Быстрый поиск

Билеты по математическому анализу - (шпаргалка)

p>! 0 1Јc(M-f(x)) => f(x) ЈM-1/c "xО[a, b] Однако это нер-во противор. , т. к. М-точная верхн. грань f на [a, b] а в правой части стоит “C”

Следствие: если f(x) непр. [a, b]тогда она принимает все знач. заключ. Между ее max и min, т. е. E(f)=[m; M], где m и M–max и min f на отрезке.

Дифференцирование ф-ций
Пр-ные и дифференциалы выс. Порядков.

Теорема Ферма Теорема Ролля Теорема Логранджа Теорема Коши Правило Лопиталя 16. Дифференцирование ф-ций

Центральная идея диффер. ф-ций явл-ся изучение гладких ф-ций (без изломов и р-рывов кривые) с помощью понятия пр-ной или с помощью линейных ф-ций y=kx+b обладает простейшими наглядн. ф-циями; у=k‘ => k>0 то у возр. при всех х, k

1) Пусть ф-ция y=f(x) определена по крайней мере в окр-тях т-ки х0, таким приращенияDх эл-нт. Составим соотв. ему приращения ф-ции т-ки х0. Dy=Df(x0)=f(x0+Dx)-f(x0) Образуем разностное отношение Dy/Dx=Df(x0)/Dx (1) (это разностное отношение явл. ф-цией Dх, т. к. х0-фиксирована, причем при Dх®0 мы имеем дело с неопр. 0/0). Опр. Пр-ной ф-ции y=f(x) наз-ся предел разностного отношения 1 (при условии если он$), когда Dх®0. Производная это предел отношения приращения в данной т-ке к приращению аргумента при усл. , что посл-ть® к 0. Эта производная обозначается через df(x0)/dx или f‘(x0), у‘(если данная т-ка х0 подразумевается или же речь идет о пр-ной в любой текущей т-ке х. Итак согласно определению f‘(x0)=lim(Dx®0) (f(x0+Dx)-f(x0))/Dx (2) Если ф-ция f(x) имеет в т-ке х0 пр-ную, т. е. предел в правой части (2) $, то говорят что f(x) дифференц. в т-ке х0. 2) Непрерывность и дифференцируемость

Т-ма. Если ф-ция f(x) дифференц. в т-ке х0 то она непрерывна в этой т-ке, причем имеет место разложенияDf в т-ке х0 Df(x0)=f(x0+Dx)-f(x0)= f‘(x0)Dx+a(Dx)Dx (3), где a(Dx)-б/м ф-ия при Dх®0 Док-во. Заметим, что разложение (3) верно, что из него сразу следует что при Dх®0 Df(x0)®0, => в т-ке х0 ф-ция непр. Поэтому осталось док-ть рав-во (3). Если пр-ная $ то из определения (2) и связи предела с б/м =>, что $ б/м ф-ция a(Dх) такая что Df(x0)/Dx=f‘(x0)+a(Dx) отсюда рав-во (3) пол-ся умножением на Dx. Примеры.

1)Пр-ная постоянная и ф-ция равна 0, т. е. y=c=const "x, тогда y‘=0 для "х. В этом случае Dy/Dx числитель всегда равен пустому мн-ву, сл-но это отношение равно 0, => значит эго отн-ние = 0.

2)Пр-ная степенной ф-ции, у=х^k, y‘=kx^(k-1) " kОN. Док-м для к=0 исходя из опр-ния пр-ной. Возьмем " т-ку х и дадим приращение Dх составим разностное отношение Dу/Dх=(х+Dх)^2-x^2/Dx=2х+ Dх => lim(Dx®0)Dy/Dx=2x=y‘. В дейст-ти док-ная ф-ла р-раняется для любых к. 3)Пр-ная экспон-ной ф-ции, у=е^x => y‘=e^x. В данном случае Dy/Dx=(e^x+Dx-e^x)/Dx=e^x(e^Dx-1)/ Dx. Одеако предел дробного сомножителя = 1. 4)y=f(x)=ЅxЅ=(x, x>0; -x, x0 y‘=-1 при x0 Dy/Dx=Dx/Dx=1=>lim(Dx®0, Dx>0)Dy/Dx=1 А левый предел разн-го отн-ния будет –1. Т. к. одностор. пред. Не совпадают пр-ная не $. В данном случае $ одностор. пр-ная. Опр. Правой(левой) пр-ной ф-ции в т-ке х0, наз-ся lim отношения (2) при усл. что Dх®0+(Dх®0-). Из связи вытекает утвержд. , если f(x) дифференц. в т-ке х0, то ее одностор. пр-ная также$ и не совпадает f‘(x0-) и f‘(x0+) обратно для $ пр-ной f‘(x0) необходимо, чтобы прав. и лев. пр-ные совпад. между собой. В этом случае они не совпад.

17. Пр-ные и дифференциалы выс. Порядков.

Пр-ная f‘(x) – первого порядка; f‘‘(x) – второго; f‘‘‘(x)-третьего; fn(x)=(f(n-1)(x))‘. Пр-ные начиная со второй наз-ся пр-ными выс. порядка. Дифференциал выс. порядков

dy= f‘(x)dx – диф. первого порядка ф-ции f(x) и обозначается d^2y, т. е. d^2y=f‘‘(x)(dx)^2. Диф. d(d^(n-1)y) от диф. d^(n-1)y наз-ся диф. n-ного порядка ф-ции f(x) и обознач. d^ny.

Теорема Ферма. Пусть ф-ция f(x) определена на интервале (a, b) и в некоторой т-ке х0 этого интервала имеет наибольшее или наименьшее знач. Тогда если в т-ке х0$ пр-ная, то она = 0, f‘(x0)=0. 2)Теорема Ролля. Пусть на отрезке [a, b] определена ф-ция f(x) причем: f(x) непрерывна на [a, b]; f(x) диф. на (a, b); f(a)=f(b). Тогда$ т-ка сО(a, b), в которой f‘(c)=0. 3)Теорема Логранджа. Пусть на отрезке [a, b] определена f(x), причем: f(x) непр. на [a, b]; f(x) диф. на [a, b]. Тогда$ т-ка cО(a, b) такая, что справедлива ф-ла (f(b)-f(a))/b-a= f‘(c). 4)Теорема Коши. Пусть ф-ции f(x) и g(x) непр. на [a, b] и диф. на (a, b). Пусть кроме того, g`(x)№0. Тогда $ т-ка сО(a, b) такая, что справедл. ф-ла (f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f‘(c)/g‘(c).

Правило Лопиталя.

Раскрытие 0/0. 1-е правило Лопиталя. Если lim(x®a)f(x)= lim(x®a)g(x), то lim(x®a)f(x)/g(x)= lim(x®a)f‘(x)/g‘(x), когда предел $ конечный или бесконечный. Раскрытие Ґ/Ґ. Второе правило.

Если lim(x®a)f(x)= lim(x®a)g(x)=Ґ, то lim(x®a)f(x)/g(x)= lim(x®a)f‘(x)/g‘(x). Правила верны тогда, когда x®Ґ, x®-Ґ, x®+Ґ, x®a-, x®a+. Неопред-ти вида 0Ґ, Ґ-Ґ, 0^0, 1^Ґ, Ґ^0.

Неопр. 0Ґ, Ґ-Ґ сводятся к 0/0 и Ґ/Ґ путем алгебраических преобразований. А неопр. 0^0, 1^Ґ, Ґ^0 с помощью тождества f(x)^g(x)=e^g(x)lnf(x) сводятся к неопр вида 0

    Выпуклые и вогнутые ф-ции
    Т-ки перегиба
    Выпуклость и вогнутость.
    Б/б пол-ти
    Гладкая ф-ция
    Эластичность ф-ций
    Выпуклые и вогнутые ф-ции

Для хар-ки скорости возр. или убыв. ф-ции, а также крутезны гр-ка ф-ции на участке монотонности вводится понятия вогн. вып-ти ф-ции на интервале, частности на всей числ. приямой.

Пр-р. Пусть ф-ция явл-ся пр-ной ф-цией некоторой фирмы, напр. объем вып-ка продукции, а арг. х-числ. раб. силы. Хар-ный график этой ф-ции имеет сл. вид у f(x) возр. для x>0. На инт. От (0, a) ф-ция возр. все быстрее. Его можно р-ривать, как этап образования фирмы вначале которого выпуск растет медленно, поскольку первые рабочие не прошли период адаптации, но с теч. времени эффект привл. доп. раб. рабочих становится все больше, и соотв. ув-ся крутизна графика. На (Ґ, a) ф-ция возр. все медл. и гр. становится все более пологой. а –это пороговое знач. числ. раб. силы начиная с которого привл. доп. раб. силы начиная с которого привл. раб. силы дает все меньший эффект в объемке вып-ка. А(х) возр. f‘(x)>0 $xі0, но на интервале от 0 до а (0; а) f‘(x) возр. в то время как (0; Ґ) f‘ убыв. , а в т-ке а-max. По критерию монотонности это означает на (0; а) f‘‘(x)і0 (f-выпукла), а на (a; Ґ) f‘‘(x)Ј0 (f-вогнута). Опр. Пусть f(x) дважды диф. ф-ция на (a, b), тогда:

1)назовем ф-цию f(x) выпуклой(вогн) на интервале (a, b), если 2-я пр-ная не отриц, т. е. f‘‘(x)і0 (f‘‘(x)Ј0) на (a, b)

2)Если в пункте 1 вып-ся строгие нер-ва 2-й пр-ной, то ф-ция наз-ся строго выпуклой(вогнутой) на интервале (a, b)

Т-ки перегиба

Опр. Т-ки разд. интервалы строгой выпуклости и строгой вогнутости наз-ся т-ми перегиба т. х0 есть т-ка перегибы, если f‘‘(x0)=0 и 2-я пр-ная меняет знак при переходе через х0=> в любой т-ке перегиба f‘(x) имеет локальный экстремум. Геометр. т-ка перегиба хар-ся тем что проведенная касат. в этой т-ке имеет т-ки графика по разные стороны.

Выпуклость и вогнутость.

Опр. Ф-ция явл. выпуклой (вогнутой) на (a, b) если кассат. к граф-ку ф-ции в любой т-ке интервала, лежит ниже (выше) гр. ф-ции.

y=y0+f‘(x0)(x-x0)=f(x0)+f‘(x0)(x-x0) –линейная ф-ция х, который не превосходит f(x) и не меньше f(x) в случае вогнутости неравенства хар-щие выпуклость (вогнутость) через диф. f(x)іf(x0)+ f‘(x0)(x-x0) " x, x0О(a; b) f вогнута на (а, b). Хорда выше (ниже), чем график для вып. ф-ций (вогн. ) линейная ф-ция kx+b, в частности постоянна, явл. вып. и вогнутой.

Б/б пол-ти

Посл-ть {xn} наз-ся б/б, если для " пол-ного числа А $ номер N такой, что при n>N вып-ся нер-во ЅxnЅ>A Возьмем любое число А>0. Из неравенства ЅxnЅ=ЅnЅ>A получаем n>A. Если взять NіА, то " n>N вып-ся ЅxnЅ>A, т. е. посл-ть {xn} б/б. Замечание. Любая б/б посл-ть явл. неограниченной. Однако неогранич. Посл-ть может и не быть б/б. Например 1, 2, 1, 3, 1, …, 1, n… не явл. б/б поскольку при А>0 нер-воЅxnЅ>A не имеет места " xn с нечет. номерами.

Гладкая ф-ция

Сл. ф-ция f(x) тоже явл. гладкой, т. е. f‘ $ и непрерывна причем имеет место сл. ф-ла F‘(x)=f‘(j(x))*j‘(x) (4). Используя ф-лу (4) получаем y‘=(lnf(a))‘=f‘(x)/f(x) (5) – логарифмической пр-ной. Правая часть это скорость изменения у (ф-ция f(x)) приходится на ед-цу абсол. значения этого пок-ля поэтому логарифм. Произв. наз-ют темпом прироста показателя y или f(x). Пусть известна динамика изменения цены на некотором интервале, причем P(t) гладкая ф-ция. Что можно назвать темпом роста этой ф-ции, при t=R. Темп роста№приросту.

Пр-р y=e^ax. Найдем темп прироста. f‘/f=темп прироста=ae^ax/e^ax=a. Экспонициальная ф-ция имеет постоянный темп прироста.

Эластичность ф-ций

Опр. Пусть гладкая ф-ция y=f(x) описывает изменение экономической переменной у от эк. пер. х. Допустим f(x)>0 => имеет смысллог. пр-ная. Эл-ностью ф-ции f(x) или у наз-ся сл-щая вел-на опред-мая с помощью лог. пр-ной.

Ef(x)=x*f‘(x)/f(x)=x(lnf(x))‘(6). Выясним эк. смысл этого показателя для этого заменим в (6) пр-ную ее разностным отношениемDf(x0)/Dx и будем иметь Ef(x)»x(Df(x)/Dx)/f(x)=(Df(x)/f(x))/(Dx/x). В числителе стоит относит. Прирост ф-ции f в т-ке x, в знаменателе относ. прир. аргумента. => эл-ность ф-ции показывает на сколько % изменяется пок-ль y=f(x) при изменении перем. х на 1%. Эластичность– пок-ль реакции 1-й переменной на изменение другой. Пр-р. р-рим ф-цию спроса от цены, пусть D=f(p)=-aP+b – линейная ф-ция спроса, где а>0. Найдем эластичность спроса по цене. Ed(P)=P*D‘/D=P*(-a)/(-aP+b)=aP/(aP-b)=> эл-ность линейной ф-ции не постоянна

    Применение 1й пр-ной в исслед. ф-ций
    Т-ма Ферма Т-ма Коши
    Интервалы монотонности ф-ции

Т-ма Логранджа. Т-ма Ролля Т-ма Тейлора Т-ма Коши Правило Лопиталя. Производная обратной ф-ции

Применение 1й пр-ной в исслед. ф-ций

Все применения базируются на опред-нии пр-ной, как предела разностного отношения, а также на сл-щей т-ме.

Т-ма Ферма. Если диф. на интервале (a, b) f(x) имеет в т-ке ч0 локальный экстремум, то пр-ная этой ф-ции обращается в 0, т. е. f‘(x0)=0 (8). Это необходимое усл. локал. экстр. , но недостаточное. Опр. Все т-ки в которых пр-ная ф-ции f(x) обращается в 0 наз-ся крит. т-ми f(x). Из т-мы Ферма => экстремум надо искать только через крит. т-ки. Т-ма Коши. Пусть ф-ции f(x) и g(x) непрерывны на [a, b] и диф. на (a, b). Пусть кроме того, g‘(x)№0, тогда $ т-ка cО(a, b) такая, что справедлива ф-ла (f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f‘(c)/g‘(c)

Интервалы монотонности ф-ции

Т-ма. Пусть f(x) диффер. На интервале (a, b), тогда справедливы сл. утверждения f(x) монотонно возр. (убывает) на интервале (a, b) тогда, когда f‘(x)і0 на интервале (a, b) и f‘(x)>0 (f‘(x) при сравнении с ф-лой приращения ф-ций с диф. заметим, что (7) явл. точной ф-лой, однако теперь пр-ная фолжна считаться в некоторой средней т-ке С “алгоритм” выбора которой неизвестен. Крайнее значение (a, b) не запрещены. Придадим ф-ле (7) классический вид => x=a x+Dx=b+> тогда ф-ла (7)=(f(b)-f(a))/(b-a)=f‘(c) (7‘) – ф-ла конечных приращений Логранджа. (f(b)-f(a))/(b-a)=f‘(c) (1)

Док-восводится к сведению к т-ме Ролля. Р-рим вспом. ф-цию g(x)=f(x)-f(a)-(f(b)-f(a))/(b-a)* (x-a)

    Пусть ф-ция g(x) удовл. всем усл. т-мы Ролля на [a, b]
    А)Непрерывна на [a, b]
    Б) Дифференц. на (a, b)
    В) g(a)=g(b)=0

Все усл. Ролля соблюдены, поэтому $ т-ка С на (a, b) g‘(c)=0 g‘(c)=f‘(x)-(f(b)-f(a))/(b-a). Ф-ла (1) наз-ся ф-лой конечных приращений. Т-ма Ролля. Пусть ф-ция f(x) удовл. сл. усл.

А)Непрерывна на [a, b]
Б) Дифференц. на (a, b)

В) принимает на коцах отрезков равные значения f(a)=f(b), тогда на (a, b) $ т-ка такая что f‘(c)=0, т. е. с-крит. т-ка. Док-во. Р-рим сначала, тривиальный случай, f(x) постоянная на [a, b] (f(a)=f(b)), тогда f‘(x)=0 $ x О (a, b), любую т-ку можно взять в кач-ве с. Пусть f№const на [a, b], т. к. она непрер. на этом отрезке, то по т-ме Вейерштрасса она достигает своего экстрем. на этом отрезке и max и min. Поскольку f принимает равные знач. в гранич. т-ках, то хотя бы 1- экстр. – max или min обязательно достигается во внутр. т-ке. сО(a, b) (в противном случае f=const), то по т-ме Ферма, тогда f‘(c)=0, что и требовалось д-ть. Т-ма Тейлора. “О приближении гладкой ф-ци к полиномам”

Опр. Пусть ф-ция f(x) имеет в т-ке а и некоторой ее окрестности пр-ные порядка n+1. Пусть х - любое значение аргумента из указанной окрестности, х№а. Тогда между т-ми а и х надутся т-ка e такая, что справедлива ф-ла Тейлора. f(x)=f(a)+f‘(a)/1! (x+a)+ f‘‘(a)/2! (x+a)^2+f^(n)(а)/n! +f^(n+1)(e)/(n+1)! (x-a)^(n+1). Док-во. Сводится к Роллю путем введения вспом. переменной g(x). g(x)=f(x)-f(a)-f‘(x)(x-a)-…-1/n! *f^n(x)(x-a)^n-1/(n+1)! (x-a)^n+1*l. По т-ме Роляя $ т-ка с из (a, b), такая что g(c)=0 l=f^(n+1)(c)

Правило Лопиталя.

Пусть ф-ция f(x) и g(x) имеет в окр. т-ки х0 пр-ные f‘ и g‘ исключая возможность саму эту т-ку х0. Пусть lim(х®Dх )=lim(x®Dx)g(x)=0 так что f(x)/g(x) при x®x0 дает 0/0. lim(x®x0)f‘(x)/g‘(x) $ (4), когда он совпадает с пределом отношения ф-ции lim(x®x0)f(x)/g(x)= lim(x®x0)f‘(x)/g‘(x) (5) Док-во.

Возьмем " т-ку х>х0 и рассмотрим на [x0; x] вспом ф-цию арг. t h(t)=f(t)-Ag(t), если tО[x0; x], т. к. удовл. этому св-ву в окр-ти т-ки х0, а т-ку х мы считаем достаточно близкой к х0. Ф-ция h непрерывна на [x0; x], поскольку lim(t®x0)h(t)=lim(t®x0)[f(t)-Ag(t)]=lim(t®x0)-A lim(t®x0)g(t)=0=h(0)=> непр. t=x0 По т-ме Логранджа (x0, x)$ c: h‘‘(c)=0

Производная обратной ф-ции

Т-ма. Для диф. ф-ции с пр-ной, не равной нулю, пр-ная обратной ф-ции равна обратной обратной величине пр-ной данной ф-ции.

Док-во. Пусть ф-ция y=f(x) диф. и y‘x=f‘(x)№0.

Пусть Dу№0 – приращение независимой переменной у и Dх – соответствующее приращение обратной ф-ции x=j(y). Напишем тождество: Dx/Dy=1: Dy/Dx (2) Переходя к пределу в рав-ве (2) при Dу®0 и учитывая, что при этом также Dх®0, получим: lim(Dy®0)Dx/Dy=1: lim(Dx®0)Dy/Dx => x‘y=1/y‘x. Где х‘у – пр-ная обратной ф-ции.

Производная обратной ф-ции

Теорема Больцано-Вейерштрасса Из любой огран. посл-ти можно выбрать сход. подпосл-ть. Док-во

1. Поскольку посл-ть ограничена, то $ m и M, такое что " mЈxnЈM, " n. D1=[m, M] –отрезок, в котором лежат все т-ки посл-ти. Разделим его пополам. По крайней мере в одной из половинок будет нах-ся бесконечное число т-к посл-ти. D2 –та половина, где лежит бесконечное число т-к посл-ти. Делим его пополам. По краней мере в одной из половинок отр. D2 нах-ся бесконечное число т-к посл-ти. Эта половина - D3. Делим отрезок D3 … и т. д. получаем посл-ть вложенных отрезков, длинны которых стремятся к 0. Согластно о т-ме о вложенных отрезках, $ единств. т-ка С, кот. принадл. всем отрезкам D1, какую-либо т-ку Dn1. В отрезке D2 выбираю т-ку xn2, так чтобы n2>n1. В отрезке D3 … и т. д. В итоге пол-ем посл-ть xnkОDk. Теорема Больцано-Коши Пусть ф-ция непр-на на отрезке [a, b] и на концах отрезка принимает зн-ния равных знаков, тогда$ т-ка с М (a, b) в которой ф-ция обращается в 0. Док-во

Пусть Х – мн-во таких т-к х из отрезка [a, b], где f(x)n. Имеем посл-ть т-к xn. По т-ме Больцано-Коши из посл-ти xn можно выбрать сходящиюся подпосл-ть xnk$®x0. По т-ме о предельном переходе к неравенству. aЈxnkЈb aЈx0Јb x0О[a, b]

Если посл-ть xnk сходится к x0, то f(xnk) будет сходится f(x0) Ѕf(xnk)Ѕ>nk, a nk®ҐЮЅf(xnk)Ѕ®Ґ, т. е. f(xnk) б/б посл-ть.

С одной стороны f(xnk) стремится к опр. числу, а с др. стороны стремится к Ґ, пришли к противоречию, т. к. мы предположим, что ф-ция не ограничена. Значит наше предположение не верно.

Страницы: 1, 2, 3, 4