Вопросы к гос. экзамену по дисциплине "Математика – Алгебра" - (шпаргалка)
p>Разбиением множества называется совокупность непустых подмножеств, непересекающихся, объединение которых совпадает с данным множеством.Имеет место теорема, которая позволяет рассматривать отношение эквивалентности как разбиение.
Теорема 2. Бинарное отношение задает на A№0 разбиение.
Для доказательства теоремы введем такое понятие как класс эквивалентности: Ka={x/xWa /x, aОA} a-образующий элемент класса.
свойствами рефлексивности, симметричности, транзитивности. Легко проверить, что примерами таких отношений являются "=", "~", "сравнение по модулю", изоморфизм алгебр и другие. Отношение эквивалентности играет большую роль в математике, значимость его определяется тем, что оно задает разбиение, а потому позволяет получать новые множества. Рассмотрим это подробнее.
Разбиением множества называется совокупность непустых подмножеств, непересекающихся, объединение которых совпадает с данным множеством.
Имеет место теорема, которая позволяет рассматривать отношение эквивалентности как разбиение.
Теорема 2. Бинарное отношение задает на A№0 разбиение.
Для доказательства теоремы введем такое понятие как класс эквивалентности:
a-образующий элемент класса.
Классы эквивалентности обладают свойствами:
1. " aОA попадает в какой-либо класс, что означает, что Ka№0 . Это утверждение следует из введенного определения класса. Любые два элемента из класса находятся в отношении, т. е. если b, cОKa , b w c. c, bОKaЮ a w c, Ю c w a , Ю c w b
a w b a w b
Это свойство позволяет утверждать, что любой представитель класса может являться его образующим.
3°. Классы не пересекаются, т. е. КаЗКb=Ж
Пусть КаЗКb№Ж®$сОКаЗКbЮсОКа, сОКbЮсWа, cWbЮаWс, сWbЮаWbЮКа=Кb. Свойства классов и позволяют утверждать истинность теоремы: A, W-эквивалентностиЮKa , Kb , ....Ю
a) классы-подмножества A;
b) классы-неизвестного подмножества;
c) классы-не пересекающиеся;
d) ИKa =A , аОА
Имеет место и обратное утверждение.
Теорема 3. Если на А задано отношение Rs, соответствующее разбиению S, то Rs-отношение эквивалентности .
Пусть A, Rs, S-разбиения, следовательно, A разбивается на подмножества, объединение которых составляет A.
Если подмножества рассматривать как классы, полученные в результате отношения Rs: "принадлежность одному подмножеству", то легко доказать, что все свойства классов имеют место, поэтому Rs-эквивалентность.
Обозначим множество классов эквивалентности через A/w. Это новое множество называютфактор-множеством. Итак, A/w= { Ka /a ОA } .
Рассмотрим некоторые примеры применения теории отношении эквивалентности: Hа множестве дробей {a/b, аОZ, bОN} зададим отношение "=": а/b=с/dЫad=bс. Тогда класс эквивалентности Ка/b=x/y-рациональное число, а {Ka/b}=A/W-множество рациональных чисел.
2. Z, “є”: aєb(mod m)Ы(a-b)Mm, {Ka}=Z/(m)=Zm-основное множество кольца классов вычетов. 3. Ф-множество фигур, " ~ "-подобие. Это отношение рождает понятие "форма фигуры" как класса подобных фигур.
Вопрос 5 . Элементы теории групп.
Алгебра как наука изучает различные алгебры: векторные пространства, группы, кольца. В вопросе требуется рассмотреть одну из них–группу. Определение группы задается аксиометрически и рассматривается одно из наиболее важных отношений, которое изучает эта наука, отношение эквивалентности, которое позволяет получать новые группы. Введем понятие алгебры.
Опр. 1. Алгеброй называется упорядоченная пара множеств , где A-множество элементов любой природы, а V-множество алгебраических операций.
Опр. 2. Пусть дано множество A№Ж . Алгебраическая операция “o ” на множестве А называется отображение f: А®А, т. е. для "a, bОA, ($! ) cОA: aob=c Опр. 3. Группой называется алгебра с одной алгебраической операцией “ o ”, удовлетворяющей свойствам (аксиомам):
1°. "a, b, cОG, ao(boc)=(aob)oc,
2°. $eG, "aОG: eoa=aoe=a.
3°. "aОG, $a°ОG: aoa°=a°oa=e.
e-нейтральный элемент относительно операции;
а°-симметричный относительно операции для а.
Группа, как алгебра, обладающая рядом свойств допускает классификацию. Представим ее схемой:
Будем рассматривать дальнейшие теоретические вопросы в терминах мультипликативной группы.
Теорема 4(свойства группы). В группе нейтральный элемент единственный, для каждого элемента обращение единственно, уравнения ax=b, xa=b разрешимы и имеют единственное решение.
1. Пусть для еОG, $e1, e2-нейтральный (единственный), рассмотрим (1): e1e=ee1=e.
(2): e2e=ee2, откуда получим:
e1=e1e=e1ee2=ee2=e2, т. е. e1=e2.
2. Пусть для aОG, $a1-1, a2-1-обратный для а.
Рассмотрим (1): a1-1a=aa1-1=e
(2): a2-1a=aa2-1=e , откуда получим:
a1-1aa2-1=ea2-1=a2-1,
a1-1aa2-1=a1-1e=a1-1 Юa2-1=a1-1.
3. ax=b; aОGЮ$a-1: aa-1=a-1a=e. Домножим уравнение на a-1: a-1ax=a-1bЮex=a-1bЮx=a-1b.
Пусть уравнение имеет два решения x1, x2:
ax1=b, ax2=b-равенства, домножим на а-1:
x1=a-1b, x2=a-1b.
В силу алгебраичности операции x1=x2, что и требовалось доказать. Из определения группы видно, что G это множество, поэтому есть смысл рассматривать его подмножества. Среди подмножеств особый интерес представляют те, которые являются группами, т. е. замкнуты относительно той же групповой операции.
Опр. 5. Подмножество К группы называется подгруппой, если оно само является группой .
Теорема 6. (критерий подгруппы). Подмножество К группы G является подгруппой тогда и только тогда, когда выполнены два условия:
1°. "a, bОK, ab, baОK.
2°. "aОK, a-1ОK.
ЮG-группа, K М G. Пусть K p G (подруппы), тогда по определению К-группа. Следовательно, 1°, 2° выполнены. ЬG-группа, K М G, 1°, 2°. Покажем, что K p G, т. е. К-группа. Для доказательства необходимо проверить четыре условия:
Замкнутость К относительно групповой операции.
Ассоциативность этой операции.
Существование нейтрального элемента.
Существование для каждого элемента обратного.
Из условия видно, что 1 и 4 выполнены. Второе имеет место в силу того, что КМG. Проверим 3: Т. к. "aОK, $a-1ОK , условие 1°, то аa-1 О К. Но аa-1= е, следовательно, еОК, что и требовалось доказать. Критерий важен в теории групп тем, что сокращает процедуру проверки, является ли подмножество группой (подгруппой). Особую роль в теории групп имеют подгруппы, называемые нормальными, или нормальными делителями. Выведем это понятие.
Пусть G-группа, K p G-подгруппа. Зададим отношение “сравнения по подгруппе К”: aєb(mod K)Ы ab-1 ОK. Проверим, что отношение “є”-является эквивалентностью. 1). ]aОGЮ$ a-1G, aa-1=e, eОKЮ aa-1ОKЮ aєa(mod K)Ю ”є”-рефлексивно. 2). ]aєb(mod K)Юab-1ОK, (a-b-1)-1ОKЮba-1ОKЮbєa(mod K)Ю”є”-симметрично. 3). ]aєb(mod K), bєc(mod K)Юab-1ОK, bc-1ОKЮ (ab-1)(bc-1)ОKЮ ac-1ОKЮ aєc(mod K)Ю ”є”-транзитивно.
Таким образом, отношение сравнение по модулю в G является отношением эквивалентности, а эквивалентность, как известно, задает разбиение на G. Обозначим класс эквивалентности, образованный элементами g ОG, gЇ и покажем, что gЇ=Kg= hОK, gОG Тогда множество классов эквивалентности, которые называются смежными классами группы G по подгруппе К, образуют фактор-множество.
Kg=G/”є”-фактор-множество.
Аналогично можно вывести отношение сравнения по подгруппе иначе: “aєb(mod K)Ыb-1aОK”.
Для различения классы Кg и gК называют правым и левым, причем И Кg=G и ИgK=G, a {Kg/gОG} и {gK/gОG}-образуют фактор-множества. Возможен случай, когда для "gОG, Kg=gK. В этом случае К обозначают буквой Н и называют нормальным делителем группы G по Н. Чем интересен этот случай? Оказывается, над смежным классом группы G по Н можно производить операции, а это позволяет рассматривать новую алгебру.
Зададим операцию “ * ” на множестве смежных классов {Hg/g}, где нормальная подгруппа группы G так: Hg1Hg2=Hg1g2. Покажем, что выведенная таким образом операция является алгебраической, т. е. покажем, что умножение не зависит от представителей классов, т. е. , если a, a'ОHg1, b, b'ОHg2, то abєa'b'(mod H), т. е. ab, a'b'ОHg1g2. ab=(h1g1)(h2g2)=h1h2g1g2=hg1g2ЮabОHg1g2;
a'b'=(h1'g1)(h2'g2)=h1'h2'g1g2=h'g1g2Юa'b'ОHg1g2, следовательно ab, a'b' принадлежит одному классу, т. е. Операция “ * ” на множестве классов является алгебраической, что и дает возможность рассматривать новую группу. Теорема 7. Множество смежных классов группы G по нормальной подгруппе Н образуют группу. Т. к. G, H p G-нормальная, {Hg/g G}=G/”є” . Зададим операцию: Hg1Hg2=Hg1g2. Покажем, что фактор-множество по введенной операции является группой. 1°. Hg1(Hg2Hg3)=Hg1(Hg2g3)=Hg1(g2g3)=H(g1g2)g3=Hg1g2Hg3=(Hg1Hg2)Hg3Юоперация ассоциативная. 2. Hg=He=H "Hg, H: HgH=HgHe=Hge=Hg, т. е. Н-выполняет роль нейтрального элемента на фактор-множестве.
3. Hg, Hg-1: HgHg-1=Hgg-1=He=H;
Hg-1Hg=Hg-1g=He=H, семейство класса Hg-1 выполняет роль обратного для Hg, т. е. (Hg)-1=Hg-1.
так как все аксиомы имеют место, то мы имеем дело с группой. Ее обозначают G/H и называют фактор-группой.
Вопрос 6 Элементы теории колец.
В вопросе требуется ввести понятие кольца, рассмотреть классификацию колец и построить фактор-кольцо.
