a, т. е. g(х) = bnхn + ···+ b1х + b0. Разделим f(х) на g(х) : f(х) = g(х) g1(х) + r(х), 0Ј deg r(х) < n, т. е. r(х) = с0 + с1х +···+ сn-1хn-1. (сiОр). положим х = a в (1), получим f(a) = g(a) g1(a) + r(a), т. к. g(a) = 0, то f(a) = r(a), т. е. b = с0 + с1a +···+ сn-1an-1. Получили, что такое представление однозначное. Пусть b = с0 + с1a +···+ сn-1an-1 и b = d0 + d1a +···+ dn-1an-1. Рассмотрим многочлен ц(х) = (с0 - d0) + (с1 - d1)х + ••• + (сn-1 - dn-1)х n-1, причем ц(a) = 0, т. е. получился многочлен, степени меньше чем n, для которого a является корнем, что противеречит линейности многочлена для a. Если ц(х) существует, то он нулевой, поэтому сi = di, что и доказывает теорему.
Посмотрим как возможно изменить эту теорему для освобождения от алгебраической иррациональности в знаменатели дроби.
Пусть a – алгебраический элемент степени n > 1 не из Р
Пусть f(х), h(х) два многочлена из Р[х], h(a) № 0. Тогда в р(a) может быть дробь . Возникает проблема представить дробь в виде линейной комбинации степеней a. Это возможно, так как любой элемент из р(a) есть линейная комбинация 1, a, …, a n-1 Задача состоит в нахождении алгоритма преобразования. Пусть g(х) – минимальный многочлен для a степени n. Т. к. h(a) № 0, то h(х)g(х) ® (h(х), g(х)) = 1 => uh + vg = 1. Т. к. g(a) = 0, u (a) h (a) = 1 u(a) = . Следовательно, = f (a)u(a) , где f(х), u(х) О Р[х], а f (a), u(a)О Р[a]. Таким образом удалось освободиться от иррациональности в знаменателе дроби, а сделать это можно так:
рассмотрим h(х) и g(х) – минимальные a, если a
с помощью алгоритма евклида подобрать u(х) такой, что h(х) g(х) + v(х) g(х) = 1;
найти u(a);
= f (a)u(a)
Вопрос 10. Кольцо многочленов от одной переменной.
Вопрос предполагает решение проблемы построения кольца многочленов как алгебры и решение проблемы о корнях многочлена.
Для построения кольца многочленов как алгебры напомним определение алгебры. Определение 1. Алгеброй называется упорядоченное множество двух множеств , где множество элементов любой природы, а V – множество операций. Одной из алгебр является кольцо.
Определение 2. Кольцом называется алгебра с двумя бинарными операциями – сложение и умножение -, удовлетворяющих следующим свойствам: < K, +> - аддитивная абелева группа;
“ ґ ”- ассоциативная операция;
Сложение и умножение связаны дистрибутивным законом.
Для построения кольца многочленов зададим кольцо К и введем понятие многочлена. Определение 3. Многочленом f(x) называется сумма anxn+an-1xn-1+.... +a1x+a0, где aiОK, x – неизвестное, xПK, x0=1, 1·x= x. ai называют коэффициентами многочлена, an- старшим, a0 – свободным членом. Определение 4. Суммой двух многочленов и называется многочлен h(x)=f(x)+g(x), h(x)=ckxk+.... +c0, где ci=ai+bi. Определение 5. Произведением двух многочленов и называется многочлен , где . Обозначим множество всех многочленов с коэффициентами из кольца K через K[x] и рассмотрим алгебру . Докажем теорему о том, что эта алгебра является кольцом. Теорема 6. Алгебра многочленов , с коэффициентами из кольца K образует кольцо. g 1. f(x)+(g(x)+h(x))=(f(x)+g(x))+h(x)
f(x)+g(x)=g(x)+f(x)
f(x)(g(x)h(x))=(f(x)g(x))h(x)
f(x)(g(x)+h(x))=f(x)g(x)+f(x)h(x)
Ассоциативность сложения и умножения, коммутативность сложения и дистрибутивные законы непосредственно вытекают из введенных нами операций над многочленами. 2. - называют нулевым многочленом, легко проверить, что , т. е. - выполняет роль нулевого элемента в алгебре K[x]. f(x)=(-an)xn+.... +(-a1)x+(-a0)=-f(x) – называют противоположным многочленом для многочлена f(x), он выполняет роль противоположного элемента в алгебре. Так как все аксиомы кольца выполняются, то - кольцо, которое обозначают K[x] и называют кольцом многочленов над кольцом K. Теорема 7. Если K область целостности, то K[x] тоже область целостности. Для доказательства этой теоремы введем понятие степени многочлена. Степенью многочлена f(x)называется максимальный показатель степени x с коэффициентом отличным от нуля. Обозначение: deg f(x)=n, где an№0.
Степень многочлена обладает свойствами:
deg (f + g) Ј max (deg f, deg g); deg (fg) = deg f + deg g, если K –область целостности. Доказательство свойств степени многочлена осуществляется на основе двух аргументов: во-первых, на основании выполнения операций; во-вторых, на основании целостности K.
Приступим к доказательству теоремы. Требуется проверить выполнимость: (1) коммутативности умножения и (2) отсутствие делителей нуля.
коммутативность умножения следует из определения умножения многочленов над областью целостности, где умножение элементов коммутативно. f(x)№, deg f(x)=nі0, g(x)№ , deg g(x)=mі0,
deg (f(x)g(x))=deg f(x)+deg g(x)= n+m і0 Ю deg (fg) = n+m і 0 Ю $ cn+m № 0 Ю (fg)№ , это и доказывает отсутствие делителей нуля в K[x], где K – область целостности. Пусть возникла ситуация, где требуется многочлен f(x) = anxn+.... +a1x+a0 разделить на двучлен (x-a). Это можно сделать с помощью алгоритма, который принято в математике называть схемой Горнера. Построим этот алгоритм.
f(x) = (x-a)g(x)+r(x), где f(x) = anxn+.... +a1x+a0, g(x)= bnxn+.... +b1x+b0 . Воспользуемся свойством степени, получим:
deg f(x) Ј deg [(x-a)g(x)+r(x)]Ј max[deg (x-a)g(x), deg r(x)] deg (x-a)g(x)=deg (x-a)+deg g(x). Из этих равенств можно сделать вывод, что m=n-1, deg r(x)=0, т. е. r(x) – число, т. е. anxn+an-1xn-1+.... +a1x+a0=(x- -a)bnxn+.... +b1x+b0+r. Раскроем скобки справа и приравняем коэффициенты многочленов. Для удобства одновременно воспользуемся схемой.
an
an-1
....
A2
a1
a0
a
bn-1
bn-2=abn-1+an-1
....
b0=ab1+a1
b0=ab1+a1
r=ab0+a0
anxn=bn-1xn Ю bn-1=an
an-1xn-1=bn-1xn(-a)+bn-2xn-1 Ю an-1=bn-1(-a)+bn-2 Ю bn-2=an-1+abn-1 b1=ab2+a2, b0=ab1+a, r=ab0+a0.
Введем понятие корня многочлена.
Определение 8. Число x=a называется корнем многочлена f(x), если значение многочлена f(a) равно нулю. Рассмотрим теорему Безу о делении многочлена на двучлен (x-a). Теорема 9. (Безу) Остаток от деления многочлена f(x) на двучлен (x-a) равен f(a). g f(x), (x-a). Поделим, f(x)=(x-a)g(x)+r, мы установили, что r – число. Подставим x=a в равенство, получим f(a)=0g(a)+r, откуда вытекает утверждение теоремы f(a) = r. Из теоремы вытекает следствие: f(x)M(x-a) Ы x=a корень уравнения. Ю f(x) M (x-a) Ю f(x)=(x-a)g(x)+f(a) (по теореме Безу), f(a)=0 Ю x=a корень f(x) Ь Пусть x=a корень многочлена, т. е. f(a)=0 Ю f(x)=(x-a)g(x) (по теореме Безу), т. е. f(x) M (x-a).
Вопрос 11. Кольцо многочленов над полем комплексных чисел.
В алгебре многочленов имеют место две взаимно пересекающиеся, взаимно дополняющие линии. Это вопросы существования и количества корней многочлена и разложение многочлена на неприводимые множители.
В вопросе представлено решение этих аспектов для кольца многочленов над полем комплексных чисел, т. е. для кольцаC[x], где C – поле комплексных чисел. Итак, пусть P – поле.
Определение 1. Поле P называется алгебраически замкнутым, если любой многочлен положительной степени имеет в этом поле корень. Алгебраической замкнутостью обладает полеC, это решается основной теоремой алгебры. Теорема 2. Любой многочлен положительной степени из кольца C[x]обладает по крайней мере одним корнем. Примем эту теорему без доказательства в силу того, что она требует предварительного доказательства ряда теорем из математического анализа.
Из основной теоремы алгебры вытекает ряд следствий, их и рассмотрим. Следствие 3. Неприводимым над полем C многочленом является многочлен только первой степени. Для доказательства этого утверждения введем определения приводимого и неприводимого многочлена. Многочленf(x)ОP[x]называется приводимым, если его можно представить в виде произведения двух многочленов меньшей положительной степени. В противном случае многочлен называется неприводимым.
Приступим к доказательству следствия 3.
Пусть дан f(x)ОC[x]. Пусть он приводим. Покажем, что
