Быстрый поиск

Реферат: Динамика твердого тела

Работа внешних сил при повороте тела на конечный угол $\varphi _{0}$ равна

$A = {\displaystyle \int\limits_{0}^{\varphi _{0} } {\displaystyle M_{\parallel} } } \cdot d\varphi .$

(3.14)

опустим, что диск точила вращается по инерции с угловое скоростью $\omega _{0} ,$ и мы останавливаем его, прижимая какой-либо предмет к краю диска с постоянным усилием. При этом на диск будет действовать постоянная по величине сила $F_{тр} ,$ направленная перпендикулярно его оси. Работа этой силы

$A_{тр} = - F_{тр} \cdot R\varphi ,$

где - радиус диска, $\varphi$ - угол его поворота. Число оборотов, которое сделает диск до полной остановки,

$n = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \varphi }}{\displaystyle {\displaystyle 2\pi }}} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle J\omega _{0}^{2} }}{\displaystyle {\displaystyle 4\pi \cdot F_{тр} \cdot R}}},$

где - момент инерции диска точила вместе с якорем электромотора.

Замечание. Если силы таковы, что $M_{\parallel} = 0,$ то работу они не производят.

Свободные оси. Устойчивость свободного вращения.

При вращении тела вокруг неподвижной оси эта ось удерживается в неизменном положении подшипниками. При вращении несбалансированных частей механизмов оси (валы) испытывают определенную динамическую нагрузку, Возникают вибрации, тряска, и механизмы могут разрушиться.

Если твердое тело раскрутить вокруг произвольной оси, жестко связанной с телом, и высвободить ось из подшипников, то ее направление в пространстве, вообще говоря, будет меняться. Для того, чтобы произвольная ось вращения тела сохраняла свое направление неизменным, к ней необходимо приложить определенные силы. Возникающие при этом ситуации показаны на рис. 3.6.

Рис. 3.6.

В качестве вращающегося тела здесь использован массивный однородный стержень АВ, прикрепленный к достаточно эластичной оси (изображена двойными штриховыми линиями). Эластичность оси позволяет визуализировать испытываемые ею динамические нагрузки. Во всех случаях ось вращения вертикальна, жестко связана со стержнем и укреплена в подшипниках; стержень раскручен вокруг этой оси и предоставлен сам себе.

В случае, изображенном на рис. 3.6а, ось вращения является для точки В стержня главной, но не центральной, ${\displaystyle \bf L}\parallel \omega.$ Ось изгибается, со стороны оси на стержень действует сила ${\displaystyle \bf F}_{упр} ,$ обеспечивающая его вращение (в НИСО, связанной со стержнем, эта сила уравновешивает центробежную силу инерции). Со стороны стержня на ось действует сила ${\displaystyle {\displaystyle \bf F}}',$ уравновешенная силами $\bf Ф'$ со стороны подшипников.

В случае рис. 3.6б ось вращения проходит через центр масс стержня и является для него центральной, но не главной. Момент импульса относительно центра масс О не сохраняется и описывает коническую поверхность. Ось сложным образом деформируется (изламывается), со стороны оси на стержень действуют силы $\bf F}_{упр.1$ и ${\displaystyle \bf F}_{упр.2},$ момент которых обеспечивает приращение $d{\displaystyle \bf L}.$ (В НИСО, связанной со стержнем, момент упругих сил компенсирует момент центробежных сил инерции, действующих на одну и другую половины стержня). Со стороны стержня на ось действуют силы $\bf {\displaystyle F}'}_{1$ и ${\displaystyle \bf {\displaystyle F}'}_{2} ,$ направленные противоположно силам $\bf F}_{упр.1$ и ${\displaystyle \bf F}_{упр.2}.$ Момент сил $\bf {\displaystyle F}'}_{1$ и ${\displaystyle \bf {\displaystyle F}'}_{2} ,$ уравновешен моментом сил $\bf Ф'}_{1$ и ${\displaystyle \bf Ф'}_{2} ,$ возникающих в подшипниках.

И только в том случае, когда ось вращения совпадает с главной центральной осью инерции тела (рис.3.6в), раскрученный и предоставленный сам себе стержень не оказывает на подшипники никакого воздействия. Такие оси называют свободными осями, потому что, если убрать подшипники, они будут сохранять свое направление в пространстве неизменным.

Иное дело, будет ли это вращение устойчивым по отношению к малым возмущениям, всегда имеющим место в реальных условиях. Опыты показывают, что вращение вокруг главных центральных осей с наибольшим и наименьшим моментами инерции является устойчивым, а вращение вокруг оси с промежуточным значением момента инерции - неустойчивым. В этом можно убедиться, подбрасывая вверх тело в виде параллелепипеда, раскрученное вокруг одной из трех взаимно перпендикулярных главных центральных осей (рис. 3.7). Ось AA' соответствует наибольшему, ось BB' - среднему, а ось CC' - наименьшему моменту инерции параллелепипеда. Если подбросить такое тело, сообщив ему быстрое вращение вокруг оси AA' или вокруг оси CC', можно убедиться в том, что это вращение является вполне устойчивым. Попытки заставить тело вращаться вокруг оси BB' к успеху не приводят - тело движется сложным образом, кувыркаясь в полете.

Рис. 3.7.

В телах вращения устойчивой оказывается свободная ось, соответствующая наибольшему моменту инерции. Так, если сплошной однородный диск подвесить к быстровращающемуся валу электромотора (рис. 3.8, ось вращения вертикальна), то диск довольно быстро займет горизонтальное положение, устойчиво вращаясь вокруг центральной оси, перпендикулярной к плоскости диска.

Рис. 3.8.

Центр удара.

Опыт показывает, что если тело, закрепленное на оси вращения, испытывает удар, то действие удара в общем случае передается и на ось. При этом величина и направление силы, приложенной к оси, зависят от того, в какую точку тела нанесен удар.

Рассмотрим сплошной однородный стержень АВ, подвешенный в точке А на горизонтальной, закрепленной в подшипниках оси OO' (рис. 3.9). Если удар (короткодействующая сила F ( нанесен близко к оси вращения, то ось прогибается в направлении действия силы F (рис. 3.9а). Если удар нанесен по нижнему концу стержня, вблизи точки В, то ось прогибается в противоположном направлении (рис. 3.9б). Наконец, если удар нанесен в строго определенную точку стержня, называемую центром удара (рис. 3.9в, точка С), то ось не испытывает никаких дополнительных нагрузок, связанных с ударом. Очевидно, в этом случае скорость поступательного движения, приобретаемого точной А вместе с центром масс O, будет компенсироваться линейной скоростью вращательного движения вокруг центра масс О (оба эти движения инициируются силой F и происходят одновременно).