Билеты по математическому анализу - (шпаргалка)
Билеты по математическому анализу - (шпаргалка)
Дата добавления: март 2006г.
Билеты по математическому анализу
Осн. понятия
Грани числовых мн-в
Числовые последовательности
Непр. ф-ции на пр-ке
1. Осн. понятия
Мат. модель –любой набор кр-ний; неравенств и иных мат. Соотношений, которая в совокупности описывает интересующий нас объект.
Мн-во вещест. чисел разбивается: на рационал. и иррац. Рац. – число, которое можно представить в виде p/q где p и q – цел. числа. Иррац. – всякое вещественное число, которое не явл. рационал. Любое вещ. число можно представить в виде бесконеч. десят. Дроби а, а1, а2…аn… где а–люб. число, а а1, а2 … аn числа, приним. целые знач.
Некоторые числовые множества.
Мн-ва –первичное понятие, на уровне здравого смысла, его не возможно точно определить.
Для описания мн-в единая символика, а именно, если в мн-во А входят только эл. х, которые обладают некоторым св-вом S(x), то тогда мн-во А описывается А={хЅ вып-ся усл S(x)}. Подмн-ва –если А и В 2 мн-ва и все эл-ты мн-ва А сод-ся в В, то А наз-ся подмн-вом В, А В, если в В сод-ся эл-ты отличные от эл-тов мн-ва А, то В строго шире А, то А наз-ся собственным подмн-вом В. АМВ. А=В- мн-ва совпадают.
Операции с мн-воми А В={х! х принадл. либо А, либо В} – обьединение мн-в А и В. АЗ В={хЅхОА и хОВ} пересечение мн-в А и В.
А\ В={хЅхОА, но хПВ}дополн. к м-ву В во мн-ве А
Числовые мн-ва
R, N, Z, Q - стандартные обозначения мн-в на числ. прямой. (а, в)= {хЅа
(а, в] – полуинтервал.
Окрестностью т-ки х наз-ся любой интервал содержащий т-ку х, необязательно симметричную.
2. Грани числовых мн-в
Пусть Х – непустое мн-во веществ. чисел.
Мн-во Х назся огран. сверху(снизу), если сущ-ет число с такое, что для любого х Х вып-ся неравенство сіх(хіс). Число с наз-ся верхн. (нижн. ) гранью мн-ва Х. Мн-во, огран. сверху и снизу наз-сяограниченым
Если мн-во имеет 1 верхнюю грань то она имеет их бесчисленное мн-во. Пример X=R+ - ограничено снизу, но не сверху, значит не ограничено. Точные грани числовых мн-в
Пусть мн-во Х ограничено сверху, если это мн-во содержит макс число, т. е. наименьшую из своих верхних граней, то это число назся макс мн-ва Х и обозначается Х*=maxX. Если мн-во содержит мин число Х* , то оно min мн-ва Х Пример Х=[0, 1) то max[0, 1) не $. min [0, 1)=0
Число Х* наз-ся точной верхн. гранью, мн-ва Х, если во-первых оно явл. верхн. гранью этого мн-ва, а во-вторых при сколь угодном уменьшении Х* получ. число перестает быть верх. гранью мн-ва.
Верхн. грань – supX=x*, а нижн. грань infX=x*
Теорема. Любое непустое ограниченное сверху (снизу) числ. мн-во имеет точную верх(ниж) грань.
Таким образом у огран. мн-ва обе грани $, док-во основано на непрерывности мн-ва действит. чисел. 3. Числовые последовательности
Если для каждого нат. числа n определено некоторое правило сопоставляющее ему число xn, то мн-во чисел х1, х2, … , хn, … наз-ся числовой последовательностью и обозначается {xn}, причем числа образующие данную посл-ть наз-ся ее эл-ми, а эл-т хn общим эл-том посл-ти .
! Порядок следования эл-тов оч. важен, перестановка хотя бы 2-х эл-тов приводит к др. посл-ти.
Основные способы задан. посл-ти:
а) явный, когда предъявляется ф-ла позволяющая по заданному n вычислить любой эл-т n, т. е. xn=f(n), где f- некоторая ф-ция нат. эл-та.
б) неявный, при котором задается некоторое рекуррентное отношение и несколько первых членов посл-ти.
Пример:
а) xn=5n x1=5, x2=10
б) x1=-2 xn=4n-1 –3, n=2, 3… х2=-11, х3=-47
Ограниченные последовательности(ОП)
Посл-ть {xn} наз-ся огран. сверху(снизу), если найдется какое-нибудь число {xn} M(m) xnЈM "n (xnіm "n) посл-ть наз-ся огранич. , если она огранич. сверху и снизу. Посл-ть {xn} наз-ся неогранич. , если для любого полного числа А сущ-ет эл-т хn этой посл-ти, удовлетворяющий неравенствуЅxnЅ>А.
Сходящиеся и расходящиеся посл-ти
Св-ва сходящихся посл-тей
Теорема “Об единственности пределов”
Теорема “Сходящаяся посл-ть ограничена”
Теорема “О сходимости монотон. посл-ти”
4. Сходящиеся и расходящиеся посл-ти
Большое внимание уд-ся выяснению вопроса: обладает ли данная посл-ть сл-щим св-вом (сходимости) при неогранич. Возрастании номеров посл-ти эл-ты посл-ти сколь угодно близко приближаются к некоторому числу а или же этого св-ва нет. Опр Если для любого e >0 найдется такой номер N, для любого n >N: Ѕxn-aЅ< e Все посл-ти имеющие предел наз-ся сходящимися, а не имеющее его наз-ся расходящимися.
Связь сходящихся посл-тей и б/м.
Дает сл. теорему
ТеоремаДля того чтобы посл-ть xn имела пределом число а необходимо, чтобы эл-ты этой посл-ти можно было представить в виде xn=a+an, где посл-ть {an}®0, т. е. является б/м. Док-во
а) Допустим, что xn®a и укажем посл-ть an удовл. равенству xn=a+an. Для этого просто положим an=xn-a, тогда при n®ҐЅxn-aЅ равно растоянию от xn до а ® 0 => an б/м и из равенства преобразования определяю an получаем xn=a+an.
Свойство б/м
Если {xn}, {yn}- любые посл-ти, то их сумма {xn+yn}, это есть пос-ть с общим членом xn+yn. Аналогично с разностью, частным и умножением. Т-ма о св-вах б/м
а) {xn}и{yn}-б/м пос-ти, б/м
1) их сумма, разность и произведение являются б/м
2) Произведение любой огранич. посл-ти на б/м являются б/м
! О частном не говорят, т. е. частное б/м может не быть б/м.
Посл-ть {xn} явл. б/б, если для любого числа с>0 сущ-ет номер N для всех номеров n>NЅxnЅ>c.
! Понятие б/б не совпадает с неограниченной: посл-ть может быть неогранич. , но не является б/б.
Пример1, 1/2, 3, 1/4, 5, 1/6, 7… явл. неогранич. , т. е. принимает сколь угодно большие по модулю значения, однако в ней имеются эл-ты со сколь угодно большими номерами принимающие дробные знач. и сколь угодно малые по модулю.
Св-ва сходящихся посл-тей
Теорема “Об единственности пределов”
Если посл-ть xn сходится, то она имеет единственный предел. Док-во (от противного)
{xn} имеет два разл. Предела a и b, а№b. Тогда согласно определению пределов любая из окрестностей т. а содержит все эл-ты посл-ти xn за исключением конечного числа и аналогичным св-вом обладает любая окрестность в точке b. Возьмем два радиусаe= (b-a)/2, т. к. эти окрестности не пересекаются, то одновременно они не могут содержать все эл-ты начиная с некоторого номера. Получим противоречие теор. док-на.
Теорема “Сходящаяся посл-ть ограничена”
Пусть посл-ть {xn}®а e >о N: "n>NЅxn-aЅN => что каждый из членов посл-ти удовлетворяет неравенствуЅxnЅЈ c = max {Ѕa-eЅ, Ѕa+eЅ, ЅxnЅ, …, Ѕxn-1Ѕ} Теорема “Об арифметических дейсьвиях”
Пусть посл-ть {xn}®a, {yn}®b тогда арифметические операции с этими посл-тями приводят к посл-тям также имеющие пределы, причем:
а) предел lim(n®Ґ)(xn±yn)=a±b
б) предел lim(n®Ґ)(xn*yn)=a*b
в) предел lim(n®Ґ)(xn/yn)=a/b, b№0
Док-во:
а)xn±yn=(а+an)±(b+bn)=(a±b)+(an±bn) Правая часть полученная в разности представляет сумму числа a+b б/м посл-тью, поэтому стоящая в левой части xn+yn имеет предел равный a±b. Аналогично др. св-ва. б) xn*yn=(а+an)*(b+bn)=ab+anb+abn+anbn
an*b – это произведение const на б/м
а*bn®0, anbn®0, как произведение б/м.
=> поэтому в правой части стоит сумма числа а*b+ б/м посл-ть. По т-ме О связи сходящихся посл-тей в б/м посл-ти в правой части xn*yn сводится к a*b
Практический вывод состоит в том, что нахожд. пределов посл-тей заданных сл. выражениями можно сводить к более простым задачам вычисления lim от составляющих этого выр-ния Посл-ть {xn} наз-ся возр. , если x1
неубывающей, если x1Јx2Ј…ЈxnЈxn+1Ј…; убывающей, если x1>x2>…>xn>xn+1>…; невозр. , если x1іx2і…іxnіxn+1і… Все такие посл-ти наз-ся монотонными. Возр. и убыв. наз-ся строго монотонными Монотонные посл-ти ограничены с одной стороны, по крайней мере. Неубывающие ограничены снизу, например 1 членом, а не возрастыющие ограничены сверху. Теорема “О сходимости монотон. посл-ти”
Всякая монотонная посл-ть явл-ся сходящейся, т. е. имеет пределы. Док-во Пусть посл-ть {xn} монотонно возр. и ограничена сверху. X –все мн-во чисел которое принимает эл-т этой посл-ти согласно усл. Теоремы это мн-во огранич. , поэтому по соотв. Теореме оно имеет конечную точную верх. грань supX xn®supX (обозначим supX через х*). Т. к. х* точная верх. грань, то xnЈx* " n. " e >0 вып-ся нер-во $ xm(пусть m- это n с крышкой): xm>x*-e при " n>m => из указанных 2-х неравенств получаем второе неравенство x*-eЈxnЈx*+e при n>m эквивалентно Ѕxn-x*Ѕm. Это означает, что x* явл. пределом посл-ти.
Экспонента или число е
Ф-ции одной переменной
Обратные ф-ции
6. Экспонента или число е
Р-рим числ. посл-ть с общим членом xn=(1+1/n)^n (в степени n)(1) . Оказывается, что посл-ть (1) монотонно возр-ет, ограничена сверху и сл-но явл-ся сходящейся, предел этой пос-ти наз-ся экспонентой и обозначается символом е»2, 7128… Док-ть сходимость посл-ти (1)
