Формирование понятия комплексного числа в курсе математики средней школы - (реферат)

p>Умение решать математические задачи является наиболее яркой характеристикой состояния математического мышления учащихся и его уровня.

Для того, чтобы увидеть насколько эффективно проходила усвоение понятия комплексного числа, учащимся была предложена на последнем занятии письменная проверочная работа (см. приложение 2).

В результате проверки контрольной работы по данной теме уровень обученности составил 100%, т. е. все учащиеся, посещавшие занятия, справились с контрольной работой. Причем качество знаний по этой теме– 79%, а это достаточно высокий показатель. 1 задание: Научились выполнять арифметические операции над комплексными числа, заданными в алгебраической форме (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень) 86% учащихся. Так, у 7% ребят была в этом задании ошибка по содержанию, т. е. из-за недостаточного знания предыдущих тем (формул сокращенного умножения). У 7% учащихся в этом задании была ошибка, допущенная в ходе решения из-за невнимательности. Умножая (? i) на 1 ученик получил i, вместо (? i). Причина –неточное знание правила умножения чисел с разными знаками, что повлекло за собой неверный ответ.

2 задание: знают понятие равенства комплексных чисел 86%. 7% –неумело пользуются понятием, т. к. не добились его глубокого понимания. Перенеся из правой части равенства комплексное число в левое, приведя подобные, ученик только потом использовал понятия равенства комплексных чисел, т. е. действительную и мнимую часть приравнял к нулю. Хотя это можно было сделать на первом шаге решения, что сократило бы рассуждения. И 7% учащихся в этом задании решая систему из двух линейных уравнений использовали метод подстановки, хотя считаем, что рациональнее было бы применить метод сложения уравнений системы. 3 задание: разлагать на множители многочлены и решать квадратные уравнения вне зависимости от дискриминанта научились 79% учащихся. 7% ребят испытывают затруднения при выявлении существенных признаков данного понятия и связи между ними. Для того чтобы найти корни уравнения x4? 1=0 ученик использовал тригонометрическую форму комплексного числа, на что ушло много времени из-за нерациональности и громоздкости данного решения. Не видит более простого и красивого решения. Формально отнеслись к решению 14% учащихся–нерационально (сложнее) решили предложенные уравнения. Т. е. нужно было применить сокращенную формулу нахождения дискриминанта. Эти учащиеся воспользовались общей формулой, что повлекло за собой лишние преобразования. 4 задание: 16% учащихся изобразили комплексные числа и их составные части на плоскости без ошибок. 7% учащихся допустили ошибки при решении из-за невнимательности. Не достаточно четко оформили свое решение, т. е. , построив комплексное число на плоскости, не обозначили эту точку, не отметили ее координаты. Остальные 7% из-за поверстного понимания этого понятия допустили грубую ошибку при оформлении решения. Из-за незнания, где находится мнимая ось, а где–действительная, при изображении решения ученик поменял их местами, из-за чего начертил, множество точек решения относительно другой оси, что является очень грубой ошибкой и говорит о поверхностном понимании данного понятия. 5 задание: переводить комплексные числа из алгебраической формы в тригонометрическую, а также выполнять действия над комплексными числами в тригонометрической форме (умножение, возведение в степень) научились 65%. 14% учащихся не справились с этим заданием из-за поверхностного знания некоторых фактов тригонометрии–определения величины угла по его значению синуса и косинуса. 7% ребят не вникли в суть поставленной задачи, т. е. решили не тем способом, каким требовало задание. Сначала возвели комплексное число в алгебраической форме в заданную степень; перемножили два комплексных числа в алгебраической форме, лишь затем перевели результаты в тригонометрическую форму, хотя в задании требовалось это сделать в обратном порядке. Остальные 14% ребят допустили ошибки при решении из-за невнимательности, не довели решение до конца, не преобразовав–43, а также из-за не достаточного знания основных формул и понятий, т. е. записывая тригонометрическую форму комплексного числа забыли про модуль комплексного числа, что повлекло за собой целый ряд ошибок при умножении комплексных чисел и возведении комплексного числа в третью степень. Анализируя допущенные ошибки были выделены 3 типа ошибок:

логические (не выделяют существенных признаков понятий, связей между ними). по содержанию (неумело пользуются основными понятиями, формулами, соглашениями).

процессуальные (формальное отношение к решению, нерациональность, невнимательность).

Средний процент по каждому типу ошибок: 1 – 21%; 2 – 42%; 3 – 49%. Ребята допускают в работе логические ошибки, что говорит о недостаточном развитии гибкости, глубины мышления. Большой процент процессуальных ошибок свидетельствует о невнимательности учащихся при решении задач, о поверхностности мышления, т. е. о формальном отношении к процессу решения. В целом учитывая ошибки по содержанию и качество знаний по данной теме можно сделать вывод, что контрольная работа выполнена успешно, и это говорит об удачном завершении формирования понятия комплексного числа. 2. 2.  Формирующая часть

Итак, было проведено 10 занятий. На первых двух занятиях, после объявления цели введения комплексных чисел, ребятам рассказывалась историческая справка о развитии теории комплексного числа. Учащиеся слушали очень внимательно, проявили глубокую заинтересованность. После того, как было дано определение, основные соглашения, относящиеся к комплексным числам, ученикам было предложено самим отыскать правила действий (сложения, вычитания) над комплексными числами. Школьники очень активно включились в работу, после недолгих рассуждений, пришли к верному решению данного им задания. И это говорит о гибкости их мышления. После демонстрации нескольких примеров, иллюстрирующих операции умножения и деления комплексных чисел в алгебраической форме, учащимся были предложены подобные задания.

Несколько учащихся, по желанию, решали эти задачи у доски, а с мест, по просьбе учителя, их решения комментировали другие учащиеся. Т. о. в учебно-познавательный процесс было вовлечено как можно больше учащихся. Работа наиболее активных ребят оценивалась, с более же пассивными учениками велась индивидуальная работа. Учитель подходил к учащимся, у которых возникали вопросы по ходу решения и помогал отыскать ошибки, разобраться в решении, т. д. После рассмотрения геометрической интерпретации комплексного числа, уже после разбора нескольких заданий, ребята в быстром темпе и с необходимыми объяснениями решали предложенные задания.

Упражнениям на закрепление было отведено третье занятие. В начале проводился фронтальный опрос. Учащиеся активно отвечали на вопросы, помогали тем, кто затруднялся, некоторые делали хорошие добавления, в основном, конечно, это сильные учащиеся. Учащиеся со средней и слабой успеваемостью, в основном, усвоили алгоритмы решения задач, а теоретические положения темы если и запомнили, то поверхностно, формально. Неточно формулировали определения комплексного числа, например, комплексные числа– это числа вида а+bi, где i2=? 1. Но здесь важно такое уточнение, что a и bОR. Был предложен ряд упражнений, которые ребята решали на местах, но тем учащимся, у которых возникали вопросы по ходу решения, например, что бы решить задачу z2? (5+2i)z+5+5i=0 нужно ли расписывать z в виде x+yi, предлагалось выйти к доске и найти самим ответ на свой вопрос с помощью класса или самостоятельно. Если ученик разберется в этом сам, то в следующий раз он уже будет видеть сразу способ решения.

На следующих двух занятиях мы рассматривали переход от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической и обратно. На предыдущем занятии им было задано повторить формулы тригонометрии, т. к. они нам понадобятся на этом занятии. После объяснения новой темы и демонстрации примера, одним из учащихся был задан хороший вопрос: “Почему переводя число в тригонометрическую форму мы берем аргумент , а не ? ”. После недолгих рассуждений всем классом мы выяснили, что не является тригонометрической формой комплексного числа. Далее выполняя задачи на закрепление ребята проговаривали каждый шаг решения и объясняли его. Учащиеся, которые решали вперед, помогали тем, у кого возникали затруднения. На шестом и седьмом занятиях мы разбирали действия над комплексными числами в тригонометрической форме– умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня n? ой степени. После рассмотрения операции умножения ребята сделали верное предположение относительно деления комплексных чисел в тригонометрической форме. А далее, по аналогии с умножением, сами нашли правила возведения комплексного числа в натуральную степень. После того как разобрали примеры, перешли к извлечению корня. Как и предполагалось, у учащихся эта тема вызвала некоторые затруднения. Ребята иногда путали в формуле

какая буква k или n пробегает значение от 0 до (n-1). Но после решения ряда закрепляющих задач у большинства учащихся сложилось четкое представление этого понятия. Также мы постарались разобрать как можно больше упражнений, чтобы у ребят не осталось неясных мест, пробелов. В работу старались включить как можно больше учащихся: проводили комментированное письмо, где каждый шаг решения объясняли разные учащиеся. Сразу несколько задач было решено на доске, но рассказать, пояснить решения пытались другие ученики. Старались включить в работу как можно больше слабых учащихся.

Восьмое и девятое занятия были посвящены решению упражнений, нахождению корней уравнений. На каждом занятии выделялось время, чтобы повторить некоторые моменты из предыдущих тем, чтобы не нарушать целостности темы, чтобы была системность и общность понимания. Т. к. , в основном, алгоритмы решения данных задач им известны из предыдущего материала, то акцент делался на идею решения задачи. Многие ребята шли вперед и решали резервные задания. Далее класс разбился по парам, в составе которых, были, по возможности, сильный и слабый учащиеся, и продолжали решать на местах в парах. Учитель в это время следил за работой, помогал тем, у кого возникали сомнения. Хочется отметить, что чаще были вопросы по оформлению, чем по содержанию материала.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11