Прикладная математика - (курсовая)
p>x1 - Ѕ x3 + x4 + 2/7 x6 – 1/14 x7 = 31 (18) x2 + x3 - 1/7 x4 – 1/14 x6 + 1/7 x7 = 124 x3 + 3 x4 + 8 x6 + 2 x7 = 1500 - z
Первые три уравнения системы (18) представляют некоторый предпочитаемый эквивалент системы уравнений (5) и определяют базисное неотрицательное решение системы условий рассматриваемой задачи
x1=37, x2=0, x3=0, x4=0, x5=29, x6=0, x7=84 (19)
т. е. определяют производственную программу x1=37, x2=0, x3=0, x4=0 (20) и остатки ресурсов:
первого вида х5=5
второго вида х6=0 (21)
третьего вида х7=0
Последнее уравнение системы (18) мы получаем, исключая х2. В последнем уравнении системы (18) среди коэффициентов при неизвестных в левой части уравнения нет ни одного отрицательного. Если из этого уравнения выразить функцию цели z через остальные неотрицательные переменные z = 1500 - 4 x3 - 3 x4 - 8 x6 - 2x7 (22)
то становится совершенно очевидным (в силу того, что все xjі0), что прибыль будет наибольшей тогда, когда x3=0, x4=0, x6=0, x7=0 (23)
Это означает, что производственная программа (20) является наилучшей и обеспечивает предприятию наибольшую прибыльzmax = 1500 (24) Итак, организовав направленный перебор базисных неотрицательных решений системы условий задачи, мы пришли к оптимальной производственной программе и указали остатки ресурсов, а также максимальную прибыль.
Следует обратить внимание на экономический смысл элементов последней строки последней симплексной таблицы. Например, коэффициентD3=4 при переменной х3показывает, что если произвести одну единицу продукции третьего вида (она не входит в оптимальную производственную программу), то прибыль уменьшится на 4 единиц.
Воспользуемся тем, что в оптимальной производственной программе x3=0, x4=0. Предположим, что четвертую и третью продукции мы не намеревались выпускать с самого начала. Рассмотрим задачу с оставшимися двумя переменными, сохранив их нумерацию. Математическая модель задачи будет выглядеть следующим образом:
Следует при этом обратить внимание на то, что последовательное улучшение производственной программы (x1=0, x2=0) ® (x1=37, x2=0) ® (x1=31, x2=12) на графике означает движение от одной вершины многогранника допустимых решений к другой вершине по связывающей их стороне многоугольника.
ДВОЙСТВЕННАЯ ЗАДАЧА
Ранее мы рассмотрели конкретную линейную производственную задачу по выпуску четырех видов продукции с использованием трех видов ресурсов по заданным технологиям.
Теперь представим себе, что знакомый предприниматель П, занимающийся производством каких-то других видов продукции, но с использованием трех таких же видов ресурсов, какие имеются у нас, предлагает нам "уступить" по определенным ценам все имеющиеся у нас ресурсы и обещает платить у1 рублей за каждую единицу первого ресурса, у2 руб – второго, у3 руб – третьего. Возникает вопрос: при каких ценах у1, у2, у3 мы можем согласиться с предложением П. Величины у1, у2, у3принято называть расчетными, или двойственными, оценками ресурсов. Они прямо зависят от условий, в которых действует наше предприятие.
Напомним, что в нашей задаче технологическая матрица А, вектор объемов ресурсов В и вектор удельной прибыли С имели вид
Для производства единицы продукции первого вида мы должны затратить, как видно из матрицы А, 2 единицы ресурса первого вида, 4 единицы ресурса второго вида и 2 единицы третьего (элементы первого столбца матрицы). В ценах у1, у2, у3 наши затраты составят 2у1 + 4у2 + 2у3, т. е. столько заплатит предприниматель П за все ресурсы, идущие на производство единицы продукции первого вида. На рынке за единицу первой продукции мы получили бы прибыль 36 руб. Следовательно, мы можем согласиться с предложением П только в том случае, если он заплатит не меньше 2у1 + 4у2 + 2у3 і 36. Аналогично, для трех оставшихся видов продукции:
3у1 + 2у2 + 8у3і32
4у1 + 7у3і10
у1 + 2у2 і13
Учтем, что за все имеющиеся у нас ресурсы нам должны заплатить 103у1 + 148у2 + 158у3рублей. При поставленных нами условиях предприниматель П будет искать такие значения величин у1, у2, у3, чтобы эта сумма была как можно меньше. Подчеркнем, что здесь речь идет не о ценах, по которым мы когда-то приобретали эти ресурсы, а об этих ценах, которые существенно зависят от применяемых нами технологий, объемов ресурсов и от ситуации на рынке.
Таким образом, проблема определения расчетных оценок ресурсов приводит к задаче линейного программирования: найти вектор двойственных оценоку(у1, y2, y3) минимизирующий общую оценку всех ресурсов f = 103у1 + 148у2 + 158у3 (1) при условии, что по каждому виду продукции суммарная оценка всех ресурсов, затрачиваемых на производство единицы продукции, не меньше прибыли, получаемой от реализации единицы этой продукции
2у1 + 4у2 + 2у3 і 36
3у1 + 2у2 + 8у3і32 (2) 4у1 + 7у3і10
у1 + 2у2 і13
причем оценки ресурсов не могут быть отрицательными y10, y20, y30. (3) Решение полученной задачи легко найти с помощью второй основной теоремы двойственности, согласно которой для оптимальных решений(х1, х2, х3, х4) и (y1, y2, y3) пары двойственных задач необходимо и достаточно выполнение условий x 1 (2у1 + 4у2 + 2у3 - 36) = 0 y1 (2x1 +3x2 + 4x3 + x4 - 103) = 0 x 2 (3у1 + 2у2 + 8у3 - 32) = 0 y2 (4x1 +2x2 + 2x4 - 148) = 0 x 3 (4у1 + 7у3- 10) = 0 y3 (2x1 +8x2 + 7x3 - 158) = 0 . x 4 (у1 + 2у2 - 13) = 0
Ранее было найдено, что в решении исходной задачи х1>0, x2>0. Поэтому 2y1 + 4y2 + 2y3 - 36 = 0
3y1 + 2y2 + 8y3 - 32 = 0
Если же учесть, что первый ресурс был избыточным и, согласно той же теореме двойственности, ее двойственная оценка равна нулю у1=0,
то приходим к системе уравнений
4y2 + 2y3 - 36 = 0
2y2 + 8y3 - 32 = 0
откуда следует у2=8, у3=2.
Таким образом, получили двойственные оценки ресурсов у1=0; у2=8; у3=2, (4) причем общая оценка всех ресурсов равна 1500.
Заметим, что решение (4) содержалось в последней строке последней симплексной таблицы исходной задачи. Важен экономический смысл двойственных оценок. Например, двойственная оценка третьего ресурса у3=2 показывает, что добавление одной единицы третьего ресурса обеспечит прирост прибыли в 2 единицы.
ЗАДАЧА О "РАСШИВКЕ УЗКИХ МЕСТ ПРОИЗВОДСТВА"
При выполнении оптимальной производственной программы второй и третий ресурсы используются полностью, т. е. образуют Іузкие места производстваІ. Будем их заказывать дополнительно. Пусть T(t1, t2, t3)- вектор дополнительных объемов ресурсов. Так как мы будем использовать найденные двойственные оценки ресурсов, то должно выполняться условие H + Q-1T 0. Задача состоит в том, чтобы найти вектор T (0, t2, t3), максимизирующий суммарный прирост прибыли W = 8t2 + 2t3 (1) при условии сохранения двойственных оценок ресурсов (и, следовательно, структуры производственной программы)
предполагая, что можно надеяться получить дополнительно не более 1/3 первоначального объема ресурса каждого вида (3) причем по смыслу задачи t2 0, t3 0. (4) Переписав неравенства (2) и (3) в виде:
(5)
из условия (3) следует t2Ј148/3, t3Ј158/3 (6)
приходим к задаче ЛП: максимизировать (1) при условиях (5), (6) и (4). Эту задачу легко решить графически: см. рис. 2. Программа ІрасшивкиІ имеет вид t1=0, t2=14, t3=0 и прирост прибыли составит 112.
Сводка результатов приведена в таблицe 2.
сj
36
32
10
13
b
x4+i
yi
ti
2
3
4
1
103
5
0
0
aij
4
2
0
2
148
0
8
14
2
8
7
0
158
0
2
0
xj
31
12
0
0
1500
112
Dj
0
0
4
3
ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
Однородный продукт, сосредоточенный в 3 пунктах производства (хранения) в количествах 40; 60; 70 единиц, необходимо распределить между 4 пунктами потребления, которым необходимо соответственно 36; 32; 40; 53 единиц. Стоимость перевозки единицы продукта из пункта отправления в пункт назначения известна для всех маршрутов и равна С = . Необходимо составить план перевозок, при котором запросы всех пунктов потребления были бы удовлетворены за счет имеющихся продуктов в пунктах производства и общие транспортные расходы по доставке продуктов были минимальными.
Для решения транспортной задачи чаще всего применяется метод потенциалов. Общий объем производства еаi =40+60+70=170 больше, чем требуется всем потребителям еbi = 36+32 +40 +53 =161, т. е. имеем открытую модель транспортной задачи. Для превращения ее в закрытую вводим фиктивный пункт потребления с объемом потребления 170-161 = 9 единиц, причем тарифы на перевозку в этот пункт условимся считать равными нулю, помня, что переменные, добавляемые к левым частям неравенств для превращения их в уравнения, входят в функцию цели с нулевыми коэффициентами.
