Три кризиса в развитии математики - (диплом)
p>Таким образом, можно сказать, что в первой четверти XIX века классический анализ становится наукой о всех возможных видах функций действительного переменного в их общем виде. Коренному изменению подвергся не только объект математического анализа; произошло коренное изменение и вметодах изучения функций.Как уже указывалось, развитие понятия интеграла и разработка техники его вычисления показали, что определенный интеграл (двойной, тройной интегралы по поверхности, несобственные интегралы) необходимо обосновывать самостоятельно, независимо от понятия неопределенного интеграла. В связи с этим возник вопрос о существовании пределов интегральных сумм, слагаемые которых были бы бесконечно малыми. В первой четверти XIX века понятие бесконечно малой оказалось необходимым и для изучения и сопоставления свойств непрерывных и разрывных функций. “Между многими понятиями, — указывал Коши, —тесно связанными со свойствами бесконечно малых, следует поместить понятие о непрерывности и прерывности функций”. Тут же Коши дает истолкование непрерывности функции, которое более чем ясно подтверждает ясность этого его утверждения.
Новая постановка задач обоснования математического анализа ясно показывала, что дело не только в признании и применении бесконечно малых— это делали и раньше! —но прежде всего в научном истолковании их содержания и обоснованном на этом использовании их в алгоритмах математического анализа. Однако, чтобы это сделать надо было преодолеть господствовавшее в XVIII веке узкое толкование понятия предела, разработать общую теорию пределов. Получение основополагающих результатов связано здесь с именем Коши.
Изучение разрывных функций и сопоставление их с функциями непрерывными заставило признать то, что ранее считалось невозможным: что предел, к которому стремиться последовательность значений функции, при стремлении аргумента в некоторой точке может оказаться отличным от значения функции в этой точке. Значит, предел не всегда является “последним” значением переменной, но во всех случаях предел есть число, к которому переменная приближается неограниченно. Следовательно, dx и dyне необходимо нули или мистически актуально бесконечно малые; бесконечно малая—это переменная, имеющая пределом нуль, причем факт этот с противоречиями и парадоксамине связан.
Коши преодолел и вторую ограничительную тенденцию в принятой до него трактовке понятия предела. Он признал, что переменная может приближаться к своему пределу не только монотонно, но и колеблясь, порой принимая значения, равные её пределу.
Как справедливо отметил Н. Н. Лузин, это обстоятельство придало теории Коши необходимую общность и исключительную гибкость.
Что позволило Коши сделать это исключительно важный шаг? Ответ, конечно, надо искать прежде всего в своеобразии тех предельных процессов, с которыми приходилось встречаться в конце XVIII и начале XIX века в точных науках, особенно в математической физике. В математическом анализе к числу таких процессов надо в первую очередь отнести отыскание пределов различного вида интегральных сумм и нахождение сумм функциональных рядов, особенно тригонометрических.
Выполненные Коши обобщения теории пределов Ньютона-Даламбера позволили ему дать понятию бесконечно малого реальное истолкование иподвести под алгоритм Лейбница-Ньютона достаточный научный фундамент. Благодаря этому Коши смог подвести научный фундамент под учение о непрерывности и разрывах функций, обосновать дифференциальное исчисление и, что особенно важно, развить начала научной концепции определенного интеграла. В процессе таких исследований Больцано, Коши, Лобачевский, Дирихле, а вслед за ними другие передовые математики первой половины XIX века по-новому подошли к истолкованию строгости математических доказательств, в первую очередь доказательств утверждений математического анализа.
Теорема существования (критерии существования предела переменной) оказались существенно необходимыми и для обобщенной теории пределов.
Если переменная изменяется непрерывно и монотонно, то принимаемое ею множество значений есть интервал, а предел—его правая или левая точка. Как говорил Н. Н. Лузин, в этом случае предел является “оптическим”: он виден глазом. Если же снять эти ограничения, допустить прерывное и, главное, колеблющееся приближение переменной к её пределу, то, вообще говоря, предел теряется; он “глубоко спрятан среди значений, принимаемых переменной”. В связи с этим возникает вопрос: при выполнении каких условий переменная имеет предел? Известно, что и этот вопрос полностью решил Коши. Он доказал, что последовательностьх1, х2, …, хп, … имеет предел тогда и только тогда, когда для всякого положительного e, как угодно малого, можно найти такое натуральное число п, что для любого натурального числа т |xn+m–xn|
Эта теорема в классическом математическом анализе играет фундаментальную роль. Когда стали разрабатывать новую теорию пределов, понятие ряда, ранее не расчленяемое на ряды сходящиеся и несходящиеся, получило по этим признакам основное подразделение. Благодаря этому удалось установить точное понятие суммы ряда и направить по правильному пути разработку теории числовых и степенных рядов. В дальнейшем, в связи с разработкой проблем теории тригонометрических рядов, было установлено, что сходящиеся числовые ряды распадаются на два вида—абсолютно и условно сходящиеся ряды (Дирихле, Риман). По основным свойствам абсолютно сходящиеся ряды сходны с конечными суммами; их можно перемножать и переставлять в них члены. Условно сходящиеся ряды существенно отличаются от них; Риман доказал, что в любом, условно сходящемся ряде можно так переставить его члены, что вновь полученный ряд будет иметь суммой наперед заданное число; можно также добиться того, чтобы новый ряд оказался расходящимся. Следовательно, алгоритмы, основанные на свойстве конечных сумм, можно относить только к абсолютно сходящимся рядам. К первой четверти XIX века относится открытие Коши функции, для которой можно составить ряд Маклорена, сходящийся при всяком х, но который сходится всюду к нулю, а не к этой функции. Тем самым была доказана ошибочность исходного положения Лагранжа, сделанного им при попытке обосновать дифференциальное исчисление на базе теории степенных рядов. Особую роль сыграли исследования по тригонометрическим рядам (Дирихле, Риман, Лобачевский и др. ). Благодаря им начала создаваться общая теория функциональных рядов, включившая теорию степенных рядов как частный случай. Такого рода факты заставили математиков отказаться от необоснованного, часто формального перенесения основных понятий и свойств конечных сумм на все бесконечные ряды и помогли им разработать научные принципы теории рядов, базирующиеся на теории пределов.
Эти же факты помогли математикам первой половины XIX века понять, почему математики XVIII века не смогли сделать в теории рядов то, что удалось сделать им. Так, сопоставив свойства абсолютно и условно сходящихся рядов, Риман заметил:
“Только к рядам первого класса применимы законы конечных сумм; только эти ряды могут быть в подлинном смысле рассматриваемы как сумма всех своих членов; о рядах же второго класса того же сказать нельзя, —обстоятельство, упущенное из вида математиками прошлого столетия, вероятно, по той причине, что ряды, расположенные по возрастающим степеням переменной, вообще говоря (т. е. для всех значений переменной, кроме некоторых отдельных), принадлежат к первому классу. ”
Описанный выше процесс изменения содержания и коренного преобразования методологии математического анализа и теории рядов в общих чертах был присущ большинству математических дисциплин первой половины XIX века. В связи с этим с первой половины XIX века создается, а во второй получает всеобщее признание новый идеал строгого обоснования математической теории, сводящийся к трем требованиям:
не считать невозможным то, что кажется парадоксальным.
Гаусс писал: “Мы не можем смешивать то, что нам кажется неестественным, с тем, что нам кажется абсолютно невозможным”.
изучать все возможности, какие представляет предмет исследования и соответственно этому развивать общие теории.
В первой половине XIX века этот принцип становится руководящим началом исследований почти всех ведущих математиков.
прежде чем задаваться вопросом о зависимости, существование которой остаётся неизвестным, следует поставить вопрос, возможна ли в действительности такая зависимость.
(Абель)
Во второй четверти XIX века обычные комплексные числа нашли широкое применение в теории функций и даже в теории чисел. В тоже время разработка проблемп-мерной геометрии и методов математической физики потребовала дальнейшего обобщения понятия числа, перехода к нового вида комплексным числам спосновными единицами. Комплексные и гиперкомплексные числа стали представителями исследуемых реальных величин— векторов в пространстве Rn; ответ на задачу, выраженный комплексным или гиперкомплексным числом, имел в этой области объективный смысл. Объявлять комплексные (и гиперкомплексные) числа “ложными”, “воображаемыми”, “мнимыми”, как это делали математики XVII–XVIII веков, стало невозможным. Арифметика комплексных и гиперкомплексных чисел показала далее, что переход к новой, более широкой области чисел связан, во-первых, с необходимостью обобщать определения действий, данных для исходной области чисел и, во-вторых, сопровождается потерей некоторых свойств, присущих числам исходной области чисел. При переходе от действительных к комплексным числам пришлось отказаться от связывания их знаками >,
В тесной связи с обобщением понятия числа и с новыми способами обоснования учения о числе находится возникновение исходных идей “формальной” алгебры. Этими идеями математика обязана Пикоку, Гамильтону, А. де Моргану, Грегори и Ганкелю.
В геометрии были сделаны открытия, имеющие для её оснований фундаментальное значение.
Лобачевский и Бойли открыли неевклидову геометрию. Понселе разработал проективную геометрию, Грассман— геометрию п-мерных пространств. Принципы этих геометрических теорий существенно отличаются от посылок “Начал” Евклида.
