Билеты по математическому анализу - (шпаргалка)
p>Для док-ва введем вспом-ю ф-цию y=(1+x)^1/x, x>0 Ясно что при знач. x=1, 1/2, 1/3, …, 1/n, … значение ф-ции y совпадает с соответствующими эл-ми (1). Док-м что ф-ция у монотонно убывает и огран. сверху => монотонное возр. посл-ти (1) и ограниченность ее сверх. Поскольку lg x явл-ся монотонно возр. , но монотонное убыв. ф-ции у и ее огранич. сверху эквивалентны том, что ф-ция lgy, которая равняется 1/хlg(1+x) (2) имеет те же самые св-ва, т. е. 01/x2* *lg(1+x2) (3). Огранич. сверху $ M: 1/xlg(1+x)ЈlgM "x>0 (4). Возьмем любую лин. ф-цию вида y=kx которая превосходит lg(1+x) при всех x>0.tga1=(lg(1+x1))/x1 a1>a2=>tga1>tga2
tga2=(lg(1+x2))/x2
Поскольку a1>a2, то tga1>tga2, а это равносильно равенству (3). Поскольку y>lg(1+x) "x>0 => kx> >lg(1+x) "x>0
Принимая во внимания ф-ции у с пос-ть xn приходим к нужному утверждению. Число е явл-ся неизбежным спутником динамических процессов: почти всегда показатели изменяющиеся во времени характеризующие такие процессы зависят от времени через экспонициальную ф-цию y=e^x и ее модификации.
Пр-р: если ставка сл-ных % равна r и инвестор положил в банк первоначальный вклад равный Р причем % начисляются m раз в год (r- годовая ставка) тогда через n- лет наращенная сумма нач-ся по ф-ле сл. % при m кратном их начислению. Sn=P(1+r/m)^mn (5) Предположим теперь % нач-ся непрерывным образом, т. е. число периодов нач-ния неограничено ув-ся. Мат-ки это соотв-ет тому, что выражение (5) надо р-равать, как общий член посл-ти Xm, а непрерывному нач-нию соот-ет наращенная ф-ция lim(n®Ґ)P(1+r/m)^mn=Pe^rn
Lg(e)x имеет спец. Обозначение lnx.
Принцип вложенных отрезков
Пусть на числовой прямой задана посл-ть отрезков [a1, b1], [a2, b2], …, [an, bn], … Причем эти отрезки удовл-ют сл. усл. :
1) каждый посл-щий вложен в предыдущий, т. е. [an+1, bn+1]М[an, bn], "n=1, 2, …; 2) Длины отрезков ®0 с ростом n, т. е. lim(n®Ґ)(bn-an)=0. Посл-ть с указанными св-вами наз-ют вложенными. Теорема Любая посл-ть вложенных отрезков содержит единную т-ку с принадлежащую всем отрезкам посл-ти одновременно, с общая точка всех отрезков к которой они стягиваются.
Док-во {an}-посл-ть левых концов отрезков явл. монотонно не убывающей и ограниченной сверху числом b1.
{bn}-посл-ть правых концов монотонно не возрастающей, поэтому эти посл-ти явл. сходящимися, т. е. сущ-ют числа с1=lim(n®Ґ)an и с2=lim(n®Ґ)bn => c1=c2 => c - их общее значение. Действительно имеет предел lim(n®Ґ)(bn-an)= lim(n®Ґ)(bn)- lim(n®Ґ)(an) в силу условия 2) o= lim(n®Ґ)(bn-an)=с2-с1=> с1=с2=с Ясно что т. с общая для всех отрезков, поскольку "n anЈcЈbn. Теперь докажем что она одна. Допустим что $ другая с‘к которой стягиваются все отрезки. Если взять любые не пересекающиеся отрезки с и с‘, то с одной стороны весь “хвост” посл-тей {an}, {bn} должен нах-ся в окрестностях т-ки с‘‘(т. к. an и bn сходятся к с и с‘ одновременно). Противоречие док-ет т-му. Принцип вложенных отрезков
Т-ма. Любая пос-ть вложенных отрезков содержит единств. т-ку сОвсем отрезкам посл-ти одновременно, к которой они стягиваются. Док-во. {an} пос-ть левых концов явл. монотонно неубыв. И огран. свеху числом b1; посл-ть правых концов {bn} монотонно не возр. и ограничена снизу а1, поэтому эти посл-ти сходящ. , т. е. $ числа c1=lim(n®Ґ)an и c2=lim(n®Ґ)bn. Докажемчто с1=с2 и сл-но их общая знач. может обозначить через с. Действ. имеется предел lim(n®Ґ)(bn-an)= lim(n®Ґ)bn® lim(n®Ґ)an=c2-c1=c ясно что с общая для всех отрезков поскольку для " n anЈcЈbn. Осталось доказать единство данной т-ки (от противного). Допустим есть c‘№c к которой стягиваются все отрезки. Если взять любые пределы окр. точек с и с‘, то с одной стороны весь “хвост” {an}, {bn}, должен нах-ся в окрестности т-ки с, а др. в с‘, т. к. an и bn® c и c‘ одновр. Противореч. док-ет т-му.
7. Ф-ции одной переменной
Если задано правило по которому каждому значению перем. Величины х из мн-ва Х ставится соответствие 1 значению перем. У то в этом случае говорят, что задана ф-ция 1-й переменной.
Y=f(x); x –аргумент независ. перемен. , y- зав. пер.
X=Df=D(f) y={y; y=f(x), xОX} x1ОX1, y1=f(x1)
1) аналит. способ; 2)Табличный способ;
3) Графический способ;
4)Min и max ф-ции: ф-ция f(x) ограничена, если огран. ее мн-во знач У, т. е. $ m, M: mЈf(x)ЈM "xОX mЈf(x) "xОX => огр. сн. ; f(x)ЈM, "xОX=> огр. св.
Обратные ф-ции
Если задано правило по которому каждому значению yОY ставится в соответствие ®ед. знач. х, причем y=f(x), то в этом случае говорят, что на мн-ве Y определена ф-ция обратная ф-ции f(x) и обозначают такую ф-цию x=f^-1(y).
Предел ф-ции в точке
Свойства предела ф-ции в точке
Односторонние пределы ф-ции в т-ке:
Предел ф-ции в т-ке
Предел и непрерывность функции
Предел. Односторонний предел.
Предел ф-ции в точке
y=f(x) X
опр. " {xn} МX, xn®x0
f(xn)®A, => f(x) в т. x0 (при , xn®x0) предел = А
А=lim(x®x0)f(x) или f(x)®A при x®x0
Т-ка x0 может О и П мн-ву Х.
Свойства предела ф-ции в точке
1) Если предел в т-ке сущ-ет, то он единственный
2) Если в тке х0 предел ф-ции f(x) lim(x®x0)f(x)=A
lim(x®x0)g(x)ЈB=> то тогда в этой т-ке $ предел суммы, разности, произведения и частного. Отделение этих 2-х ф-ций. а) lim(x®x0)(f(x)±g(x))=A±B
б) lim(x®x0)(f(x)*g(x))=A*B
в) lim(x®x0)(f(x): g(x))=A/B
г) lim(x®x0)C=C
д) lim(x®x0)C*f(x)=C*A
Док-во xn®x0, $ lim(x®x0)f(x)=A по опр. f(xn)®A {f(xn)}
Односторонние пределы ф-ции в т-ке:
Опр. А - предел ф-ции f(x) справа от точки х0, если f(x)®A при х®х0, и x>x0 Формально это означает, что для любой посл-ти {xn}®x0, вып-ся условие xn>x0, f(x)®A. Обозначим f(x0+0) и f(x0+) lim(x®x0+0)f(x)® И также с минусами.
Признак $ предела
Т-ма Для того чтобы f(x) имела предел в т-ке х0 необх. , тогда в этой т-ке ф-ция f имеет совпадающ. Между собой одностор. предел (f(x0+)=f(x0-) (1), которые равны пределу ф-ции. Док-во. f(x) имеет в т-ке х0 предел А, тогда f(x)®A независимо от того приближается ли х к х0 по значению больше х0 или меньше это означает равенство (1)
Предел ф-ции в т-ке
Число А наз-ся пределом ф-ции в т-ке х0 если "e>0 найдется такое число В>0, для всех х отличных от х0 и (х-х0)0 из Ѕх-х0Ѕ
Пусть Ѕf(x)-x0Ѕ Ѕf(x)-x0Ѕ Свойства пределов. Непрерывность ф-ции.
Ф-ция f(x) непрерывна в т-ке х0 если предельное значение в этой т-ке равно самому знач. в этой точке.
Предел и непрерывность функции
Пусть ф-ция f(x) определена на некотором пр-ке Х* и пусть точка х0ОХ или х0ПХ. Опр. Число А наз-ся пределом ф-ции f(x) в точке х=х0, если для " e>0 $ d>0 такое, что для всех хОХ, х№х0, удовлетвор. неравенству Ѕх-х0Ѕ0. Тогда для любого числа d>0 выполняется треюуемое неравенство Ѕf(x)-CЅ=ЅC-CЅ=0 lim(x®x0)C=C Свойства пределов. Непрерывность ф-ции.
Теорема. Пусть ф-ции f(x) и g(x) имеют в т-ке х0 пределы В и С. Тогда ф-ции f(x)±g(x), f(x)g(x) и f(x)/g(x) (при С№0) имеют в т-ке х0 пределы, равные соответственно В±С, В*С, В/С, т. е. lim[f(x)±g(x)]= B±C, lim[f(x)*g(x)]= B*C, lim[f(x)/g(x)]= B/C Теорема также верна если х0 явл. +Ґ, -Ґ, Ґ
Опр. Ф-ция f(x) наз-ся непрерыной в точке х=х0, если предел ф-ции и ее значение в этой точке равны, т. е. lim(x®x0)f(x)=f(x0)
Теорема Пусть ф-ции f(x) и g(x) непрерывны в т-ке х0. Тогда ф-ции f(x)±g(x), f(x)*g(x) и f(x)/g(x) также непрерывны в этой т-ке. 10. Предел. Односторонний предел.
Опр. Числом А наз-ся предел f(x) в т-ке х0, если для любой окрестности А$ окрестность (х0): "xОокрестности (x0) выполняется условие f(x)Оокрестности. Теорема Все определения предела эквивалентны между собой.
Опр. Число А называется пределом ф-ции f(x) справа от т. х0(правым предело f(x0)) если f(x)®A при х®х0, х>x0
Формально это означает, что для любой посл-ти сходящейся к х0 при xn>x0 выполняется условие f(xn)®A
Запись: f(x0+o), f(x0+ ). lim(x®x0+o)f(x) где запись x®x0+o как раз означает стремление к х0 по мн-ву значений >чем х0. Опр. Предел слева аналогично и исп-ся запись f(x0-o); f(x0-) Теорема. Для того чтобы ф-ция f(x) имела предел в точке х0 необходимо и достаточно когда в этой т-ке ф-ция имеет совпадающие между собой одностороние пределы (f(x0+)=f(x0-)) значение которые равны пределу ф-ции, т. е. f(x0+)= f(x0-)=lim(x®x0)f(x)=A
Док-во
а) допустим ф-ция имеет в точке х0 предел равный А, тогда f(x)®А независимо от того, приближается ли х к х0 по значению > x0 или
б) пусть односторонние пределы сущ-ют и равны f(x0+)=f(x0-) докажем, что $ просто предел. Возьмем произвольную {xn}®х0 разобьем если это необходимо эту последовательность на две подпоследовательности.
1. члены которые нах-ся слева от х0 {x‘n};
2. члены которые нах-ся справа от х0 {х‘‘n};
x’n®x0-o x’’n®x0+o, т. к. односторонние пределы $ и равны, то f(x‘n)®A и f(x‘‘n)®A поэтому посл-ть значений ф-ций {f(xn)} которая также след. справа: 1){f(x‘n)} и {f(x‘‘n)} имеет f(xn)®A на основании связи между сходимостью последовательностей
Пределы ф-ции на бесконечности
Два замечательных предела
Б/м ф-ции и их сравнения
Непрерывные ф-ции. Непрерывность.
11. Пределы ф-ции на бесконечности
Они нужны для исследования поведения ф-ции на переферии.
