Дифференцированные уравнения - (курсовая)
p>6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции, т. е.A(w)=ЅW(jw)Ѕ
A(w)=k (8)
Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т. е.
j(w)=argW(jw)
j(w)= tw (9)
Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим L(w)=20lg A(w)
L(w)=20lgk
7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения.
k=2
A(w)=2
j(w)=0, 1w
L(w)=20lg2
U(w)=2cos0, 1w
V(w)=-2sin0, 1w
Вывод:
4. 1. 3. УСТОЙЧИВОЕ АПЕРИОДИЧЕСКОЕ ЗВЕНО 1-го ПОРЯДКА
1. Данное звено описывается следующим уравнением:
a1 + aoy(t) =bog(t) (1)
Коэффициенты имеют следующие значения:
a1=1, 24
ao=2
bo=4
Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao: +y(t)=g(t)
T1 +y(t)=kg(t) (2),
где k=-коэффициент передачи,
T1=-постоянная времени.
Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= . Получим: (T1 p+1)y(t)=kg(t) (3)
2. Получим передаточную функцию для апериодического звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:
y(t)=Y(s)
=sY(s)
g(t)=G(s)
По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:
T1 sY(s)+Y(s)=kG(s)
W(s)= (4)
3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т. е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа h(t)=H(s)
H(s)=W(s)==
Переходя к оригиналу, получим
h(t)=kЧ1(t) (5)
Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции w(t)=
или из преобразований Лапласа
w(t)=w(s)
w(s)=W(s)Ч1
W(s)==
Переходя к оригиналу, получим
w(t)= e Ч1(t) (6)
4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики:
k=2
T1 =0. 62
h(t)=2 Ч1(t)
w(t)=3. 2eЧ1(t)
Переходная функция представляет собой экспоненту. Множитель 1(t) указывает , что экспонента рассматривается только для положительного времени t>0. Функция веса - также экспонента, но со скачком в точке t=0 на величину.
5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jw:
W(s)=
W(jw)= (7)
W(jw)=U(w)+jV(w)==-j
U(w)=
V(w)=
6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции, т. е.
A(w)=ЅW(jw)Ѕ
A(w)== (8)
Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т. е.
j(w)=argW(jw)
j(w)=arctgk - arctg
j(w)=-arctgT1 (9)
Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим L(w)=20lg A(w)
L(w)=20lg
7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения.
k=2
T1 =0. 62
A(w)=
j(w)=arctg0. 62w
L(w)=20lg
U(w)=
V(w)=
4. 1. 4. НЕУСТОЙЧИВОЕ АПЕРИОДИЧЕСКОЕ ЗВЕНО
1-го ПОРЯДКА
1. Данное звено описывается следующим уравнением:
a1 - aoy(t) =bog(t) (1)
Коэффициенты имеют следующие значения:
a1=1, 24
ao=2
bo=4
Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao: -y(t)=g(t)
T -y(t)=kg(t) (2),
где k=-коэффициент передачи,
T=-постоянная времени.
Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= . Получим: (T p-1)y(t)=kg(t) (3)
2. Получим передаточную функцию для апериодического звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:
y(t) = Y(s)
=sY(s)
g(t)=G(s)
По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:
T sY(s)-Y(s)=kG(s)
W(s)= (4)
3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т. е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа h(t)=H(s)
H(s)=W(s)==
Переходя к оригиналу, получим
h(t)=kЧ1(t) (5)
Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции w(t)=
или из преобразований Лапласа
w(t)=w(s)
w(s)=W(s)Ч1
W(s)==
Переходя к оригиналу, получим
w(t)= e Ч1(t) (6)
4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики:
k=2
T =0. 62
h(t)=2 Ч1(t)
w(t)=3. 2eЧ1(t)
Переходная функция представляет собой экспоненту. Множитель 1(t) указывает , что экспонента рассматривается только для положительного времени t>0. Функция веса - также экспонента, но со скачком в точке t=0 на величину.
5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jw:
W(s)=
W(jw)= (7)
W(jw)==j=U(w)+jV(w)
U(w)=
V(w)=
6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции, т. е.
A(w)=ЅW(jw)Ѕ
A(w)== (8)
Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т. е.
j(w)=argW(jw)
j(w)=arctgk - arctg
j(w)=-arctg(-Tw) (9)
Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим L(w)=20lg A(w)
L(w)=20lg
7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения.
k=2
T =0. 62
A(w)=
j(w)=-arctg(-0. 62w)
L(w)=20lg
U(w)=
V(w)=
4. 1. 5. АПЕРИОДИЧЕСКОЕ ЗВЕНО 2-го ПОРЯДКА
1. Данное звено описывается следующим уравнением:
a2+a1 + aoy(t) =bog(t) (1)
Коэффициенты имеют следующие значения:
a2=0, 588
a1=50, 4
ao=120
bo=312
Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao: ++y(t)=g(t)
+T1 +y(t)=kg(t) (2),
где k=-коэффициент передачи,
T1=, T22=-постоянные времени.
Если корни характеристического уравнения для дифференциального уравнения 2-го порядка вещественны (это выполняется при T1>2T2), то оно является апериодическим 2-го порядка. Проверим это для нашего уравнения:
T1=0, 42
2T2=0, 14
0, 42>014, следовательно, данное уравнение - апериодическое.
Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= . Получим: (p2+T1 p+1)y(t)=kg(t) (3)
2. Получим передаточную функцию для колебательного звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:
y(t) = Y(s)
=sY(s)
=s2Y(s)
g(t)=G(s)
По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:
s2Y(s)+T1 sY(s)+Y(s)=kG(s)
W(s)= (4)
