Три кризиса в развитии математики - (диплом)
p>До последнего десятилетия XIX века математики, логики и философы признавали понятия иррационального числа, но отрицали понятие актуальной бесконечности; они считали его внутренне противоречивым. Некоторые из них пытались это доказать. Кантор изучил методологическую основу таких доказательств и показал их полную несостоятельность.“Все так называемые доказательства против возможности актуально бесконечных чисел, — писал Кантор, — ошибочны, потому, что они заранее приписывают или, скорее, навязывают рассматриваемым числам все свойства конечных чисел. Между тем, бесконечные числа — если только их должно мыслить в какой-нибудь форме —должны образовать благодаря своей противоположности к конечным числам совершенно новый числовой вид, свойства которого вполне зависят от природы вещей и образуют предмет исследования, а не нашего произвола или наших предрассудков. ”
Заключительная часть приведенного высказывания Кантора является точной характеристикой существа методологии его научных исследований. Она показывает, что избранный Кантором путь обоснования научной самостоятельности учения о множествах является, по сути, материалистическим; он может быть согласован с идеализмом (субъективным или объективным—безразлично) только на словах, а на деле противоречит ему. Стремление Кантора обосновать с философских позиций возможность такой согласованности и обусловило двойственность его философских позиций в понимании природы математики и её методов.
3. Парадоксы (антиномии)
теории множеств
Наряду с указанными выше трудностями построения теории множеств в ней были обнаруженыпарадоксы (антиномии) поставившие под сомнение учение Г. Кантора в целом. Эти парадоксы стали объектом особого внимания математиков. И, конечно, не случайно. Как указывалось выше, ещё при жизни Кантора его теория множеств стала фундаментом всего здания математики, а её методы— действенным орудием развития многих ведущих математических теорий. Первый парадокс обнаружил сам Кантор в 1895 году и сообщил о нем в письме к Гильберту. через два года этот парадокс обнаружил Бурали-Форти; он сделал его достоянием всех математиков.
Парадокс Бурали-Форти.
Пусть Р —множество всех порядковых чисел. Это множество вполне упорядочено; следовательно, оно определяет некоторое ординарное трансфинитное числор. Если Рр — множество порядковых чисел меньше р, то Рр имеет тот же порядковый тип, что и Р. Но Рр — отрезок множества Р, определяемый числом р. Следовательно Р и его отрезок Ррподобны друг другу. Но Кантор доказал, что вполне упорядоченное множество не может быть подобно любому своему отрезку.
В 1899 году Кантор открыл ещё один парадокс и сообщил о нем Р. Дедекинду. В 1901 году этот парадокс привлек внимание Б. Рассела.
Парадокс Кантора.
Пусть N — множество всех возможных множеств, S —множество всех возможных подмножеств множества N. Поскольку мощность множества всех возможных подмножеств любого множества имеет мощность, большую мощности этого множества, то мощностьS должна быть больше мощности N. С другой стороны, множество N есть множество всех возможных множеств; следовательно S является подмножеством N. Но мощность подмножества не больше мощности множества; значит мощность S не больше мощности N. Наибольшую известность приобрел парадокс, открытый Б. Расселом в 1902 году и опубликованный им в 1903 году. Этот парадокс открыл и Э. Цермело, но в печати его не опубликовал.
Парадокс Рассела.
О некоторых множествах можно сказать, что они содержат себя в качестве своего элемента; таково, например, множество всех множеств. Распределим все возможные множества на два класса. К первым отнесем те множества, которые не содержат себя в качестве своих элементов. Ко второму отнесем все остальные, т. е. которые содержат себя в качестве своих элементов. Рассмотрим первый класс множеств. Этот класс множеств в свою очередь является некоторым множествомN, а потому принадлежит к первому или ко второму классу. Допустим, что множество N принадлежит к первому классу. Первый класс —это класс множеств, каждое из которых не содержит себя в качестве элемента. Но еслиN принадлежит к первому классу, то так как множество Nесть множество всех множеств первого класса, оно должно содержать и себя в качестве элемента. Итак, если множествоNне содержит себя в качестве элемента, то оно содержит себя в качестве элемента, следовательно нельзя предполагать, что множествоN принадлежит к первому классу. Предположим теперь, что множество Nпринадлежит ко второму классу, т. е. содержит себя в качестве элемента. Но элементами множестваN являются только множества, не содержащие себя в качестве элемента. Следовательно, еслиN содержит себя в качестве элемента, то Nне содержит себя в качестве элемента. Мы опять пришли к противоречию и вынуждены признать, что множествоN не может ни принадлежать, ни не принадлежать к первому классу. В наше время известны и другие парадоксы.
4. Аксиоматические построения
теории множеств по Цермело
С начала XX века и до наших дней не прекращаются попытки преодолеть трудности, связанные с построением и парадоксами теории множеств. Установленные в этом направлении результаты не получили, однако, всеобщего признания. Если и можно говорить о ценных результатах, здесь найденных, то в первую очередь в связи с различными вариантами аксиоматического построения теории множеств. Впервые аксиоматическое построение теории множеств осуществил Э. Цермело в 1908 году. Впоследствии аксиономатика Цермело была дополнена и видоизменена в работах А. Френкеля (1922, 1925), Т. Сколема (1922-1923, 1929), Дж. Неймана (1925, 1928), П. Бернайса (1937-1954) и других математиков. Так, Френкель дополнил аксиономатику Цермело одной аксиомой, после чего получилась новая система аксиом— её назвали системой Цермело-Френкеля —более сильная, чем исходная система аксиом Цермело. В отличие от системы Цермело, обозначаемой обычно буквой Z, систему Цермело-Френкеля обозначают двумя буквами: ZF. С помощью ZF можно получить ряд фундаментальных результатов, не доказуемых с помощью Z.
Цермело сформулировал систему аксиом, в которой описал некоторые свойства множеств. Остальные свойства множеств, установленные в теории множеств Кантора, Цермело пытался вывести из своих аксиом.
Основной замысел Цермело состоял в том, чтобы ограничить область применения аксиономатики Z только такими множествами, рассмотрение которых не приводит к парадоксам. Впоследствии, при разработке новых вариантов аксиономатики теории множеств, эта ограничительная тенденция получила всеобщее признание. Позволительно, однако, думать, что в одном существенном пункте она не отвечает основным установкам и замыслу самого Г. Кантора. Кантор стремился развить теорию множеств во всей общности, как теорию, относящуюся к любым множествам; названная ограничительная тенденция была для него совершенно чуждой. Если принять систему Z, то в некоторых существенных пунктах теория множеств Кантора получит достаточное обоснование. Обусловливается это следующими причинами. В системе Цермело имеется так называемая аксиома выбора (раньше её обычно называли просто аксиомой Цермело: в дальнейшем мы часто будем называть её именно так):
Если дано множество М, состоящее из множеств N, не пустых и без общих элементов, то из каждого множества N можно выбрать по одному элементу; совокупность выбранных элементов образует новое множество Р. Впоследствии ортодоксальные последователи Г. Кантора нередко изменяли формулировку аксиомы Цермело так, что она становилась утверждением существования: Для каждого множества М множеств N, не пустых и не имеющих общих элементов, существует (по крайней мере одно) множество Р, содержащее по одному и только одному элементу из каждого множества N.
Утверждение существования множества Р понималось, конечно, в смысле Кантора. Опираясь на эту аксиому Цермело доказал, что всякое множество может быть представлено в форме вполне упорядоченного множества, т. е. , что мощность любого множества есть алеор. Как указывалось выше, этот факт обеспечивает возможность построения арифметики кардинальных трансфинитных чисел почти во всей общности. Достаточно сказать, что аксиома Цермело позволяет решить в утвердительном смысле проблему трихотомии и дает обоснование трансфинитной индукции. Только гипотеза континуума оставалась по прежнему загадкой. Цермело мог утверждать, что мощность континуума есть алеор, но какое место на шкале алеоров занимаетС —это оставалось неизвестным. К этому можно только прибавить, что доказательства эквивалентности друг другу некоторых форм гипотезы континуума также опираются на аксиому Цермело.
Более десяти лет с момента опубликования мемуаров Цермело приложения аксиомы выбора ограничивались областью теории функций действительного переменного. Кроме указанных, можно, например, упомянуть приложения этой аксиомы в теории точечных множеств и, в частности, в теории измеримых множеств. В 20-х и 30-х годах ХХ века поле приложения аксиомы Цермело значительно расширилось. Можно, например, указать на исследования Биркгофа систем дифференциальных уравнений, в которых он применял трансфинитную индукцию. Особенно важно указать на теорию линейных операторов, которую Ж. Адамар в начале 30-х годов называл наиболее сильным методом исследования современной математики. Теория линейных операторов развивается на базе общего учения о множествах и пользуется аксиомой Цермело для установления некоторых важнейших своих предложений. Широкое поле для применения аксиомы Цермело дали алгебра и топология.
Своеобразие аксиомы Цермело заключается в том, что она не только является орудием отыскания новых математических фактов и придает известную общность учению о множествах, но иусугубляет трудности обоснования математики. Одна из трудностей состоит в том, что, рассматривая вполне определенные (в смысле Кантора) множества, с помощью аксиомы Цермело можно доказать существование множеств, неопределимых в смысле Кантора. Вот пример. Рассмотрим все функции действительного переменного х, определенные на сегменте [0, 1] и не равные на этом сегменте тождественно нулю. Разделим эти функции на пары, относя в одну пару такие две функции, которые отличаются только знаком, т. е. функцииf(x)п–f(x). По аксиоме Цермело существует множество Р, включающее по одной и только одной функции каждой пары. Следовательно, согласно аксиоме Цермело, можно утверждать существованиеР функций действительного переменного х, определяемых на сегменте [0, 1] и не равных на этом сегменте тождественно нулю, такого, что
а) каковы бы ни были функции f1 и f2 множества Р, всегда ;
б) какова бы ни была функция j(х), определенная на сегменте [0, 1] и не равная на нем тождественно нулю, существует одна и только одна функцияf множества Р, такая, что либо f+j=0, либо f–j=0 для любого х, . Однако множество Р не определено в смысле Кантора, так как мы не можем сказать о любой функции j(х), подчиняющейся выставленным условиям, принадлежит ли она Р или не принадлежит. Другая трудность состоит в том, что с помощью аксиомы Цермело часто возможно определить класс множеств, в то время как ни одного объекта из этого класса определить (различить) не удается. Например, согласно аксиоме Цермело существует класс неизмеримых множеств. Однако до сих пор никто не смог построить (дать) индивидуального примера неизмеримого множества. 5. Проблема существования в математике
В конце XIX и начале ХХ века исследования по вопросам обоснования математики имели преимущественно преодоление следующих основных трудностей. Теория множеств стала в это время фундаментом математики, а её методы —основой методов ведущих математических дисциплин. Вместе с тем сама теория множеств оказалась необоснованной в ряде решающих пунктов (гипотеза континуума, проблема упорядочивания).
В теории множеств были обнаружены парадоксы (антиномии), устранение которых — как показали исследования математиков и логиков, начиная с Рассела — оказалось отнюдь не простым делом. Парадоксы теории множеств оказались имеющими не только математическую, но и логическую природу; в этой связи естественно возник вопрос о средствах логики, допустимых в математике.
Эти трудности поставили перед математиками проблему понимания существования в применении к математическим объектам.
Чтобы лучше уяснить смысл проблемы существования, установи сначала различие между так называемыми эффективными и неэффективными доказательствами существования. Эти различия мы постараемся описать соответственно представлениям, господствовавших в математике примерно до конца 20-х— начала 40-х годов ХХ века. Докажем, что каковы бы ни были натуральные числа Р1, …, Рп, существует натуральное число Р, взаимно простое с каждым из этих чисел. Рассмотрим число Р=Р1*…*Рп+1; при делении на любое из чисел Р1, …, Рпэто число дает в остатке 1. Следовательно, оно взаимно простое с каждым из чиселР1, …, Рп. Итак, число Р существует.
Это доказательство эффективно. Мы доказали существование числа Ртем, что показали, как с помощью обычных арифметических действий найти это число. К числу эффективных доказательств относятся также доказательства формул для решения алгебраических уравнений третьей и четвертой степеней, доказательство существования определенного интеграла от непрерывной функции и т. п. При этом, естественно, считаются обоснованными соответствующие алгебраические операции, арифметика действительных чисел и операция перехода к пределу.
Вообще всякое эффективное доказательство тем и характеризуется, что с помощью так или иначе обоснованных посылок оно позволяетиндивидуально охарактеризовать (вычислить, построить и т. п. ) объект, существование которого доказывают. Рассмотрим теперь другой пример. число называется алгебраическим, если оно является корнем какого-либо алгебраического уравнения с целыми коэффициентами. Например, число алгебраическое, т. к. оно является корнем уравнения х2–2=0. Напротив, число, не удовлетворяющее никакому алгебраическому уравнению с целыми коэффициентами, называется трансцендентным числом. Докажем, следуя Кантору, существование трансцендентных чисел. Известно, что множество всех алгебраических чисел счётно, в то время как множество всех действительных чисел несчётно. Если бы трансцендентные числа не существовали, каждое действительное число было бы алгебраическим и, следовательно, множество всех действительных чисел было бы счетным. чтобы избежать противоречия остается принять, что трансцендентные числа существуют, хоть доказательство не дает нам ни одного примера трансцендентного числа. Это пример неэффективного доказательства. В неэффективных доказательствах существования (основанные, например, на принципе исключенного третьего) не дается никакого примера объектов, существование которых доказывается.
Парадоксы теории множеств явились дополнительным (но не единственным) основанием поставить под сомнение не только эффективные доказательства существования, базирующиеся на аксиоме Цермело, но и любые неэффективные доказательства существования математических объектов. Можно ли, спрашивали математики, высказывавшие эти сомнения, считать существующим математический объект, который мы не умеем построить, множество, не одного элемента которого мы не сумеем указать?
Какое значение имели сомнения в правомерности неэффективных доказательств существования для математики начала ХХ века? Очень большое! Они, по сути, ставили под сомнение концепцию Кантора, теоретико-множественное обоснование математики и ряд конкретных результатов классических математических теорий. Новое в постановке проблемы существования в математике начала ХХ века состояло в том, что эта проблема много шире и глубже, чем раньше, захватила основные вопросы обоснования математики и логики и оказалась тесно связанной и с философией.
Список литературы.
И. Н. Бурова. Парадоксы теории множеств и диалектик.
А. Н. Колмогоров. Математика в её историческом развитии.
Математическая энциклопедия.
В. Н. Молодший. Очерки по философским вопросам математики.
Г. И. Рузавин. О природе математического знания.
Философские проблемы естествознания. Под ред. С. Т. Милюхина. И. З. Цехмистро. Диалектика множественного и единого.
С. А. Яновская. Методологические проблемы науки.
