Построение графика функции различными методами (самостоятельная работа учащихся) - (диплом)
p>Выработать умение устанавливать основные свойства (читать график), по заданному графику функции y=x , y=x , y=1/x, y= x, y=k/x, y=ax +bx+c и изображать эскизы графиков этих функций.“Математика 7: Арифметика. Алгебра. Анализ данных”, “Математика 8: Алгебра функции. Анализ данных”, Математика 9: Алгебра функции. Анализ данных”, авт. Г. В. Дорофеев, С. Б. Суворова, Е. А. Бунимович и др.
Тема
Основная цель
Графики зависимостей y=x, y=-x, y=x2, y=x3, y=ЅxЅ? . Графики реальных зависимостей Познакомьтесь с графиками зависимостей y=x, y=-x, y=x2, y=x3, y=ЅxЅ? , сформировать первоначальные навыки интерпретации графиков реальных зависимостей. Учащиеся должны уметь достаточно быстро строить графики, указывая несколько характерных точек, изображать эти графики схематически. Рассматривается графикy=ЅxЅ? . Специальное внимание уделяется работе с графиками реальных зависимостей температуры, движения и др. Акцент ставится на умение считывать с графика нужную информацию.
Графики функций y=kx, y=kx+l, y=k/x. Графики реальных зависимостей При построении графиков формулируется представление об общих свойствах функции (нули, промежутки, монотонности, сохранение знака)
График функции y=ax2+bx+c.
Научит строить график квадратичной функции, по графику читать её свойства; учащимся сообщается, что графиком квадратичной функции является парабола, рассматриваются готовые графики квадратичной функции и анализируются их особенности (наличие оси симметрии, вершины направление ветвей, расположение по направлению к оси). Учащиеся учатся строить параболу по точкам с опорой на её симметрию. Сначала рассматриваются свойства и график функцииy=ax2, затем показывается как при сдвигах параболы y=ax2вдоль осей координат получаются графики новых квадратичных функций. Здесь формируется умение находить вершину и ось симметрии графиков квадратичных функций, заданных формуламиy=ax2+q, y=a(x+p)2, y=a(x+p)2+q. Рассматриваются некоторые примеры, связанные с переносом вдоль осей координат произвольных графиков. Центральным моментом является доказательство того, что график любой квадратичной функцииy=ax2+bx+c может быть получен с помощью сдвигов вдоль координатных осей параболы y=ax2, после чего учащиеся могут находить абсциссу вершины параболы по известной формуле. Значительное место отводиться задачам прикладного характера, которые решаются с опорой на графические представления.
Старшая школа
«Алгебра и начала анализа, 10 – 11 класс», авт. М. И Башмаков. Тема
Основная цель
Графики тригонометрических функций
Изучить свойства и графики тригонометрических функций, учащиеся должны хорошо усвоить вид графиков тригонометрических функций.
Графики показательной и логарифмической функции
Изучить графики показательной и логарифмической функции
“Алгебра и начала анализа, 10 - 11”, авт. А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницин и др.
Графики тригонометрических функций
Особое внимание нужно обратить на графическую интерпретацию свойств. Значительно расширит возможности учащихся в построении графиков функции рассмотрение вопроса о преобразовании графиков (параллельный перенос на заданный вектор, растяжение вдоль оси Ох), что позволит осознано строить графики гармонических колебаний
Применение производной к исследованию функции и построению её графика Существенное внимание следует уделить решению разнообразных задач связанных с иследованием функции.
“Алгебра и начала анализа, 10 - 11”, авт. Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров и др.
Тема
Основная цель
Степенная, покозательная, логарифмическая функции их свойства и графики Познакомить учащихся с графиками этих функций. Познакомить их с многообразием свойств и графиков степенной функции в зависимости от значений оснований и покозателей степени. Особое внимание уделяется иллюстрации свойств функции по графику.
Тригонометрические функции и их графики.
Научит учащихся строить графики тригонометрических функций. Учащиеся должны научится выполнять эскизы графиков, используя эти свойства, а также устонавливать эти свойства по графику.
Применение производной к построению графиков функций
При изучении графика функций полезно показать построение графиков функций, которой не являются неприрывной на всей области определения. И особенности построения графиков четной и не четной функции.
Программа для школы с углубленным изучением математики.
«Алгебра, 8», авт. Н. Я. Виленкин, А. Н. Виленкин, Г. С. Сурвилло и др. «Алгебра, 9», авт. Н. Я. Виленкин, Г. С. Сурвилло, А. С. Симонов, А. И. Кудрявцев. Тема
График функции. Простейшие преобразования графиков (параллельные переносы вдоль координатных осей). График функцииy=k/x. График дробно – линейной функции. График функции вида y=Цx, y=Ц? (x-m)+n. Отражение свойств функции на графике. Преобразование графиков функций: симметрия относительно осей координат и относительно прямойy=x. Построение графиков кусочно-заданных функций. Построение графиков функций связанных с модулем. Примеры построения графиков рациональных функций. Графики функцийy=[x], y={x}. Графики функций y=xn, y=Цx.
«Алгебра, 8», «Алгебра, 9», авт. Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нелеков, С. Б. Суворова, «Учебные пособия, Алгебра. Дополнительные главы к школьному учебнику 8 (9) класса», авт. Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк.
Тема
Построение преобразование графиков функций. График функции y=k/x. График дробно – линейной функции. График функции вида y=Цx, y=Ц? (x-m)+n. График квадратичной функции. Построение графиков функций. График функций y=-f(x), y=f(-x), y=-f(-x), y=Ѕf(x)Ѕ? y=f(ЅxЅ? ). [Графики функций y=ЅxЅ и y={x}. ]. ?
«Алгебра и математический анализ, 10», «Алгебра и математический анализ, 11», авт. Н. Я. Виленкин, О. С. Ивашев-Мусатов, С. И. Шварцбурд.
Тема
Построение графиков функций элементарными методами. Преобразование графиков. Графики дробно–линейных функций. Графики функций, связанных с модулем. Графики взаимно обратных функций. Построение графиков функций с помощю производной. Графики тригонометрических функций. Графики показательной и логарифмической функции §2. Построение графика функций с помощью преобразования
Во многих случаях графики функций могут быть построены путем некоторых преобразований уже известных графиков других функций более простого вида. График функций вида:
y=Af(ax+b)+B
может быть получен из графика функций y=f(x) при помощи следующих геометрических преобразований: а) Осевой симметрии относительно оси 0X;
б) осевой симметрии относительно оси 0Y;
в) центральной симметрии относительно начала координат точки 0; а) Параллельного переноса (сдвига) вдоль оси 0X;
б) параллельного переноса (сдвига) вдоль оси 0Y;
а) Растяжения (или сжатия) по направлению оси 0X;
б) растяжения (или сжатия) по направлению оси 0Y;
Отметим, что:
а) При осевой симметрии относительно оси 0X точка (x; y) переходит в точку (x; -y); б) При осевой симметрии относительно оси 0Y точка (x; y) переходит в точку (-x; y); в) При центральной симметрии относительно начала координат (x; y) переходит в точку (-x; -y); а) При параллельном переносе вдоль оси 0X точка (x; y) переходит в точку (x+a; y), где а – некоторое число при этом перенос происходит «вправо», если а>0, и «влево», если а0, и «вниз», если b0, p№1) вдоль оси 0X относительно 0Y точка (x; y) переходит в точку (px; y); б) При растяжении (сжатии) в q раз (q>0, q№1) вдоль оси 0Y относительно 0X точка (x; y) переходит в точку (x; qy); Применительно к графикам функций эти свойства дают те конкретные геометрические преобразования (табл. 1), использование которых позволяет из известного графика функцииy=f(x) строить графики других функций (рис. 1 - 11). Таблица №1
Рассмотрим несколько примеров построения графиков функций:
Пример 1. График функции y=2x-3 получается из графика y=2x при помощи параллельного переноса его вдоль оси 0Y вниз на отрезок длины 3.
Переписав 2x-3 в виде 2(x-3/2), замечаем, что график функции y=2(x-3/2) можно получить из графика функции y=2x при помощи
параллельного переноса его вдоль оси 0X вправо на отрезок длины 3/2 (рис. 12).
Пример 2. График функции y=4x2 получается из графика функции y= x2 растяжением последнего в 4 раза вдоль оси 0Y относительно оси 0X. Переписав 4x2 в виде (2x)2 , замечаем, что график функции y= x2 можно получить из графика функции y= x2 сжатием последнего в 2 раза вдоль оси 0X относительно оси 0Y (рис. 13).
Пример 3. График функции y= 2x-3 получается из графика y= 2x при помощи параллельного переноса его вдоль оси 0X вправо на отрезок длины 3. Переписав 2x-3 в виде(1/8)*2x , замечаем, что график функции y=(1/8)*2x можно получить из графика функции y=2x сжатием последнего в 8 раз вдоль оси 0X (рис. 14).
Пример 4. Построить график функции:
y=1/2arctg(i/4-x)
Решение: построение графика данной функции может быть проведено по следующей схеме (рис. 13):
arctg ® ? arctg(-x) ®? 1/2arctg(-x) ®? 1/2arctg(-(x-1/4)).
Пример 5. Построить график функции:
y=ax2 +bx+c, a№0.
Решение: квадратный трехчлен ax2+bx+c можно записать в виде a(x+(b/2a))2+(4ac-b2)/4a. Отсюда видно, что график функции y=ax2 +bx+c, получается из параболы y=x2 по следующей схеме: x2®? ax2®? ax2+(4ac- b2? )/4a ®? a(x+b/(2a))2 +(4ac-b2 )/4a
т. е. для построения графика y=a x2+bx+c надо:
