Прикладная математика - (курсовая)
p>Воспользовавшись рекуррентными соотношениями, последовательно вычисляем F1 (x = y2), F2 (x = y3), .... , Fk (x = yk+1), .... и соответственно находим 1 (x= y2), 2 (x = y3 ), .... , `k (x = yk+1), .... Положим k = 1.Параметр состояния x = у2 может принимать целые значения на отрезке 0 у2 d2 + d3 0 y2 2 + 3 т. е. у2 = 0, 1, 2, 3, 4, 5. Каждому значению параметра состояния должна отвечать определенная область изменения переменной x1, характеризуемая условием 0 х1 d1 + у2 или 0 х1 3 + у2 Из балансового уравнения х1 + у1 - d1 = у2 непосредственно следует, что объем производства связан со значением параметра состоянияx= у2 соотношением
x1 = y2 + d1 - y1 = y2 + 3 - 3 = y2
В этом и состоит особенность первого этапа. Если задан уровень запаса к началу первого этапа, то каждому значению у2 отвечает единственное значение х1 и потому F1(x = y2) = W1 (x1, y2) Придавая у2 различные целые значения от 0 до 6 и учитывая предыдущее соотношение, находим y2 = 0, x1 = 0, W1 (0; 0) = 02 + 2Ч0 + 2 + 4Ч0 = 2*
y2 = 1, x1 = 1, W1 (1; 1) = 12 + 2Ч2 + 2 + 4Ч1 = 11
y2 = 2, x1 = 2, W1 (2; 2) = 22 + 2Ч2 + 2 + 4Ч2 = 18
y2 = 3, x1 = 3, W1 (3; 3) = 32 + 2Ч3 + 2 + 4Ч3 = 29
y2 = 4, x1 = 4, W1 (4; 4) = 42 + 2Ч4 + 2 + 4Ч4 = 42
y2 = 5, x1 = 5, W1 (5; 5) = 52 + 2Ч5 + 2 + 4Ч5 = 57
Значения функции состояния F1(x ) представлены в табл. 1
Таблица 1
x = y2
0
1
2
3
4
5
F1 (x = y2)
2
11
18
29
42
57
x1(x=y2)
0
1
2
3
4
5
Переходим ко второму этапу. Полагаем k = 2 и табулируем функцию F2(x = y3) Здесь минимум берется по единственной переменной х2, которая может изменяться в пределах 0 Ј x2 Ј d2 + y3 или 0 Ј x2 Ј 2 + y3 (1)
где верхняя граница зависит от параметра состояния x = у3, который принимает значения на отрезке 0 Ј y3 Ј d3 , т. е. 0 Ј y3 Ј 3
а аргумент у2 связан с х2 и у3 балансовым уравнением x2 + y2 - d2 = y3 откуда следует y2 = y3 + d2 - x2 = =y3 + 2 - x2 (2) Придавая параметру состояния различные значения от 0 до 3, будем последовательно вычислятьW2 (x2, x), а затем определять F2(x ) и 2(x ). Положим x = у3 = 0. Тогда, согласно (1), 0 Ј x2 Ј 2, т. е. переменная х2 может принимать значения: 0, 1, 2, а каждому значению х2 отвечает определенное значение у2, вычисляемое по формуле (2): у2 = 2 - х2 Последовательно находим:
если x2 = 0, то у2 = 2 , W2 (0, 2) = 02 + 2Ч0 + 2 + F1(2) = 2 + 18 = 20, x2 = 1, y2 = 2 - 1 = 1, W2 (1, 2) = 12 + 5Ч1 + 2 + F1(1) = 8 + 11 = 19, x2 = 2, y2 = 2 - 2 =0, W2 (2, 2) = 22 + 5Ч2 + 2 + F1(0) = 16 + 2 = 18*, Наименьшее из полученных значений W2 есть F2 (0), т. е.
F2 (x = y3 = 0) = 18,
причем минимум достигается при значении х2, равном `2 (x = y3 = 0) = 2 Положим x = у3 = 1. Тогда, согласно (1), 0 Ј x2 Ј 3, т. е. переменная х2 может принимать значения: 0, 1, 2, 3, а каждому значению х2 отвечает определенное значение у2, вычисляемое по формуле (2): у2 = 3 - х2 Последовательно находим:
если x2 = 0, то y2 = 3-0 = 3, W2 (0, 1) = 02 + 2Ч0 + 2 + 3Ч1 + F1(3) = 5 + 29 = 34, x2 = 1, y2 = 3-1 = 2, W2 (1, 2) = 12 + 2Ч1 + 2 + 3Ч1 + F1(2) = 8 + 18 = 26, x2 = 2, y2 = 3-2 = 1, W2 (2, 1) = 22 + 2Ч2 + 2 + 3Ч1 + F1(1) = 13 +11 = 24, x2 = 3, y2 = 3-3 = 0, W2 (3, 1) = 32 + 2Ч3 + 2 + 3Ч1 + F1(0) = 20 + 2 = 22*, Наименьшее из полученных значений W2 есть F2 (1), т. е.
F2 (x = y3 = 1) = min W2 (x2, 1) = 22,
причем минимум достигается при значении х2, равном `2 (x = y3 = 1) = 3 Положим x = у3 = 2. Тогда, согласно (1), 0 Ј x2 Ј 4, т. е. переменная х2 может принимать значения: 0, 1, 2, 3, 4, а каждому значению х2 отвечает определенное значение у2, вычисляемое по формуле (2): у2 = 4 - х2 если x2 = 0, то y2 = 4-0 = 4, W2 (0, 2) = 02 + 2Ч0 + 2 + 3Ч2 + F1(4) = 8 + 42 = 50, x2 = 1, y2 = 4-1 = 3, W2 (1, 2) = 12 + 2Ч1 + 2 + 3Ч2 + F1(3) = 11 + 29 = 40, x2 = 2, y2 = 4-2 =2, W2 (2, 2) = 22 + 2Ч2 + 2 + 3Ч2 + F1(2) = 16 + 18 = 34, x2 = 3, y2 = 4-3 = 1, W2 (3, 2) = 32 + 2Ч3 + 2 + 3Ч2 + F1(1) = 23 + 11 = 34*, x2 = 4, y2 = 4-4 = 0, W2 (4, 2) = 42 + 2Ч4 + 2 + 3Ч2 + F1(0) = 32 + 2 = 40. Наименьшее из полученных значений W2 есть F2 (2), т. е.
F2 (x = y3 = 2) = min W2 (x2, 2) = min (64, 55, 50, 49, 52) = 49, x2
причем минимум достигается при значении х2, равном `2 (x = y3 = 2) = 3 Положим x = у3 = 3. Тогда, согласно (1), 0 Ј x2 Ј 5, т. е. переменная х2 может принимать значения: 0, 1, 2, 3, 4, 5, а каждому значению х2 отвечает определенное значение у2, вычисляемое по формуле (2): у2 = 5 - х2 если x2 = 0, то y2 = 5-0 = 5, W2 (0, 3) = 02 + 2Ч0 + 2 + 3Ч3 + F1(5) = 11 + 57 = 68, x2 = 1, y2 = 5-1 = 4, W2 (1, 3) = 12 + 2Ч1 + 2 + 3Ч3 + F1(4) = 14 + 42 = 56, x2 = 2, y2 = 5-2 = 3, W2 (2, 3) = 22 + 2Ч2 + 2 + 3Ч3 + F1(3) = 19 + 29 = 48, x2 = 3, y2 = 5-3 = 2, W2 (3, 3) = 32 + 2Ч3 + 2 + 3Ч3 + F1(2) = 26 + 18 = 44*, x2 = 4, y2 = 5-4 = 1, W2 (4, 3) = 42 + 2Ч4 + 2 + 3Ч3 + F1(1) = 35 + 11 = 46. x2 = 5, y2 = 5-4 = 0, W2 (5, 3) = 52 + 2Ч5 + 2 + 3Ч3 + F1(0) = 46 + 2 = 48.
Наименьшее из полученных значений W2 есть F2 (3), т. е.
F2 (x = y3 = 3) = min W2 (x2, 3) = 44,
причем минимум достигается при значении х2, равном `2 (x = y3 = 3) = 3 Результаты табулирования функции F2 (x = y3)сведены в табл. 2. Таблица 2
x= у3
0
1
2
3
F2 (x= y3)
18
22
34
44
(x= y3)
2
3
2 или 3
3
Переходим к следующему этапу. Полагаем k=3 и табулируем функцию F3 (x = y4):
Вычисляем значение функции состояния только для одного значения аргумента x = у4= 0, так как не хотим оставлять продукцию в запас в конце исследуемого периода.
0Јy4Ј0; x=y4; 0 Ј x3 Ј d3 + y4 > 0 Ј x3 Ј 3; y3 = y4 + d3-x3= y4+3- x3; W3(x3, y4) = a + bx3 + c + h3y4 + F2(y3)= +2 x3+2 + 2 y4 + F2(y3) x3=0 y3=3 W3(0; 0)=02 + 2Ч0 +2 +2Ч0 +F2(3)=2 +44=46
x3=1 y3=2 W3(1; 0)=12 + 2Ч1 +2+2Ч0 + F2(2)=5 +34=39
x3=2 y3=1 W3(2; 0)=22 + 2Ч2 +2+2Ч0 + F2(1)=10+22=32*
x3=3 y3=0 W3(3; 0)=32 + 2Ч3 +2+2Ч0 +F2(0)=17 +18=35
Получаем F3 (x = y4) = min W3 (x3, 0) = 32, причем минимум достигается при `3 (x = y4 = 0) = 2. Таким образом, мы получили не только минимальные общие затраты на производство и хранение продукции, но и последнюю компоненту оптимального решения. Она равна= 2.
Остальные компоненты оптимального решения найдем по обычным правилам метода динамического программирования. Чтобы найти предпоследнюю компоненту, учтем, что х3 + у3 - -d3 = y4 или 2 + у3 - 3 = 0, oткуда у3 = 1. Из таблицы (2) значений находим Аналогично, продолжая двигаться в обратном направлении и учтя, что х2 + у2 - d2 = y3 или 3 + у2 - 2 = 1, получаем у2 = 0; из таблицы (1) значений х1(x) находим . Итак, оптимальный план производства имеет вид х1 = 0, х2 = 3, х3 = 2, а минимальные общие затраты составляют 32 единицы.
Полезна самопроверка полученного результата. Для этого по исходным данным и найденному
плану производства заполняем таблицу 5 и убеждаемся, что заявки потребителей на каждом
этапе выполняются у1 + х1 і d1 у2 + х2 і d2 у3 + х3 і d3 3 + 0 і 3 0 + 3 і 2 1 + 2 і 3
и что суммарный объем производства и имевшегося к началу первого этапа запаса продукции равен суммарной потребности у1 + х1 + х2 + х3 = d1 + d2 + d3 3 + 0 + 3 + 2 = 3 + 2 + 3 причем это достигается при наименьших возможных затратах на производство и хранение продукции
j(х1) + j(х2) + j(х3) + h1у2 + h2у3 = F3(y4=0)
2 + 17 + 10 + 0 + 3 = 32
Самопроверка результатов
Этапы
январь
февраль
март
Итого за 3 месяца
Имеем продукции к началу месяца, шт.
у1 = 3
у2 = 0
у3 = 1
у1 = 3
Производим в течение месяца, шт.
х1 = 0
х2 = 3
х3 = 2
х1+ х2+ х3 = 5
Отпускаем заказчикам, шт.
d1 = 3
d2 = 2
d3 = 3
d1+ d2+ d3 = 8
Остаток к концу месяца (храним в течение текущего месяца), шт. у2 = 0
у3 = 1
у4 = 0
Затраты на производство, руб.
j(х1)=2
j(х2)=17
j(х3)=10
j(х1) + j(х2) + j(х3) = 29
Затраты на хранение, руб.
h1у2 = 0
h2у3 = 3
0
h1у2 + h2у3 = 3
МАТРИЧНАЯ МОДЕЛЬ ПРОИЗВОДСТВЕННОЙ ПРОГРАММЫ ПРЕДПРИЯТИЯ
производственная программа
0*80+ 0, 1*60 +0, 2*70=20
0, 4*80 +0*60 +0, 1*70=39
0, 2*80 +0, 3*60 +0, 2*70=48
где Y - объем товарной продукции.
где В – коэффициенты прямых затрат.
h11=4*0 +7*0, 1+ 2*0, 2=1, 1
h21=2*0 +4*0, 1+ 1*0, 2=0, 6
h31=20*0 +13*0, 1+ 16*0, 2=4, 5
h41=0, 2*0+0, 3*0, 1+ 0, 2*0, 2=0, 07
h12=4*0, 4 +7*0+ 2*0, 1=1, 8
h22=2*0, 4+4*0+ 1*0, 1=0, 9
h32=20*0, 4+13*0+ 16*0, 1=9, 6
h42=0, 2*0, 4 +0, 3*0+ 0, 2*0, 1=0, 1
h13=4*0, 2+7*0, 3+ 2*0, 2=3, 3
h23=2*0, 2+4*0, 3+ 1*0, 2=1, 8
h33=20*0, 2+13*0, 3+ 16*0, 2=11, 1
h43=0, 2*0, 2+0, 3*0, 3+0, 2*0, 2=0, 17
1, 1*80 +1, 8*60 +3, 3*70=427
0, 6*80 +0, 9*60 +1, 8*70=228
4, 5*80 +9, 6*60 +11, 1*70=1713
0, 07*80 +0, 1*60 +0, 17*70=23, 5
где S – полные затраты всех внешних ресурсов.
МАТРИЧНАЯ ИГРА КАК МОДЕЛЬ КОНКУРЕНЦИИ И СОТРУДНИЧЕСТВА
