Формирование понятия комплексного числа в курсе математики средней школы - (реферат)
p>i1 =i ; i2 =-1; i3 =i2*i =-1*i =-i; i4 =i2*i2 =(-1)(-1) =1; i5=i3*i2=-i(-1)=i; i6= =i5*i=i*i=-1=i2; … Вообщее, i4n+r =(i4)n*ir =(1)n *ir =ir.Получаем, i4m=1; i4m+1=i; i4m+2=-1; i4m+3=-i.
Например, i218=i4*54+2=i2=-1.
Вычитание: (a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i
Например, (5+4i) - (2-3i) = (5-2) + (4+3)i = 3+7i.
Опр: Два комплексных числа называются сопряженными, если они отличаются лишь знаком мнимой части.
Если z=a+bi, то сопряженное число имеет вид z=a-bi. Заметим, что z+z=(a+bi)+(a-bi)=2a; z*z=(a+bi)(a-bi)=a2+b2 . Следовательно, сумма и произведение двух сопряженных комплексных чисел являются действительными числами.
Деление: на практике при делении комплексных чисел удобно домножить числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное знаменателю:
a+bi = (a+bi)(c-di) = (ac+bd)+(bc-ad)i = ac+bd + bc-ad i
c+di (c-di)(c-di) c2 + d2 c2+d2 c2+d2
Например, 10+15i = (10+15i)(1-2i) _ 10-20i +15i +30 = 40-5i = 8-i 1+2i (1+2i)(1-2i) 1 + 4 5
Геометрическая интерпретация комплексных чисел.
Как известно, действительные числа можно изображать точками на координатной прямой. А комплексное число естественно выражать точкой на координатной плоскости.
Каждому комплексному числу a+bi поставим в соответствии точку M(a; b) координатной плоскости, т. е. точку, абсцисса которой равна действительной части комплексного числа, а ордината - мнимой части. Каждой точке M(a; b) координатной плоскости поставим в соответствие комплексное число a+bi (рис. 1).
Очевидно, что получаемое при этом соответствие является взаимно однозначным. Сама координатная плоскость называется комплексной плоскостью. Действительным числам соответствуют точки оси абсцисс, которая называется действительной осью, а чисто мнимым числам - точки оси ординат, которая называется мнимой осью. Не менее важной и удобной является интерпретация комплексного числа a+bi как радиус-вектора ОМ (см. рис. 1), т. е. вектора, исходящего из начала координат О (о, о) и идущего в точку М (а; b). Разумеется, вместо радиус-вектора ОМ можно взять любой равный ему вектор.
Изображение комплексных чисел с помощью векторов удобно тем, что при этом получают простое геометрическое истолкование операций над ними. При сложении чисел z1=a1+b1i и z2=a2+b2i складываются их действительные и мнимые части. При сложении соответствующих им векторов ОМ1 и ОМ2 складываются их координаты. Иными словами, если числу z1 соответствует вектор ОМ1, а числу z1-вектор ОМ2, то числу z1+z2 соответствует вектор ОМ1+ОМ2, а числу z1-z2 - вектор ОМ1- ОМ2. Перейдем к рассмотрению понятия модуля комплексного числа. Опр: Модулем комплексного числа называется длина вектора соответствующего этому числу. Для модуля числа z используется обозначение /Z/ или r. По теореме Пифагора (см. рис. 1) для модуля комплексного числа z=a+bi легко получается следующая важная формула: /Z/=Цa2+b2, выражающая модуль числа через его действительную и мнимую части. Отмети, что /z/ = /-z/ = /z/, z*z = /z/2 = /z/2.
Упражнения:
(2Ц3 - 4iЦ2) - (Ц27 - iЦ32) + (2 + 2i
Ц3 Ц3 ;
(m - n i) + ( n - m i - (( 1 - 1 i) - 1 - 1 i)) ;
n m m n n m m n
2i (1 + Ц3 i) ( -1 + Ц3 i );
2 2 2 2
Найдите комплексные числа:
а) z =i + 6i+1 б) z = i13+ i14 + i15 +i16 ; в) z = 3+1 : 2 1+7i 3-i 5(1-i)
г) z = (1+2i)3 - (1-i)3 ; д) z = (2+i)5 е) z = 5+12i + (1+2i)2 (3+2i)3- (2+i)2 8-6i 2+i
ж) z = (-0, 5 + i Ц3) 3
2
Изобразить геометрически комплексные числа:
а) 3+0i; б) 0-5i; в) -3+2i; г) 1+i.
Найдите действительную часть комплексного числа:
z= (1+2i) + i19 ;
мнимую : z= (2-i)3 (2-11i).
Найти модуль к. ч. z= -2+ i*5, число, сопряженное данному, изобразить их геометрически.
Выполнить сложение алгебраически и дать геометрическую интерпретацию: z= z1 +z2 +z3, где z1 = 3-2i; z2=-3+4i; z3 = 2- i. Найти два действительных числа Х и У, удовлет их равенствам: а) 2i + iу -2 = 3i - 3 =у
х х
б) (1+i)x + (1-i)у = 3-i;
в) (2x-3уi)(2x+3уi) +xi = 97+2i.
§2. Действия над комплексными числами, заданными
в алгебраической форме. Решение задач.
Провести комбинированный опрос. Фронтальный опрос провести по вопросам: Обозначение числовых множеств и их соотношения.
Почему появилась необходимость введения комплексных чисел?
Определение комплексных чисел, частные случаи, основные соглашения. Определения сопряженных и противоположных комплексных чисел, модуля комплексного числа.
Геометрическая интерпретация комплексных чисел, сопряженных и противоположных комплексных чисел.
Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме (определения и свойства).
Действия над комплексными числами, геометрическая интерпретация их суммы и разности.
Действия над сопряженными и противоположными комплексными числами (их сумму и разность показать геометрически).
Можно ли сравнивать комплексные числа?
Какие закономерности имеются у степени мнимой единицы.
Индивидуальный опрос полезно провести по карточкам. Примерное содержание одного варианта:
Вычислить: а) (3+5i) + (2+i) = ... ... . ; б) (3+5i) - (4-i) = ... ... ; Возвести в степень: а) i123 = ... . ; б) (i-1)2 = ... ...
Вычислить: (Ц3 + iЦ2) (Ц3 - iЦ2) = ... ...
Построить слагаемые и сумму комплексных чисел на комплексной плоскости: z1=1-5i; z2=2+3i. Построить уменьшаемое, вычитаемое и разность комплексных чисел на комплексной плоскости: z1=1-i; z2=3i.
Упражнения:
Выполнить действия: а) [2i (3-4i)]2 =; б) a-bi - i b-ai = ; b+ai a+bi
в) i100 + i98 +i63 =;
Н основании равенства комплексных чисел, найти действительные числа Х и У, если а) 2+5i x - 3уi = 14i + 3x -5y; б) x2 -7x +9yx = y2i +20i -12. При каких действительных значениях Х и У комплексного числа а) 5 + ixy и x + y +4i; б) 9y2 - 4 - 10x и 8y2 + 20i7 Будут сопряженными? Решите уравнения: а) (i-z) (1+2i) + (2-iz) (3-4i) = 1+7i;
б) z2 - (5+2i) z + 5 + 5i =0; в) z2 + z =0; г) (1-i) z - 3iz = 2-i; д) z*z + 2z =3+2i; е) z*z + 3(z-z) - 4+3i.
Решите уравнения: а) /z/ = 2i (z+1); б) /z/ = i (2z+i); в) /z/ - iz = i-2i; г) z2 + 3/z/ =0; д) z2 + /z/2 =0.
Какое множество точек комплексной плоскости задается условием: а) /z/ 1; г) Jmz < -2; д) /z+i/ =2; е) /z-2/
/z-3i/і3 /z-2i/Ј2 -1< Rez г) 1Ј /z-1/Ј 2 д) /z/ Ј3
0Ј JmzЈЦ3 1< Jmz § 3 Тригонометрическая форма комплексного числа.
Переход от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической и обратно.
Повторить с учащимися алгебраическую форму комплексного числа; геометрическую интерпретацию комплексного числа; модуль комплексного числа и основные соотношения, связанные с ним.
Пусть точка А соответствует комплексному
числу z=a+bi. Тогда длина вектора ОА называется
модулем числа z, а радианная мера угла,
образованного этим вектором с
положительным направлением действительной оси, - аргументом комплексного числа Z. Причем величина угла считается положительной, если отсчет ведется против часовой стрелки, и отрицательной, если отсчет производится по часовой стрелке. Модуль обозначается /z/ = r, а аргумент - argz =j (см. рис. 2). Для числа z=0 аргумент не определяется, но в этом и только в этом случае число задается только своим модулем. Если комплексное число является действительным, то соответствующий ему вектор расположен на действительной оси, и понятие /z/ совпадает с известным понятием модуля действительного числа. Заданием модуля и аргумента комплексное число определяется однозначно. Но аргумент комплексного числа, в отличие от модуля, определяется не однозначно. Любые два аргумента комплексного числа отличаются друг от друга слагаемым, кратным 2p.
На рис. 2 мы видим, что sin j = b/r, а cos j=a/r, отсюда а=r cosj и b=r sin j, где r =Цa2 + b2, т. о. действительная и мнимая части комплексного числа z=a+bi выражаются через его модуль /z/=r и аргументj. Следовательно, комплексное число z может быть записано в виде z=r cos j + i r sin j=r(cos j+i sin j) - тригонометрическая форма записи комплексного числа. Полезно составить с учащимися алгоритм перехода из алгебраической формы комплексного числа в тригонометрическую:
Найти радиус r = Цa2 + b2
Вычислить tg j1 =|b/a|.
По знакам a и b определить четверть, в которой находится число z. Найти j, причем, если число находится:
а) в I четверти, то j = j1;
б) во II четверти, то j = p - j1;
в) в III четверти, то j = p + j1;
г) в IV четверти, то j = -j1, или j = 2p -j1.
Записать комплексное число в тригонометрической форме:
z = r (cos j + i sin j).
Или, чтобы не производить лишних вычислений, для того чтобы найти значение для j по известным значениям sin j и cos j, заполним таблицу и будем ею пользоваться: j
0
p
6
p
4
p
3
p
2
p
5p
6
3p
4
2p
3
3p
2
4p
3
4p
4
7p
6
5p
3
7p
4
11p
6
2p
sinj
0
1
2
Ц2
2
Ц3
2
1
0
1
2
Ц2
2
Ц3
2
-1
-Ц3
2
-Ц2
2
-1
2
-Ц3
2
-Ц2
2
-1
2
0
cosj
1
Ц3
2
Ц2
2
1
2
0
-1
-Ц3
2
-Ц2
2
- 1
2
0
-1
2
-Ц2
2
-Ц3
2
1
2
Ц2
2
Ц3
2
1
Переход от тригонометрической формы комплексного числа к алгебраической производится подстановкой в выражение z=r (cosj + i sin j) числовых значений cos j и sin j, затем раскрываются скобки и производятся упрощения. Например: 1) z = 1+i /z/ r =Ц 12+12 =Ц2
sinj = 1 =2 cosj = 1 = 2 Юj = 450
Ц2 2 Ц2 2
т. о z = a + bi = 1 + i = Ц2 (cos 450+ isin 450 =Ц2 (cos p + sin p) 4 4
z = 6( cosp + isin p) = 6 (-1 + i*0) = 6*-1 = -6 Юz = -6.
Упражнения:
Представьте в тригонометрической форме комплексные числа:
а) Ц3-i ; б) 6+6i ; в) -2 ; г) i ; д) -1 - Ц3 i е) -3 (cos p + isin p 2 2 ; 7 7 ;
ж) sin 48° + cos 48° ; з) 1 + cos 10p + isin 10p
9 9
Представьте в алгебраической форме комплексные числа :
а) z = 2 (cos 225° + isin 225°) ; б) z=3 (cos0° + isin 0°) ; в) z = 5(cos p + isin p ; г) z = 2(cos p + isin p
2 2 3 3
Построить комплексные числа? А) z=2 (cos p + isin p )
4 4
б) z = cosp + isin p ; в) z =2 (cos 3p + isin 3p
4 4
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11
