Быстрый поиск

Реферат: Динамика твердого тела

Сил реакции со стороны оси, как предполагается, при ударе не возникает, поэтому на основании теоремы о движении центра масс можно записать

$m \cdot {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle dv_{0} }}{\displaystyle {\displaystyle dt}}} = F,$

(3.16)

где - масса тела, $v_{0}$ - скорость центра масс. Если - расстояние от оси до центра масс тела, то

$v_{0} = \omega a,$

(3.17)

и в результате из уравнения моментов и уравнения движения центра масс находим

$\ell = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle J}}{\displaystyle {\displaystyle ma}}}.$

(3.18)

При этом точка C (центр удара) совпадает с так называемым центром качания данного физического маятника - точкой, где надо сосредоточить всю массу твердого тела, чтобы полученный математический маятник имел такой же период колебаний, как и данный физический.

В случае сплошного однородного стержня длиной имеем:

$a = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle L}}{\displaystyle {\displaystyle 2}}}, \quad J = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle mL^{2}}}{\displaystyle {\displaystyle 3}}},\quad и \quad \ell = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 2}}{\displaystyle {\displaystyle 3}}}L.$

Замечание. Полученное выражение для $\ell$ (3.18) справедливо и для произвольного твердого тела. При этом надо только иметь в виду, что точка подвеса тела А и центр масс О должны лежать на одной вертикали, а ось вращения должна совпадать с одной из главных осей инерции тела, проходящих через точку А.

Пример 1. При ударах палкой длиной по препятствию рука "не чувствует" удара (не испытывает отдачи) в том случае, если удар приходится в точку, расположенную на расстоянии $L - \ell = L - {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 2}}{\displaystyle {\displaystyle 3}}}L = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 1}}{\displaystyle {\displaystyle 3}}}L$ свободного конца палки.

Пример 2. При горизонтальном ударе кием по бильярдному шару (рис. 3.10) шар начинает качение без проскальзывания в том случае, еcли удар нанесен в точку, находящуюся на высоте

$h = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle J}}{\displaystyle {\displaystyle ma}}} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 7}}{\displaystyle {\displaystyle 5}}}mR^{2}}}{\displaystyle {\displaystyle mR}}} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 7}}{\displaystyle {\displaystyle 5}}}R$

от поверхности бильярда, то есть на $h - R = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 2}}{\displaystyle {\displaystyle 5}}}R$ выше центра шара. Если удар будет нанесен ниже, качение будет сопровождаться скольжением в направлении движении шара. Если удар нанесен выше, то шар в точке касания с бильярдным столом будет проскальзывать назад.

Рис. 3.10.

Рассмотренные примеры формально не относятся к вращению твердого тела вокруг неподвижной оси, однако все приведенные выше соображения о центре удара, очевидно, остаются в силе и в этих случаях.

II. Плоское движение твердого тела.

Напомним, что при плоском движении все точки тела движутся в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости, поэтому достаточно рассмотреть движение одного из сечения тела, например, того, в котором лежит центр масс. При разложении плоского движения на поступательное и вращательное скорость поступательного движения определена неоднозначно - она зависит от выбора оси вращения, однако угловая скорость вращательного движения оказывается одной и той же.

Если в качестве оси вращения выбрать ось, проходящую через центр масс, то уравнениями движения твердого тела будут:

1. Уравнение движения центра масс

$m{\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle d{\displaystyle \bf v}_{0} }}{\displaystyle {\displaystyle dt}}} = {\displaystyle \bf F}_{0} .$

(3.19)

2. Уравнение моментов относительно оси, проходящей через центр масс

$J_{0} {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle d\omega}}{\displaystyle {\displaystyle dt}}} = {\displaystyle \bf M}_{0} .$

(3.20)

Особенностью плоского движения является то, что ось вращения сохраняет свою ориентацию в пространстве и остается перпендикулярной плоскости, в которой движется центр масс. Еще раз подчеркнем, что уравнение моментов (3.20) записано относительно, в общем случае, ускоренно движущегося центра масс, однако, как было отмечено в начале лекции, оно имеет такой же вид, как и уравнение моментов относительно неподвижной точки.

В качестве примера рассмотрим задачу о скатывании цилиндра с наклонное плоскости. Приведем два способа решения этой задачи с использованием уравнений динамики твердого тела.

Первый способ. Рассматривается вращение цилиндра относительно оси, проходящее через центр масс (рис. 3.11).

Рис. 3.11.

Система уравнений (3.19 - 3.20) имеет вид:

$\left\{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{l} {\displaystyle m \cdot {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle d{\displaystyle \bf v}_{0} }}{\displaystyle {\displaystyle dt}}}m{\displaystyle \bf g} + {\displaystyle \bf F}_{тр} + {\displaystyle \bf N};} \\ {\displaystyle J_{0} {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle d\omega}}{\displaystyle {\displaystyle dt}}} = {\displaystyle \bf R}\times {\displaystyle \bf F}_{тр} .} \\ \end{array}} \right.} \quad \begin{array}{l} (3.21) \\ (3.22) \\ \end{array$

К этой системе необходимо добавить уравнение кинематической связи

${\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle d{\displaystyle \bf v}_{0} }}{\displaystyle {\displaystyle dt}}} = {\displaystyle \bf R}\times {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle d\omega}}{\displaystyle {\displaystyle dt}}}.$

(3.23)

Последнее уравнение получается из условия, что цилиндр скатывается без проскальзывания, то есть скорость точки М цилиндра равна нулю.

Уравнение движения центра масс (3.1) запишем для проекций ускорения и сил на ось x вдоль наклонной плоскости, а уравнение моментов (3.22) - для проекций углового ускорения и момента силы трения на ось y , совпадающую с осью цилиндра. Направления осей x и у выбраны согласованно, в том смысле, что положительному линейному ускорению оси цилиндра соответствует положительное же угловое ускорение вращения вокруг этой оси. В итоге получим:

$\left\{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{l} {\displaystyle ma = mg\sin \alpha - F_{тр} ;} \\ {\displaystyle J_{0} {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle d\omega }}{\displaystyle {\displaystyle dt}}} = F_{тр} \cdot R;} \\ {\displaystyle a = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle d\omega }}{\displaystyle {\displaystyle dt}}} \cdot R.} \\ \end{array}} \right.} \quad \begin{array}{l} (3.24) \\ (3.25) \\ (3.26) \\ \end{array$

откуда

$a = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle g\sin \alpha }}{\displaystyle {\displaystyle 1 + {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle J_{0} }}{\displaystyle {\displaystyle mR^{2}}}}}}}.$