Вопросы к гос. экзамену по дисциплине "Математика – Алгебра" - (шпаргалка)
Вопросы к гос. экзамену по дисциплине "Математика – Алгебра" - (шпаргалка)
Дата добавления: март 2006г.
Вопросы к Гос. Экзамену по дисциплине “Математика – Алгебра” Вопрос 3. Определитель квадратной матрицы.
В вопросе рассматривается одна из характеристик матрицы - числовая. Все свойства определителя (числовые характеристики) матрицы рассматриваются для того, чтобы это число стало возможным находить. Введение понятия определителя матрицы позволяет расширить возможности теории решения систем линейных уравнении и другие приложения теории матриц.
Итак, введем определение определителя матрицы и рассмотрим его свойства. Пусть дана квадратная матрица А=(aij)n n, где аij О R
Для введения определения матрицы обратимся к некоторым вопросам теории подстановок.
Подстановка t= 1 2 … n называется взаимно-однозначное t(1) t(2) …t(n)
отображение множества М={1, 2, ...., n} на себя. Множество всех подстановок обозначается Sn, |Sn|=n!
Подстановки характеризуются своей четностью и нечетностью, которые вводятся через инверсию:
-если у подстановки четное число инверсии, то она четная;
-если-нечетное число инверсий, то она нечетная.
Для обозначения четности подстановки используется символ sgn(t ) -знак подстановки. Зафиксируем ряд необходимых утверждений: 1) t = E (единичная)-четная; 2) sgn (t--1 ) = sgn t ; 3) одна транспозиция меняет четность подстановки.
Опр. 1. Определителем квадратной матрицы называется число, равное сумме n! слагаемых, каждое из которых есть произведение n элементов матрицы, взятых ровно по одному из каждой строки и каждого столбца матрицы со знаком sgn (t ) где t -подстановка из индексов элементов произведения , т. е. |A|=еsgn(t)a1t (1) a2t (2) …ant (n) , A=(aij)n*n
приняты также обозначения для определителя: def A, Д.
Теорема 2. Определитель матрицы обладает рядом свойств, среди которых следующие: 1°. |A|=|At|, где Аt -трансионированная;
2°. Определитель матрицы с нулевой строкой равен нулю; 3°. Определитель матрицы с двумя пропорциональными строками равен нулю. 4°. Определитель матрицы с двумя равными строками равен нулю. 5°. Перестановка двух строк(столбцов) матрицы изменяет знак определителя. 6°. Если к одной строке матрицы прибавить другую, уменьшенную на число, не изменяет ее
определитель.
7°. Если i-строка (столбец) матрицы имеет вид i(a1+.... ak b1+.... bk c1+......ck), то определитель такой матрицы равен сумме K-определителей, каждый из которых в i-строке имеет соответственно ее слагаемые, а остальные элементы совпадают с элементами матрицы.
8°. Если строку (столбец) матрицы умножить на число x, то определитель матрицы умножится на это число.
и другие.
Для решения проблемы вычисления определителя матрицы вводятся понятия минора элемента aij (Mij) и его алгебраического дополнения (Aij) . Минором Mij элемента aij матрицы называется определитель матрицы, полученный вычеркиванием i-строки и j-столбца.
Алгебраическим дополнением Aij элемента aij называется число (-1)i+j Мij Имеет место теорема о разложении по элементам строки (столбца). Теорема 3 . |A|= a1jA1j +a2jA2j +......+anjAnj или
|A|=ai1Ai1 +ai2Ai2 +.... +ain Ain .
Доказательство разобьем на три случая:
Cлучай 1. a11…a1n
|A|= a21…a2n = ann Mnn
………
0……ann
Воспользуемся для доказательства определением определителя
|A|=еsgn(t)a1t (1) a2 t (2)…a n-1, t (n-1) a nt (n)
Так как в n-ой строке все элементы кроме ann нули, то все слагаемые в определителе кроме ann равны нулю. Тогда определитель такой матрицы равен: sgn(t) a1t (1) a 2 t (2)......a n-1, t (n-1) a n n =a n n (sgn(t’) a 1t(1) a 2 t(2) .... a n-1, t(n-1)), где t = 1 2 .... n-1 n t’ = 1 2 .... n-1 t (1) t (2) .... t(n-1) t(n) , t(1) t(2) .... t(n) , т. к
t= 1 2 .... n-1 n = 1 2 ...... n
t(1) t(2) .... t(n-1) t(n ) t(1) t(2) .... t(n) , то sgn (t) =sgn(t’).
Мы видим, что в скобках определитель порядка (n-1), полученного вычеркиванием n-ой строки и n-ого столбца. Поэтому
|A|=annMnn, что и требовалось доказать.
Случай 2.
a 11 .... a 1j ... a 1n
|A|= ................................................. = a ij A ij
0 .... a ij .... 0
...................................................
a n1 .... a nj .... a nn
Для доказательства воспользуемся свойством перестановки строк и столбцов матрицы, получим:
A11 .... a1j .... a1n a11 ... a1j ...a1n a11 ... a1n ... a1j A = .................................. = n-i .............................. =n-i n-j .............................. = 0 ... aij .... 0 an1 ... anj ...ann an1 ... ann ...anj an1 ... anj .... ann 0 ... aij ... 0 0 ... 0 ... aij
=2n-Mij*aij=i+jaijMij=aijAij
Случай 3. |A|=a1iA1i +a2iA2i +......+aniAni.
A11 ... a1j ... ann .... a1j+0+...+0 ...... . a1j ... ... 0 ... .... 0 A21 ... a2j ... a2n .... 0 +a2j+...+0 ... ... 0 ... ... a2j ... .... 0 A = ............................... = ..................................... = ............. + ............... +...+ .......... =
an1 ... anj ... ann .... 0+0+...+anj ...... . 0 ... ... 0 ... .... anj
= a1jA1j+a2jA2j+...+anjAnj
Рассмотренная теорема позволяет вычислить определитель матрицы любого порядка . Теория определителей имеет приложительное значение, то есть используется в качестве средства для решения вопрос в математике. В частности, она лежит в основе решения систем линейных уравнений как одного из способов. Возможность использования теории определителей для решения систем зафиксированы теоремой Крамера.
Теорема 4. (Крамера). Если |A| не равен нулю, то система еaijxj=bi, где i=1, n; j=1, n имеет единственное решение, которое находится по формуле: xi= , где = A ,
Dxi-определитель матриц, полученных из А заменой i-столбца столбцом свободных членов.
Пусть (1) еaijxj=bj, i=j=1, n, |A| №0. Запишем систему (1) в виде матричного уравнения (2): AX=b, где А-основная матрица системы, .
X1 b1
X= X2 , b = b2
... ...
xn bn
Если |A| №0® $ А-1 Ю А-1АХ=А-1b Ю X=A-1 b. Известна теорема утверждающая, что A-1 = A* , где A*-присоединенная матрица к матрице A, она состоит из алгебраических дополнений элементов, расположенных в столбцах. Тогда:
A11 A21 ... An1 b1 b1A11+b2A22+...+bnAn1 X= A* b = A12 A22 ... An2 b2 = b1A12+b2A22+...+bnAn2 = .................................... ...... .................................................. A1n A2n ... Ann bn b1A1n+b2A2n+...+bnAnn
x1
= x2 ,
.........
xn
что и позволит получить формулу: Xi= , где = A , i=1, n
Вопрос 4. Бинарные отношения.
Математика как наука отражает мир взаимодействующих простых и сложных объектов (вещей, явлений, процессов). Абстрагируясь от реальности, математика рассматривает унарные, бинарные и другие отношения.
В вопросе требуется рассмотреть бинарные отношения, их свойства и особо обратить внимание на отношение эквивалентности, заданного на одном множестве. Рассмотрим прямое произведение двух множеств. A*B={a, b}, aОA, bОB}. Мы имеем множество упорядоченных пар. Есть смысл рассматривать его подмножество, которое и носит название “бинарное отношение”. Опр. 1Бинарным отношением, заданным на множестве А, называется подмножество прямого произведения А*А. В силу своей природы, бинарные отношения являются множеством упорядоченных пар элементов из А.
Обозначения: W={(a, b) /, a, bОA}; aWb, a, bОA; (a, b)ОW, где a, bОA Например, бинарные отношения являются:
1. "^"на множестве прямых.
2. "=" на множестве чисел.
3. " @ " изоморфизм на множестве алгебр.
4. " ~ " эквивалентность систем и др.
Бинарные отношения могут обладать свойствами:
1) рефлексивность: "aОA, aWa;
2) симметричность: "a, bОA, aWbЮbWa;
3) транзитивность: "a, b, c ОA, aWb и bWcЮaWc
4) связность: "a, bОA, aWbЮbWa;
5) антирефлексивность: "aОA, (a, a)ПW;
6) антисимметричность: "a, bОA, aWb, bWaЮa=b
В зависимости от того, каким набором свойств обладают отношения, они допускают классификацию, которую представим схемой:
Бинарное
отношение
функциональность эквивалентность: порядок: "xОA, $! yОA: рефлексивность, антисимметричность,
f: x®y cимметричность, транзитивность
транзитивность
строгий порядок: нестрогий порядок: антирефлексивность рефлексивность
частичный порядок: полный порядок:
не обладает свойством обладает связностью
связности
Остановимся на отношении эквивалентости, то есть на отношении WМA*A, обладающее свойствами рефлексивности, симметричности, транзитивности. Легко проверить, что примерами таких отношений являются "=", "~", "сравнение по модулю", изоморфизм алгебр и другие. Отношение эквивалентности играет большую роль в математике, значимость его определяется тем, что оно задает разбиение, а потому позволяет получать новые множества. Рассмотрим это подробнее.
