Быстрый поиск

Реферат: Динамика твердого тела

${\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle d{\displaystyle \bf L}_{0} }}{\displaystyle {\displaystyle dt}}} = {\displaystyle \bf M}_{0} - {\displaystyle \bf v}_{{\displaystyle \bf 0}} \times {\displaystyle \bf p}.$

(3.7)

Поскольку движущаяся точка O - это центр масс тела, то $\bf p} = m{\displaystyle \bf v}_{{\displaystyle \bf 0}$ ( - масса тела), ${\displaystyle \bf v}_{{\displaystyle \bf 0}} \times {\displaystyle \bf p} = 0$ и ${\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle d{\displaystyle \bf L}_{0} }}{\displaystyle {\displaystyle dt}}} = {\displaystyle \bf M}_{0} ,$ то есть уравнение моментов относительно движущегося центра масс имеет такой же вид, что и относительно неподвижной точки. Скорости всех точек тела при определении $\bf L}_{0$ следует брать относительно центра масс тела.

Ранее было показано, что произвольное движение твердого тела можно разложить на поступательное (вместе с системой x0y0z0, начало которой находится в некоторой точке - полюсе, жестко связанной с телом) и вращательное (вокруг мгновенной оси, проходящей через полюс). С точки зрения кинематики выбор полюса особого значения не имеет, с точки же зрения динамики полюс, как теперь понятно, удобно поместить в центр масс. Именно в этом случае уравнение моментов (3.2) может быть записано относительно центра масс (или оси, проходящей через центр масс) как относительно неподвижного начала (или неподвижное оси).

Если $\sum {\displaystyle {\displaystyle \bf F}}$ не зависит от угловой скорости тела, а $\sum {\displaystyle {\displaystyle \bf M}}$ - от скорости центра масс, то уравнения (3.1) и (3.2) можно рассматривать независимо друг от друга. В этом случае уравнение (3.1) соответствует просто задаче из механики точки, а уравнение (3.2) - задаче о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки или неподвижной оси. Пример ситуации, когда уравнения (3.1) и (3.2) нельзя рассматривать независимо - движение вращающегося твердого тела в вязкой среде.

Далее в этой лекции мы рассмотрим уравнения динамики для трех частных случаев движения твердого тела: вращения вокруг неподвижной оси, плоского движения и, наконец, движения твердого тела, имеющего ось симметрии и закрепленного в центре масс.

I. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси.

В этом случае движение твердого тела определяется уравнением

${\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle dL_{\parallel} }}{\displaystyle {\displaystyle dt}}} = M_{\parallel} .$

Здесь $L_{\parallel}$ - это момент импульса относительно оси вращения, то есть проекция на ось момента импульса, определенного относительно некоторой точки, принадлежащей оси. $M_{\parallel}$ - это момент внешних сил относительно оси вращения, то есть проекция на ось результирующего момента внешних сил, определенного относительно некоторой точки, принадлежащей оси, причем выбор этой точки на оси, как и в случае с $L_{\parallel} ,$ значения не имеет. Действительно (рис. 3.4), $M_{\parallel} = rF\cos \alpha = \rho F,$ где - составляющая силы, приложенной к твердому телу, перпендикулярная оси вращения, $\rho$ - плечо силы относительно оси.

Рис. 3.4.

Поскольку $L_{\parallel} = J\omega$ ( $J = \int {\displaystyle \rho ^{2}} dm$ - момент инерции тела относительно оси вращения), то вместо $\frac{\displaystyle {\displaystyle dL_{\parallel} }}{\displaystyle {\displaystyle dt}}} = M_{\parallel$ можно записать

$\frac{\displaystyle {\displaystyle d}}{\displaystyle {\displaystyle dt}}}\left( {\displaystyle J\omega} \right) = M_{\parallel$

(3.8)

или

$J{\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle d\omega}}{\displaystyle {\displaystyle dt}}} = M_{\parallel} ,$

(3.9)

поскольку в случае твердого тела $J = {\displaystyle \rm const}.$

Уравнение (3.9) и есть основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси. Его векторная. форма имеет вид:

$J{\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle d\omega}}{\displaystyle {\displaystyle dt}}} = {\displaystyle \bf M}_{\parallel}$

(3.10)

Вектор $\omega$ всегда направлен вдоль оси вращения, а $\bf M}_{\parallel$ - это составляющая вектора момента силы вдоль оси.

В случае $M_{\parallel}=0$ получаем $\omega = {\displaystyle \rm const},$ соответственно и момент импульса относительно оси $L_{\parallel}$ сохраняется. При этом сам вектор L, определенный относительно какой-либо точки на оси вращения, может меняться. Пример такого движения показан на рис. 3.5.

Рис. 3.5.

Стержень АВ, шарнирно закрепленный в точке А, вращается по инерции вокруг вертикальной оси таким образом, что угол $\alpha$ между осью и стержнем остается постоянным. Вектор момента импульса L, относительно точки А движется по конический поверхности с углом полураствора $\beta = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \pi }}{\displaystyle {\displaystyle 2}}} - \alpha$ однако проекция L на вертикальную ось остается постоянной, поскольку момент силы тяжести относительно этой оси равен нулю.

Кинетическая энергия вращающегося тела и работа внешних сил (ось вращения неподвижна).

Скорость i -й частицы тела

$v_{i} = \omega \rho _{i} ,$

(3.11)

где $\rho _{i}$ - расстояние частицы до оси вращение Кинетическая энергия

$T = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 1}}{\displaystyle {\displaystyle 2}}}{\displaystyle \sum\limits_{i} {\displaystyle m_{i} } }v_{i}^{2} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 1}}{\displaystyle {\displaystyle 2}}}{\displaystyle \sum\limits_{i} {\displaystyle m_{i} } }\rho _{i}^{2} \omega ^{2} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 1}}{\displaystyle {\displaystyle 2}}}J\omega ^{2},$

(3.12)

так как угловая скорость вращения для всех точек одинакова.

В соответствии с законом изменения механической энергии системы элементарная работа всех внешних сил равна приращению кинетической энергии тела:

$\delta A = d\left( {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 1}}{\displaystyle {\displaystyle 2}}}J\omega ^{2}} \right) = J\omega \cdot d\omega = M_{\parallel} \omega \cdot dt = M_{{\displaystyle \left\| {\displaystyle } \right.}} \cdot d\varphi$