Формирование понятия комплексного числа в курсе математики средней школы - (реферат)

p>На некоторых занятиях проводились небольшие самостоятельные работы, тематические диктанты, чтобы выяснить насколько полно учащиеся освоили данное понятие, умеют ли они ими пользоваться при решении задач, знают ли связи между понятиями. Мы отмечали, что такая работа важна в первую очередь для них, т. к. они могут самостоятельно оценить уровень своих ЗУН по данным темам. Также два раза задавались на дом творческие задания, т. е. нужно было придумать самостоятельно задачу и решить ее. Сильные учащиеся очень ответственно отнеслись к этим заданиям. Но вот слабые иногда пользовались трудом своих одноклассников.

Но в целом ребята проявили большую заинтересованность, говорили, что особых трудностей тема не вызвала, это подтвердила контрольная работа. проведенная на последнем– десятом – занятии.

    Заключение

Таким образом, после работы с научной и методической литературой по изучаемой теме делаем следующие выводы:

* мышление старшеклассников становится более глубоким, полным, разносторонним и все более абстрактным;

* учебная деятельность старших школьников предъявляет гораздо более высокие требования к их активности и самостоятельности;

* развитию мышления способствует работа над научными понятиями. Процесс формирования понятия–это длительный и сложный процесс, которому следует уделять достаточное внимание.

Разрабатывая логическую структуру темы “Комплексные числа” и после проведения эксперимента в школе можем сделать следующие выводы:

    Изучение этой темы преследует следующие основные цели:
    * повышение математической культуры учащихся;
    * углубление представлений о понятии числа;

* дальнейшее развитие представлений о единстве математики как науки. Учащиеся способны в 10 классе усвоить понятие комплексного числа, как показало экспериментальное исследование.

Учащиеся вполне успешно усваивают содержание и объем понятия комплексного числа, связи и отношения данного понятия с другими, а также умеют оперировать этим понятием при решении практических задач.

    Методические рекомендации

Предлагаем следующую расчасовку по темам, учитывая включение в учебный план общеобразовательного курса темы “Комплексные числа”:

    Х класс (85ч).
    Тригонометрические функции (15ч).
    Тригонометрические уравнения (13ч).
    Комплексные числа (14ч).
    Производная (16ч).
    Применение производной (20ч).
    Повторение. Решение задач (7ч).
    XI класс (68ч).
    Повторение. Решение задач (6ч).
    Первообразная и интеграл (16ч).
    Показательная, логарифмическая и степенная функции (26ч).
    Повторение. Решение задач (20ч).

Тему “Комплексные числа” благоприятнее всего вводить в 10 классе в I полугодии, когда сформировано представление о действительном числе и пройден курс тригонометрии.

    Литература

Алгебра и начала анализа. /Под ред. Яковлева Г. Н. Ч2 - М. : 1987. Андронов И. К. Математика действительных и комплексных чисел. – М. : Просвещение, 1975. Брадис В. М. Методика преподавания математики в средней школе. – М. : 1951. Виленкин Н. Я. Алгебра и математический анализ 11. – М. : Просвещение, 1995. Вопросы общей методики преподавания математики. – М. : Просвещение, 1979. Демидов В. П. Методика преподавания математики. – Саранск, 1976. Крамор В. С. Алгебра и начала анализа. – М. : Высшая школа, 1981. Крутецкий В. А. Психология. – М. : Просвещение, 1980.

Крутецкий В. А. Психология обучения и воспитания школьников. – М. : Просвещение, 1976. Кузмин Р. О. , Фадеев Д. К. Алгебра и арифметика комплексных чисел. – Л. : Изд.  Наркомпроса РСФСР, 1939. Лылова О. В. Комплексные числа и их обобщение. //Дипломная работа. – Оренбург, 1994. Метельский Н. В. Дидактика математики. – Минкс: Изд-во БГУ им.  В. И.  Ленина, 1982. Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика. /Оганесян В. А. и др. – М. : Просвещение, 1980.

Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика. – М. : Просвещение, 1985. Методика факультативных занятий в 9-10 классах. Избранные вопросы математики. – М. : Просвещение, 1983. Немов Р. С. Психология. Общие основы психологии. Т1. – М. : 1995. Немов Р. С. Психология. Психология образования. Т2. – М. : 1995. Педагогика. /Под ред. Пидкасистого П. И. – М. : Пед. общество России, 1998. Петровский А. В. и др. Психология. – М. : Академия, 1998.

    Подласый И. П. Педагогика. – М. : Просвещение, 1996.

Поспелов Н. Н. и др. Формирование мыслительных операций у старшеклассников. – М. : Педагогика, 1989. Программно-методические материалы. Математика 5-11 классы. Сборник нормативных документов. – М. : Дрофа, 1998.

Программно-методические материалы. Математика 5-11 классы. Тематическое планирование. – М. : Дрофа, 1998.

Психология. Словарь. – М. : Изд.  политической литературы, 1990. Сергиенко Л. Ю. и др. Планирование учебного процесса по математике. – М. : Высшая школа, 1987. Сластенин В. А. и др. Педагогика. – М. : 1998.

Хинчин А. Я. Педагогические статьи. – М. : Академия пед. наук РСФСР, 1963. Холодченко А. А. Проблемные задачи как основа для дифференциации обучения в старших классах. //Дипломная работа. – Оренбург, 1997.

Приложение 2 Теоретические основы курса “Комплексные числа” § 1 Развитие понятия числа, комплексные числа, алгебраическая форма, действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме. Комплексная плоскость. Геометрическая интерпретация комплексного числа, их суммы и разности.

При изучении математики мы уже неоднократно встречались с обобщением понятия числа. До сих пор мы рассматривали лишь действительные числа. Если введение действительных чисел позволяет выражать результаты любых измерений, то с задачей решения уравнений дело обстоит иначе. Например, уравнениях2 + 1=0 и х2+4х +5=0 не имеют решения во множестве действительных чисел, хотя коэффициенты этих уравнений–целые числа. Поэтому возникает необходимость в дальнейшем расширении понятия числа. Таким обобщением множества действительных чисел и является множество С комплексных чисел.

Комплексные числа часто называют мнимыми. Это название не вполне удачно, т. к. может создать представление о комплексных числах как о чём-то нереальном. Оно объясняется тем, что, хотя комплексные числа стали употребляться ещё в XVI в. , они долго продолжали казаться даже выдающимся математикам чем-то реально не существующим, мнимыми в буквальном смысле этого слова. Одному из создателей дифференциального и интегрального исчисления, немецкому математику Г. Лейбницу (1646-1716) принадлежат, например, такие слова: „Комплексное число–это тонкое и поразительное средство божественного духа, почти амфибия между бытием и небытием”. Сейчас от всей этой мистики не осталось ничего, кроме, пожалуй, названия “мнимые числа”. Уже во времена К. Гаусса (1777-1855) было дано геометрическое истолкование комплексных чисел как точек плоскости. Трудами выдающихся математиков XIX века О. Коши, Г. Римана и К. Вейерштрасса на базе комплексных чисел была построена одна из самых красивых математических дисциплин– теория функций комплексной переменной.

Повторить с учащимися известные им сведения о числовых множествах: а) натуральных чисел N={1, 2, 3, …, n, …};

    б) целых Z={…, -2, -1, 0, 1, 2, …};
    в) рациональных Q={, n Z, n N};
    г) действительных чисел R.

С помощью положительных действительных чисел можно выразить результат любого измерения, а с помощью произвольных действительных чисел–изменение любой величины. Арифметические операции над действительными числами снова дают действительные числа. Операция же извлечения квадратного корня определена не для всех действительных чисел, а лишь для неотрицательных– из отрицательного числа квадратный корень извлечь нельзя. Ряд вопросов, возникших при решении уравнений третьей и четвертой степеней, привел математиков к необходимости расширить множество действительных чисел, присоединив к ним новое число i, такое, что i2=-1. Поскольку действительных чисел с таким свойством не существует, новое число назвали “мнимой единицей”–она не выражала ни результатов измерения величин, ни изменений этих величин. Но включение числа i потребовало дальнейшего расширения множества чисел–пришлось ввести произведение этого числа на все действительные числа, т. е. числа вида bi, где bR, а также суммы действительных чисел и таких произведений, т. е. числа вида a+bi, где a, bR. Получившиеся при этом числа были названы комплексными, т. к. они содержали как действительную часть a, так и чисто мнимую часть bi.

Опр: комплексными числами называются числа вида a+bi (a и b - действительные числа, i2=-1).

Если z=а+bi - комплексное число, то а называют его действительной частью, а b-мнимой частью. Приняты обозначения a=Re z, b=Jm z (от французских слов reўele - действительный и imaginaire - мнимый). Числа a+bi, для которых b№0, называют мнимыми числами, а числа вида bi, b№0, - чисто мнимыми числами. Множество комплексных чисел обозначается С.

Два комплексных числа z1=a+bi и z2=с+di считаются равными друг другу в том и только в том случае, если а=с и b=d. В частности, число a+bi будет считать равными нулю, если a=0 и b=0. Запись z=a+bi называется алгебраической формой комплексного числа. Действия над комплексными числами:

    Сложение: (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i
    Например , (2+3i)+(5-7i)=(2+5)+(3-7)i=7-4i.

Умножение: (a+bi)*(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i , причем нужно помнить, что i2 =-1. Эту формулу можно получить, умножая (a+bi) на (c+di) по правилам действий над многочленами.

    Например, (1+2i)(3-i) =3*1-1*i+6i-2i2 =3+2-i+6i=5+5i.
    Рассмотрим степени числа i :

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11