Билеты по математическому анализу - (шпаргалка)
p>Опр. ф-ция f(x) имеет предел число А при x®+Ґ если " {xn} которая ®к +Ґ соответствующая ей последовательность {f(xn)}®A в этом случае мы пишем lim(x®+Ґ)f(x)=A. Совершенно аналогично с -Ґ. Опр. Будем говорить что ф-ция f(x) имеет пределом число А при x®Ґ {f(xn)} сходится к А Бесконечные пределы ф-цииВводятся как удобные соглашения в случае, когда конечные пределы не $-ют. Р-рим на премере: lim(x®o+)(1/x)
Очевидно не сущ-ет, т. к. для " {xn}®+о посл-ть {f(xn)}={1/xn}, а числ. посл-ть сводятся к +Ґ. Поэтому можно записать lim(x®o+)1/x=+Ґ что говорит о неограниченных возрастаниях предела ф-ции при приближении к 0. Аналогично с -Ґ.
Более того символы +Ґ и -Ґупотребляются в качестве предела ф-ции в данной т-ке лишь условно и означают например, что если {xn}®x0 то {f(xn)}®±Ґ, Ґ
12. Два замечательных предела
1) lim(x®0)sin/x=1
2) Явл. обобщением известного предела о посл-ти. Справедливо сл. предельное соотношение:
lim(n®Ґ)(1+1/n)^n=e (1)
lim(n®0)(1+x)^1/x=e (2)
t=1/x => при х®0 t®Ґ из предела (2) => lim(x®Ґ) (1+1/x)^x=e (3) Док-во
1)x®+Ґ n x: n=[x] => nЈx 1/(n+1)
Посколько при ув-нии основания и степени у показательной ф-ции, ф-ция возрастает, то можно записать новое неравенство (1/(n+1))^nЈ(1+1/n)^xЈ (1+1/n)^(n+1) (4) Рассмотрим пос-ти стоящие справа и слева. Покажем что их предел число е. Заметим (х®+Ґ, n®Ґ)
lim(n®Ґ)(1+1/(n+1))=lim(n®Ґ)(1+1/(n+1))^n+1-1= lim(n®Ґ)(1+1/(n+1))^n+1*lim(n®Ґ)1/(1+1/(n+1))=e lim(n®Ґ)(1+1/n)^n+1= lim(n®Ґ)(1+1/n)^n* lim(n®Ґ)(1+1/n)=e*1=e 2) x®-Ґ. Сведем эту ситуацию к пред. Случаю путем замены переменной y=-x => y®+Ґ, при x®-Ґ. lim(x®-Ґ)(1+1/x)^x=lim(y®+Ґ)(1-1/y)^-y= lim(y®+Ґ)((y-1)/y)^y=lim(y®+Ґ)(1+1/(y-1))^y=e 3) Пусть x®Ґпроизвольным образом это означает при любом любом выборе посл-ти xn сходящихся ꮥ мы должны иметь в силу (3) соотношение lim(x®Ґ)(1+1/xn)^xn=e (5) Условие 5~3, т. е расшифровка 3 на языке посл-ти. Выделим из посл-ти xn 2 подпосл-ти: {x‘n}®+Ґ,
{x‘‘n}®-Ґ. Для каждой посл-ти по доказанному в п. 1 и п. 2 справедливо предельное соотношение 5 если заменить xn®x‘nx‘‘n. По т-ме о связи
13. Б/м ф-ции и их сравнения
Опр. Ф-ция a(х) наз-ся б/м если ее предел в этой т-ке равен 0 из этого определения вытекает следующее св-во б/м ф-ций:
а) Алгебраическая сумма и произведение б/м ф-ций есть б/м ф-ции. б) Произведение б/м ф-ции на ограниченную ф-цию есть б/м ф-ция, т. е. если a(х)®0 при х®х0, а f(x) определена и ограничена ($ С: Ѕj(х)ЅЈС)=> j(х)a(х)®0 при х®х0 Для того чтобы различать б/м по их скорости стремления к 0 вводят сл. понятие: 1) Если отношение 2-х б/м a(х)/b(х)®0 при х®х0 то говорят что б/м a имеет более высокий порядок малости чем b. 2) Если a(х)/b(х)®A№0 при х®х0 (A-число), то a(х) и b(х) наз-ся б/м одного порядка. 3) если a(х)/b(х)®1 , то a(х) и b(х) наз-ся эквивалентными б/м (a(х)~b(х)), при х®х0. 4) Если a(х)/b^n(х)®А№0, то a(х) наз-ся б/м n-ного порядка относительно b(х). Аналогичные определения для случаев: х®х0-, х®х0+, х®-Ґ, х®+Ґ и х®Ґ.
14. Непрерывные ф-ции. Непрерывность.
Опр. f(x) непрерывны Х0 и при этом ее предел в этой т-ке сущ-ет и равен знач. ф-ции в этой т-ке, т. е. lim(x®x0)f(x)=f(x0)-непрерывность ф-ции в т-ке. Из определения вытекает что в случае непрерывности ф-ции в данной т-ке вычитание пределов сводится к вычит. знач. ф-ции в данной т-ке. Равенство lim(x®x0)x=x0 (1‘). Т. е знак предела у непрерывной ф-ции можно вносить в аргумент ф-ции. Геометрически непрерывность ф-ции в т-ке х0 означает что ее график в этой т-ке не имеет разрыва. Если обозначить черезDу приращение ф-ции, т. е. Dу=f(x0+Dx)-f(x0) (приращение ф-ции в т. х0). “D” - символ приращения. Приращение аргумента в т-ке х0 это соответствует тому, что текущая т. х, то условие непрерывности в т-ке х0 записывается сл. образом lim(Dx®0)Dy=0~ Dу®0 (1‘‘). Если в т-ке х0 ф-ция непрерывна, то приращение ф-ции ®0 приращение аргумента. f(x) непрерывна в т-ке х0 Dy®0 при Dх®0.
Если понятие предела приводит к понятию непр. Ф-ции то понятие одностороннего предела приводит к понятию односторонней непр. точки.
Опр. Если f(x) имеет предел справа в т-ке х0(=f(x0+)) и этот предел равен значению ф-ции ф-ции в т-ке х0, т. е. f(x0+)=lim(x®x0, x>x0)f(x)=f(x0), то ф-ция f(x) наз-ся непр. справа в т-ке х0. Аналогично при вып-нии усл. f(x0-)=lim(x®x0, x
Опр. Ф-ция f(x) непрерывна на некотором пр-ке D, если в каждой т-ке этого пр-ка при этом, если пр-ток D содержит граничную т-ку, то будем подразумевать соотв. одностор. непр. ф-ции в этой т-ке.
Пример Р-рим степенную производст. ф-цию
Q=f(k)=k^1/2 Q-объем выпуска продукции, к – объем капитала. D(f)=R+=>f(0)=0 и очевидно f(0+) $и равно 0 => что данная ф-ция непр. на своей обл. опр-ния. Большинство ф-ций исп-мых в эк-ке непр. Например непр. ф-ции означает, что при малом изменении капитала мало будет меняться и выпуск пр-ции (DQ®0 при Dk®0). Ф-ции которые не явл. непр. наз-ют разрывными соотв. т-ки в которых ф-ция не явл. непр. наз-ся т-кой разрыва
Классификация т-ки разрыва
Непр. ф-ции на пр-ке
Теорема ВЕЙЕРШТРАССА
15. Классификация т-ки разрыва
Все т-ки р-рыва делятся на 3 вида: т. устранимого р-рыва; точки р-рыва 1-го , и 2-го рода.
а) если в т-ке х0 $ оба односторонних предела, которые совпадают между собой f(x0+)= f(x0-), но № f(x0), то такая т-ка наз-ся точкой устранимого р-рыва. Если х0 т-ка устранимого р-рыва, то можно перераспределить ф-цию f так чтобы она стала непр. в т-ке х0. Если по ф-ции f построить новую ф-цию положив для нее знач. f(x0)= f(x0-)=f(x0+) и сохранить знач. в др. т-ках, то получим исправл. f.
б) если в т-ке х0 $ оба 1-стороних предела f(x0±), которые не равны между собой f(x0+)№f(x0-), то х0 наз-ся т-кой р-рыва первого рода. в) если в т-ке х0 хотя бы 1 из односторонних пределов ф-ции не $ или бесконечен, то х0 наз-ся т-кой р-рыва 2-го рода. При исслед. Ф-ции на непр. классификации возможных т-к р-рыва нужно применять во внимание сл. замечания:
1) Все элементарные ф-ции непрер. во внутренних т-ках своих областей определения => при исл. элементарных ф-ций нужно обращать внимание на гранич. т-ки обл-ти опр-ния.
2) Если ф-ция задана кусочно, т. е. различными соотношениями на частях своей обл. опр. , то подозрительными на разрыв явл. граничные т-ки частей обл-ти опр. 3) Св-ва непр. ф-ций. Многие св-ва непр. ф-ций легко понять опираясь на их геометр. св-ва:
график непр. ф-ции на пр-ке D представляет сплошную(без р-рывов) кривую на пл-тях и след-но может отображена без отрыва ручки от бумаги. I) Ф-ция непр. в т-ке х0 обязательно ограничена в окрестностях этой т-ки. (св-во локал. огранич-ти)
Док-во использует опр-ние на языке e и d. Если f непр. в т-ке х0 то взяв любое e>0 можно найти d>0 Ѕf(x)-f(x0)Ѕ CО(A, B) $ cО(a, b): f(c)=C f(c)=f(c‘)=f(c‘‘). IV)Теорема о прохожд. непр. ф-ции через 0. Если f(x) непр. на отрезке (a, b) и принимает на концах этого отрезка значение разных знаков f(a) f(b), то$ т-ка сО(a, b).
Док-воОдновременно содержит способ нах-ния корня ур-ния f(x0)=0 методом деления отрезка пополам. f(d)=0 c=d Т-ма доказана.
Пусть f(d)№0 [a, d] или [d, b] ф-ция f принимает значение разных знаков. Пусть для определ-ти [a, d] обозначим через [a1, b1]. Разделим этот отрезок на 2 и проведем рассуждение первого шага док-ва в итоге или найдем искомую т-ку d или перейдем к новому отрезку [a2, d2] продолжая этот процесс мы получим посл-ть вложения отрезков [a1, b1]>[a2, b2] длинна которых (a-b)/2^n®0, а по т-ме о вл-ных отрезков эти отрезки стягиваются к т-ке с. Т-ка с явл. искомой с: f(c)=0. Действительно если допустить, что f(c)№0 то по св-ву сохр. знаков в некоторой dокрестности, т-ке с f имеет тот же знак что и значение f(c) между тем отрезки [an, bn] с достаточно N попабают в эту окрестность и по построению f имеет разный знак на концах этих отрезков.
Непр. ф-ции на пр-ке
f непр. в т-ке х0 => f непрер. в т-ке х0 и f(x0)№0 => f непр. на [a, b] и f(x)*f(b)=0 (f(x)*f(b)>0 в окр-ти х0) => $ сО(a, b). f(c)=0 сл-но 2 св-ва непр. ф-ции на отрезке обоснованны. Т-ма1(о огран. непр. ф-ции на отрезке). Если f(x) непр. на [a, b], тогда f(x) огран. на этом отрезке, т. е. $ с>0: Ѕf(x)ЅЈc "xО(a, b).
Т-ма 2( о $экстр. непр. ф-ции на отр. ). Если f(x) непр. на [a, b], тогда она достигает своего экстр. на этом отрезке, т. е. $ т-ка max X*: f(x*)іf(x) "xО[a, b], т-ка min X_: f(x_)Јf(x) "xО[a, b]. Теорема ВЕЙЕРШТРАССА. Эти теремы неверны если замкнутые отрезки заменить на др. пр-ки Контрпример 1. f(x)=1/2 на (0; 1] ® f – неогр. на (0; 1] хотя и непрерывны. Контрпример 2. f(x)=x; на (0; 1) f(x) – непр. inf(xО(0; 1))x=0, но т-ки x_О(0; 1): f(x_)=0, т-ки x*, хотя sup(xО(0; 1))x=1 Док-во т-мы 1. Используем метод деления отрезка пополам. Начинаем от противного; f неогр. на [a, b], разделим его, т. е. тогда отрезки [a; c][c; b] f(x) неогр. Обозн. [a1, b1] и педелим отрез. [a2, b2], где f-неогр. Продолжая процедуру деления неогр. получаем послед. влож. отрезки [an; bn] котор. оттяг. к т-ке d (d=c с надстройкой) из отрезка [a, b], общее для всех отр. Тогда с одной стороны f(x) неогр. в окр-ти т-ки d на конц. отрезка [an, bn], но с др. стороны f непр. на [a, b] и => в т-ке d и по св-ву она непр. в некоторой окрестности d. Оно огран. в d => получаем против. Поскольку в любой окр-ти т-ки d нах-ся все отрезки [an; bn] с достаточно большим 0.
Док-во т-мы 2. Обозначим E(f) –множиством значений ф-ии f(x) на отр. [a, b] по предыд. т-ме это мн-во огран. и сл-но имеет конечные точные грани supE(f)=supf(x)=(при хО[a, b])=M(-Ґ). Для опр. докажем [a, b] f(x) достигает макс. на [a, b], т. е. $ х*: f(x)=M. Допустим противное, такой т-ки не $ и сл-но f(x)0
