Три кризиса в развитии математики - (диплом)
p>Однако, в первой половине XIX века неевклидова геометрия признания не получила. Проективная геометрия была разработана Понселе как надстройка над геометрией Евклида; её более общее содержание и специфика её принципов были осознаны во второй половине XIX века. Г. Грассман развил свое учение на рубеже середины XIX века. Благодаря этому указанные выводы получили впоследствии широкое признание.Вот ещё один результат, имеющий фундаментальное значение для обоснования математики. Математики XVII–XVIII веков пытались доказать, что всякое уравнение пятой степени разрешимо в радикалах. В 1827 году Абель доказал, что это невозможно. Поскольку все же существуют уравнения пятой, шестой и других степеней, разрешаемые в радикалах, естественно возникал вопрос: как охарактеризовать класс уравнений данной степени, которые допускают решение в радикалах? Этот вопрос имел и практическое значение. Как показали Эйлер и Даламбер, интегрирование линейных дифференциальных уравненийп-гопорядка с постоянными коэффициентами сводится к нахождению корней алгебраического уравненияп-й степени. Такие дифференциальные уравнения являются математическим аппаратом теории колебаний. Чтобы решить указанный выше вопрос, Э. Галуа построил особый математический аппарат, в котором главная роль отводится понятию группы. Выяснилось, что под понятие группы подходят различные области объектов, благодаря чему оно находит плодотворное применение в различных математических дисциплинах. Оказалось также, что понятие группы обнаруживает свою действенность наилучшим образом, когда его теория обосновывается абстрактно, независимо от описания природы объектов, отношения которых ею описываются. Впервые все эти факты отчетливо осознал и описал Кэли в 1854 году; этот год поэтому считают годом начала абстрактной теории групп.
Под влиянием всех этих фактов в первой половине XIX века предпринимаются попытки расширить традиционное определение предмета математики как науки только о величинах и их измерении. Например, для Пуансо математика—это наука о свойствах чисел, величинах и порядке. Больцано и Грассман считали, что традиционная трактовка о предмете математики не охватывает её содержания в целом: например, оно не приложимо к учению о сочетаниях. Для Грассмана математика—учение о формах, однако геометрия к математике не принадлежит. В 1854 году Дж. Буль подчеркивал, что “в природе математики не заложена необходимость заниматься идеями числа и величины”.
Итак, разработанные в первой половине XIX века способы обоснования и методы математики позволили математикам перестроить математический анализ, алгебру, учение о числе и отчасти геометрию в соответствии с требованиями новой методологии. Новая методология математики способствовала преодолению кризиса её основ и создала для неё широкие перспективы дальнейшего развития.
III. Способы обоснования математики в последней четверти XIX века и начала XX века
1. Теория множеств. Основные понятия
учения о множествах Г. Кантора
Для чего математики последних десятилетий XIX века потребовалось общее учение о множествах, органически связанных с понятием актуальной бесконечности? Г. Кантор ответил на этот вопрос так: “…для обоснования арифметики действительных чисел, для доказательства фундаментальных теорем математического анализа и теории тригонометрических рядов”. Г. Кантор указывал также, что идеи и методы общего учения о множествах являются действенными орудиями отыскания новых математических фактов и развития новых математических теорий. В этой связи он счел возможным утверждать, что для математики понятие актуальной бесконечности существенно необходимо.
Основным понятием общего учения о множествах Г. Кантора является понятие бесконечного множества (понятие актуальной бесконечности). “Под многообразием, или множеством, — писал Г. Кантор, —я понимаю вообще всякое многое, которое можно мыслить как единое, т. е. всякую совокупность определенных элементов, которая может быть связана в одно целое с помощью некоторого закона. ”
Кантор называл множество Ропределенным, если относительно любого объекта можно сказать, принадлежит он множествуР или не принадлежит.
Понятие закона Г. Кантор считал исходным, неопределимым. Вместе с тем, в его концепции понятие закона играет фундаментальную роль. Так как согласно закону элементы некоторой совокупности могут быть связаны в одно целое, то закон обеспечивает существование множества. Верно и обратное: если множество существует, то можно дать закон, обеспечивающий его существование. Оперативными понятиями общего учения о множествах Г. Кантора являются понятия взаимно однозначного соответствия мощности и количества множества. Кантор определил мощность — теперь часто говорят: “количественное число” — как результат абстракции от содержания и порядка элементов множества. Он называл два множества равномощными и имеющими одинаковую мощность, если между их элементами возможно установить взаимно однозначное соответствие. Для развития общего учения о множествах наиболее существенным явилось другое открытие Г. Кантора— доказательство существования бесконечных множеств с различными мощностями. Если множество конечно, понятие мощности совпадает с понятием числа его элементов и может быть выражено количественным натуральным числом. В случаях бесконечных множеств нельзя говорить о числе их элементов, но каждому из таких множеств можно приписать определенную мощность. Принято относить каждому классу множеств некоторый символ мощности. Так — символ мощности счетного множества, с — символ мощности континуума, 2т — символ мощности множества всех подмножеств множества, мощность которого есть т. Каждый такой символ Кантор назвал кардинальным трансфинитным числом. 2. Трудности построения теории множеств.
Критика концепции Г. Кантора
Кантор предпринял попытку развить арифметику кардинальных трансфинитных чисел. Он доказал многие арифметические соотношения, справедливые для мощностей конкретных множеств— счетных и мощности континуума. Например, если п — любое натуральное число, то:
Но когда кантор попытался обобщить полученные им арифметические соотношения на любые кардинальные трансфинитные числа, то встретился с серьезными трудностями.
Пусть М и N — какие угодно бесконечные множества, т и п —соответствующие им кардинальные трансфинитные числа. Можно ли утверждать, что эти числа всегда могут быть связаны одним и только одним из знаков =, >,
т+п=тп;
т=т2;
если т2=п2, то т=п;
если т если т
А. Тарский доказал, что каждое из этих соотношений эквивалентно трихотомии. Известно, что x0
Эту проблему Кантор также не решил. Он высказал предположение, что такое множествоМ не существует. Предположение Кантора называлось гипотезой континуума; оно эквивалентно утверждению, что всякое нечетное множество действительных чисел имеет мощность континуума. После публикации первых работ Г. Кантора, в которых он изложил начала учения о трансфинитных числах (количественных и порядковых), математики, логики, философы и особенно теологи отнеслись к его идеям весьма сдержанно. Некоторые из них выступили с открытой критикой основного понятия учения Кантора—понятия актуальной бесконечности. Кантор ответил на эти выступления в нескольких статьях и в переписке, которую впоследствии частично опубликовал. Наиболее серьезным противником концепции Кантора был Л. Кронекер. Он считал, что действительно существующими, реальными можно признать лишь натуральные числа, вследствие чего они являются единственным объектом чистой математики. Кронекер утверждал, что все теоремы математического анализа правомерны лишь постольку, поскольку их можно истолковать как описания законов, господствующих в области натуральных чисел. С этой точки зрения, писал Кантор, известная реальность приписывается также рациональным числам, поскольку они “непосредственно вытекают” из арифметики натуральных чисел. Кронекер трактовал иррациональные числа как удобные символы для описания единым способом свойств групп натуральных чисел; понятие актуальной бесконечности он полностью отрицал. Следуя этим идеям, Кронекер опубликовал исследование, в котором наметил контуры некоторых “вспомогательных теорий”, по его мнению позволяющих освободить чистую математику от иррациональных чисел.
Кантор отмечал, что концепция Кронекера, в сравнении с общепризнанными теориями чистой математики, обладает некоторыми преимуществами. Если строго придерживаться концепции Кронекера, то “возможно потребовать”, чтобы доказательства аналитических теорем были испытаны по своему “теоретико-числовому содержанию” и чтобы каждый обнаруживающийся в них пробел был заполнен согласно принципам арифметики. В возможности подобного дополнения заключается настоящий пробный камень для правильности и полной строгости доказательств. Такие дополнения способны предохранить исследователей от ошибок и удержать полет их творческой фантазии в надлежащих границах. Однако, подчеркивал Кантор, методологические принципы концепции Кронекера не являются плодотворными. “Мы не обязаны им никакими истинными успехами и, если бы мы в действительности точно руководствовались ими, то развитие науки остановилось бы или было введено в самые узкие границы. ” Впрочем, заметил Кантор, окончательное суждение о концепции Кронекера станет возможным лишь тогда, когда она будет разработана в целом и в деталях, в связи с чем выяснится её отношение к геометрии и механике. Пока этого ещё нет, пригодность концепции Кронекера не может быть названа достаточно обоснованной.
Критические замечания Кантора в адрес концепции Кронекера имеют методологическим стержнем его третье “ограничительное требование”. Они верны и не потеряли своего значения до нашего времени. Но вряд ли можно назвать правильным следующие критические замечания Кантора, которые он, по-видимому, считал наиболее серьезными: мощность континуума выше мощности множества натуральных чисел. Следовательно, запас натуральных чисел недостаточен для описания точек временного и пространственного континуума, поэтому концепция Кронекера не может считаться совершенной. Эта аргументация кантора обладает доказательной силой лишь для приверженцев учения о счетных и несчетных множествах; его противники считаться с этой аргументацией Кантора не обязаны. Идеи Кронекера в некоторой мере способствовали сначала оформлению концепции интуиционизма, а потом и конструктивной математики.
