Прикладная математика - (курсовая)
p>Седловой точки нет. Обозначим искомую оптимальную стратегию первого игрока (х, 1-х). Это вектор-столбец, который мы записываем для удобства в виде строки. Обозначим nj(x) –средний выигрыш первого в расчете на партию, когда он использует стратегию (х, 1-х), а второй– j-ю стратегию. Имеем n1(x)=х + 2(1-х); n2(x)=2х +3(1-х); n3(x)=4х – 2(1-х); n4(x)=5х –5(1-х). Возьмем на плоскости систему координат, по горизонтальной оси вправо отложим х, по вертикальной оси– значения функции nj(x). Функции n1(x), n2(x), n3(x), n4(x)- линейные, значит их графики – прямые линии 1, 2, 3, 4 соответственно. Находим нижнюю огибающую огибающую семейства четырех прямых. Находим ее высшую точку - М. Она и дает решение игры. Ее координаты определяются решением уравненияn1(x)=n4(x), откуда х*=7/11, n=n1(x)=n4(x)=15/11.Таким образом, оптимальная стратегия первого есть Р*=(7/11, 4/11), а цена игры n=15/11. Заметим, что при этой стратегии первого второй игрок не выбирает второй и третий столбцы. Обозначим вероятность выбора вторым игроком первого столбца через y, а четвертого столбца– через (1- y). Учтем, например, что р1*=х*>0 и воспользуемся утверждением о том, что если рк*>0, то М(1; y*)=n, т. е. y* +2(1-y*)=15/11, откуда y*=7/11. Окончательный ответ таков: оптимальная стратегия первого - Р*=(7/11, 4/11), оптимальная стратегия второго– Q=(7/11; 0; 0; 4/11), цена игры n=15/11.
АНАЛИЗ ДОХОДНОСТИ И РИСКА ФИНАНСОВЫХ ОПЕРАЦИЙ
Финансовой называется операция, начальное и конечное состояния которой имеют денежную оценку и цель проведения которой заключается в максимизации дохода разности между конечной и начальной оценками. Почти всегда финансовые операции проводятся в условиях неопределенности и потому их результат невозможно предсказать заранее. Поэтому финансовые операции рискованны, т. е. при их проведении возможны как прибыль так и убыток (или не очень большая прибыль по сравнению с той, на что надеялись проводившие эту операцию). Существует несколько разных способов оценки операции с точки зрения ее доходности и риска. Наиболее распространенным является представление дохода операции как случайной величины и оценка риска операции как среднего квадратического отклонения этого случайного дохода.
Даны четыре операции Q1, Q2, Q3, Q4. Найдите средние ожидаемые доходы и риски ri операций. Нанесите точки (, ri) на плоскость, найдите операции, оптимальные по Парето. С помощью взвешивающей формулы найдите лучшую и худшую операции. Взвешивающая формула одна и та же: j(Q) = 2- r.
Q1
:
2
4
6
18
1/2
1/4
1/8
1/8
Q2
:
0
4
6
12
1/4
1/4
1/3
1/6
Q3
:
2
5
8
14
ј
ј
1/3
1/6
Q4
:
0
1
2
8
1/3
1/3
1/6
1/6
Q1 =е qipi = 2*1/2+4*1/4+6*1/8+18*1/8=5
Q21 = 25
M [Q21] = 4*1/2+16*1/4+36*1/8+324*1/8=51;
Q2 = 1+2+2=5
Q22 = 25
M [Q22] = 16*1/4+36*1/3+144*1/6=40;
Q
Q3 = 2+5=7
Q23 = 49
M [Q23] = 4*1/4+36*1/4+64*1/3+196*1/6=64;
Q4 = 2
Q24 = 4
M [Q24] = 1*1/3+4*1/6+64*1/6=70/6;
Нанесем средние ожидаемые доходы `Q и риски r на плоскость - доход откладываем по горизонтали, а риски по вертикали (см. рис. ):
Получили 4 точки. Чем правее точка (`Q, r), тем более доходная операция, чем точка выше - тем более она рисковая. Значит, нужно выбирать точку правее и ниже. Точка (`Qў, rў) доминирует точку (`Q, r) если `Qў і`Q и rў Ј r. Точка, не доминируемая никакой другой называется оптимальной по Парето, а множество всех таких точек называется множеством оптимальности по Парето. Легко видеть, что если из рассмотренных операций надо выбирать лучшую, то ее обязательно надо выбрать из операций, оптимальных по Парето. Для нахождения лучшей операции иногда применяют подходящую взвешивающую формулу, которая для пар (`Q, r) дает одно число, по которому и определяют лучшую операцию. Например, пусть взвешивающая формула естьj (Q)= 2ЧQ - r . Тогда получаем: j (Q1)= 2*5-5, 1 = 4, 9; j (Q2)= 2*5-3, 9=6, 1; j (Q3)= 2*7-3, 9=10, 1; j (Q4)= 2*2-2, 8=1, 2 Видно, что 3-я операция - лучшая, а 4-я - худшая.
ЗАДАЧА ФОРМИРОВАНИЯ ОПТИМАЛЬНОГО ПОРТФЕЛЯ ЦЕННЫХ БУМАГ
Пусть V - матрица ковариаций рисковых видов ценных бумаг), M=(mi) - вектор-столбец ожидаемых эффективностей долей xiкапитала, вкладываемых в i-й вид рисковых ценных бумаг, i=1, .. , n. Пусть также I - n-мерный вектор-столбец, компоненты которого есть 1. Тогда оптимальное значение долей xi есть
.
Здесь V-1- матрица, обратная к V . В числителе дроби стоит число, в знаменателе, если выполнить все действия (верхний индексТозначает транспонирование вектора-столбца), тоже получится число, причем константа, определяемая рынком и не зависящая от инвестора, V-1(M-m0I) - вектор-столбец размерности n . Видно, что этот вектор не зависит от эффективности портфеля mp. Таким образом, вектор долей рисковых видов ценных бумаг пропорциональный этому вектору также не зависит от mp. Следовательно, структура рисковой части портфеля не зависит от mp. Однако сумма компонент вектора X* зависит от mp, именно, компоненты вектора X* пропорционально увеличиваются с ростом mp, поэтому доля x0 безрисковых вложений будет при этом сокращаться.
Сформировать оптимальный портфель заданной эффективности из трех видов ценных бумаг: безрисковых эффективности 3 и некоррелированных рисковых ожидаемой эффективности 5 и 9 и рисками 3 и 6 . Как устроена рисковая часть оптимального портфеля? При какой ожидаемой эффективности портфеля возникает необходимость в операции "short sale" и с какими ценными бумагами? Решение. Итак, m0 =3, M=, V=. Зададимся эффективностью портфеля mp. Теперь надо найти обратную матрицу к матрице V . Это просто: V-1 = . Вычислим знаменатель: .
Итак, вектор долей рисковых бумаг есть X* =((mр-3)9/13)
Для безрисковых бумаг соответственно равняется x*0 =1- 4/26(mр-3) – 3/26(mр-3)=42-7mр/26. Понятно, что необходимость в операции "short sale" возникнет, если x*0 < 0, т. е. когда mр > 6 . ЛИТЕРАТУРА
Математические методы принятия решений в экономике. Учебник под ред. проф. Колемаева В. А. -М. : ЗАО "Финстатинформ", 1999.
Колемаев В. А. , Калинина В. Н. Теория вероятностей и математическая статистика. -М. : Инфра-М, 1999.
Гатауллин Т. М. , Карандаев И. С. , Статкус А. В. Целочисленное программирование в управлении производством. МИУ, М. , 1987.
Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. -М. : Высшая школа, 1998.
Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. -М. : Высшая школа, 1998.
Ермольев Ю. М. , Ляшко И. И. , Михалевич В. С. , Тюптя В. И. Математические методы исследования операций. -Киев: Вища школа, 1979.
Ершов А. Т. , Карандаев И. С. , Шананин Н. А. Планирование производства и линейное программирование. МИУ, М. , 1981.
Ершов А. Т. , Карандаев И. С. , Статкус А. В. Матричные игры и графы. МИУ, М. , 1986.
Ершов А. Т. , Карандаев И. С. , Юнисов Х. Х. Исследование операций. МИУ, М. , 1990. Калинина В. Н. , Панкин В. Ф. Математическая статистика. -М. : Высшая школа, 1998. Карандаев И. С. Двойственные оценки в управлении. МИУ, М. , 1980. Карандаев И. С. Решение двойственных задач в оптимальном планировании. -М. : Статистика, 1976.
Карандаев И. С. Начала линейного, нелинейного и динамического программирования. -М. : Знание, 1968.
Карандаев И. С. Руководство к решению задач по математическому программированию. МИУ, М. , 1973.
Карандаев И. С. , Гатауллин Т. М. Математический аппарат линейных оптимизационных задач в управлении производством. МИУ, М. , 1986.
Карандаев И. С. и др. Математические методы исследования операций в примерах и задачах. ГАУ, М. ,1993.
Колемаев В. А. Математическая экономика. -М. : Инфра-М, 1998. Малыхин В. И. Математика в экономике. -М: Инфра-М, 1999.
Малыхин В. И. Математическое моделирование экономики. -М: УРАО, 1998. Малыхин В. И. Финансовая математика. -М: Юнити, 1999.
Малыхин В. И. , Статкус А. В. Теория принятия решений. МИУ, М. , 1989. Нейман Д. , Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение. -М. : Наука, 1970.
Первозванский А. А. , Первозванская Т. Н. Финансовый рынок: расчеты и риск. -М. : Инфра -М. , 1994.
Сакович В. А. Исследование операций. -Минск: Высшая школа, 1985. Солодовников А. С. , Бабайцев В. А. , Браилов А. В. Математика в экономике. –М. : Финансы и статистика, 1998. Таха Х. Введение в исследование операций. –М. : Мир, 1985.
