Три кризиса в развитии математики - (диплом)
p>Попытки построить анализ бесконечно малых и теорию рядов в полном соответствии с основными понятиями и истинами “низшей” математики с самого начала к успешным результатам не привели. Поэтому Лейбниц и его последователи пытались оправдать принципы анализа бесконечно малых и теорию рядов также путем сравнения бесконечно малой с песчинкой, которой можно пренебречь при вычислении высоты горы, посредством ссылок на вероятность и т. п.В XVII–XVIII веках получил развитие и другой подход к “согласованию” новых истин математики с “вечными” истинами “низшей” математики. Когда понятия математической теории резко отличались от рассматриваемых в “низшей” математике, они объявлялись “воображаемыми” и рассматривались каквспомогательные функции, необходимые для изучения свойств обычных конечных величин. Крупнейшие математики XVIII века неоднократно пытались доказать, что понятие комплексного числа не допускает никакого реального истолкования. Такие же попытки принимались и в отношении понятия бесконечно малой величины. Но и на этом пути установить единство мнений не удалось. В это время, каждая задача, относящаяся к величинам, изучаемым в механике, астрономии, технике и т. п. , если и допускало решение, то обычно последнее выражалось при помощи действительных чисел (действительных корней); комплексные числа (комплексные корни) указывали на невозможность её решения. В конце XVII и в XVIII веке только несколько математиков— Валлис, Кюн, в конце жизни Эйлер —считали понятие комплексного числа допускающим реальное истолкование. В конце XVIII века Вессель разработал полное геометрическое истолкование арифметики комплексных чисел. По основным свойством, важным для алгоритмов алгебры и анализа, комплексные числа не отличаются от чисел действительных. Представлялась возможность объявить комплексные числа “воображаемыми” и, обойдя вопросы обоснования их арифметики, оставить их в математике в качестве “полезных вспомогательных функций”. Напротив, трактовка бесконечно малых как “полезных функций” широкого распространения не получила: математики знали механическое и геометрическое истолкованиеdx и dy.
2. Разработка способов обоснования
математики в последней четверти XVIII
и первой половине XIX века
Примерно с последней четверти XVIII века область приложений математического анализа начинает значительно перекрывать границы его обычного приложения в механике и геометрии. Ещё быстрее развертывается этот процесс в первой четверти XIX века.
Математики пытались сначала решать новые задачи методами, разработанными классиками XVIII века—Эйлером, Даламбером, Лагранжем и другими. Однако, вскоре выяснилось, что методы классиков недостаточны, что надо развивать новые, более общие и сильные методы. Выяснилось также, что недостаточность методов классиков нередко связана с узостью трактовки основных понятий, с “изгоняемым” понятием о бесконечно малом, с “исключениями”, которые раньше оставались в тени.
Поясним сказанное одним примером.
Ньютон и Лейбниц разработали две трактовки понятия обычного определенного интеграла.
Ньютон трактовал определенный интеграл как разность соответствующих значений первообразной функции:
,
где F`(x)=f(x).
Для Лейбница определенный интеграл был суммой всех бесконечно малых дифференциалов.
.
Первая трактовка отвечала технике вычисления определенных интегралов при помощи первообразной первообразной подынтегральной функции, вторая—потому, что в приложениях определенный интеграл появлялся как предел известного вида суммы (интегральной суммы).
Примерно до последней четверти XVIII века первая трактовка понятия определенного интеграла занимала господствующее положение. Этому способствовали два обстоятельства.
К началу XVIII века были установлены правила дифференцирования всех элементарных функций и началась успешная разработка методов нахождения их первообразных (рациональных, отдельных классов иррациональных и трансцендентных функций). Благодаря этому точка зрения ньютона вполне отвечала развитию эффективных алгоритмов интегрального исчисления.
Непосредственное вычисление как предела интегральной суммы столкнулось с многими трудностями. Естественно, что это обстоятельство укреплению точки зрения Лейбница не способствовало. Лейбницево истолкование обычного определенного интеграла существенно опиралось на понятие о бесконечно малых, от которого математики XVIII века хотели освободить математический анализ. Это также способствовало укреплению точки зрения Ньютона. Факт этот хорошо подтверждался тем, как Эйлер использовал понятие об интегральной сумме. Эйлер не возражал против приближенного вычисления определенных интегралов при помощи соответствующих интегральных сумм. Но рассматривать определенный интеграл как предел интегральной суммы он не мог. В этом случае все слагаемые интегральной суммы становились бесконечно малыми, т. е. , с точки зрения Эйлера, были нулями.
Конечно, и до последней четверти XVIII века концепция Ньютона сталкивалась с трудностями. В этот период встречались элементарные функции, первообразные которых не могут быть выражены через элементарные функции. Знали математики и некоторые несобственные интегралы, в том числе и расходящиеся. Но такого рода факты были единичными и установившейся эффективной концепции интеграла нарушить не могли. Иным оказалось положение в последней четверти XVIII и особенно в начале XIX века.
С 70-х годов XVIII века решение задач аналитической механики, физики и других дисциплин потребовало значительное развитие понятия определенного интеграла. Особое значение приобретают двойные и тройные интегралы (Эйлер, Лагранж, Лаплас и др. ).
Разработка приемов вычисления двойных и тройных интегралов показала, что вычислять эти интегралы так, как вычисляли обычный определенный интеграл—при помощи неопределенного, очень трудно или даже невозможно. Поэтому математики вынуждены были сохранять концепцию Ньютона только на словах, а на деле, при решении задач точных наук, стали на путь Лейбница. Они вычисляли соответствующие интегральные суммы (в прямоугольных, цилиндрических и сферических координатах) и находили их пределы.
Короче говоря, разработка способов вычисления новых видов определенного интеграла показала, что обыкновенный, двойной и т. д. определенный интегралы должны быть обоснованы сами по себе независимо от понятия неопределенного интеграла. Но каждое слагаемое любой интегральной суммы является бесконечно малой величиной. Тем самым не только ставился вопрос о легализации ранее “изгоняемого” понятия бесконечно малого, но и о раскрытии его реального содержания и о соответствующем его использовании. Как уже указывалось, чтобы всё это сделать надо было преодолеть—обобщить, развить традиционное (эйлерово) толкование функции и понятия предела.
Изучение функций показало, что формула, представляющая функцию, и функция, ею представляемая—это не одно и то же. Формула является орудием одного из способов (аналитического) представления функции. Например, функцияf(x)=|x| может быть задана на промежутке (–p; +p) двумя формулами: у=х, у=–х; вместе с тем она может быть задана и одним аналитическим выражением, а именно— сходящимся к ней тригонометрическим рядом.
В пользу этого заключения говорили и иные соображения. “Новейшие исследования показали, — Писал Риман, — что существуют такие аналитические выражения (тригонометрические ряды), с помощью которых можно в заданном промежутке представить любую непрерывную функцию. Таким образом, не является существенным, будет ли зависимость величиныw от величины z задана произвольно или с помощью математической формулы. ” По-новому был поставлен вопрос о непрерывности и точках разрыва функции. Эйлерово понятие непрерывности было оставлено, как не отвечающее общему понятию функции. Больцано, Коши, Лобачевский, а вслед за ними и другие математики выдвигают на первое место определение непрерывности функции “на языкеe и d”. “Согласно правильному объяснению, — указывал Больцано, — понимают под выражением, что функция f(x) изменяется по закону непрерывности для всех значений х, которые лежат внутри или вне известных границ; лишь то, что, если х — какое-нибудь из этих значений, тогда разность f(x+w)–f(x) может быть сделана меньше, чем любая заданная величина, если можно принять w столь малым, сколько мы хотим”. Коши писал: f(x) непрерывна для заданного значения х, когда “бесконечно малое приращение переменной производит бесконечно малые приращения самой функции”.
Сначала точки разрыва функции определялись чисто отрицательно. Коши писал: “Когдаf(x) перестает быть непрерывно в сопредельности частного значения переменной х, то говорят, что она делается прерывною и что для этого частного значения происходит разрыв непрерывности”. Во второй четверти XIX века точки разрыва функции f(x)изучали Пуассон, Либри и др. В своих математических мемуарах Либри писал, что впервые разрывные функции сделались предметом исследований в работах Даниила Бернулли, Эйлера и Даламбера. Однако, подчеркнул он, только исследования Фурье, Пуассона и других математиков о разрывных функциях рассеяли все сомнения, которые все ещё связывались с природой этих функций. Точное различие между точками разрыва первого и второго ряда и, соответственно этому, их прямые определения вошли в практику математических исследований во второй половине XIX века.
Наконец, в связи со всем этим выяснилось, что не каждая функция является вместе с тем и дифференцируемой. Первый пример непрерывной функции, не имеющей производной в каждой точке, дал Больцано, однако его пример в свое время остался математикам неизвестным.
Во второй половине XIX века пример такого рода функции построил Бейерштрасс. Лобачевский дал точные определения непрерывности и дифференцируемости функции и подчеркнул различия между этими понятиями.
