Учебное пособие: Матричная математическая система MATLAB
>> M=[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9];
задает квадратную матрицу, которую можно вывести:
>> M
M =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
Возможен ввод элементов матриц и векторов в виде арифметических выражений, содержащих любые доступные системе функции, например:
>> V= [2+2/(3+4),exp(5),sqrt(10)];
>> V
V = 2.2857 148.4132 3.1623
Для указания отдельного элемента вектора или матрицы используются выражения вида V(i) или M(i, j). Например, если задать
>> М(2, 2)
ans = 5
то результат будет равен 5. Если нужно присвоить элементу M(i, j) новое значение x, следует использовать выражение
M(ij)=x
Например, если элементу M(2, 2) надо присвоить значение 10, следует записать
>> M(2, 2)=10
Вообще говоря, в тексте программ MATLAB лучше не использовать i и j как индексы, так как i и j – обозначение квадратного корня из –1. Но можно использовать I и J.
Выражение M(i) с одним индексом дает доступ к элементам матрицы, развернутым в один столбец. Такая матрица образуется из исходной, если подряд выписать ее столбцы. Следующий пример поясняет подобный доступ к элементам матрицы M:
>> M=[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]
M =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
>> M(2)
ans = 4
>> M(8)
ans = 6
>> M(9)
ans = 9
>> M(5)=100;
>> M
M =
1 2 3
4 100 6
7 8 9
Здесь уместно отметить, что размер векторов и матриц в данной книге учебного характера ограничен. Однако система MATLAB способна работать с очень большими векторами и матрицами. Например, последняя версия MATLAB может работать с матрицами размера n×n, где максимальное значение n = 248 – 1, тогда как предшествующие версии имели максимальное значение n = 231. При этом размеры файла, который может хранить матрицу, могут достигать 18 Гб.
Задание векторов и матриц с комплексными элементами
Из курса математики известно о существовании комплексных чисел вида a + b * i, где a – действительная часть числа, b – мнимая часть и i – мнимая единица (корень квадратный из –1). Возможно задание векторов и матриц с комплексными элементами, например:
>> i=sqrt(-1);
>> CM = [1 2; 3 4] + i*[5 6; 7 8]
или
>> CM = [1+5*i 2+6*i; 3+7*i 4+8*i]
Это создает матрицу:
CM =
1.0000 + 5.0000i 2.0000 + 6.0000i
3.0000 + 7.0000i 4.0000 + 8.0000i
Возможно разделение элементов не только пробелами, но и запятыми.
Понятие о матричных операциях и магические матрицы
Наряду с операциями над отдельными элементами матриц и векторов система позволяет производить операции умножения, деления и возведения в степень сразу над всеми элементами, то есть над массивами. Для этого перед знаком операции ставится точка. Например, оператор * означает умножение для векторов или матриц, а оператор .* – поэлементное умножение всех элементов массива. Так, если M – матрица, то M.*2 даст матрицу, все элементы которой умножены на скаляр – число 2. Впрочем, для умножения матрицы на скаляр оба выражения – M*2 и M.*2 – оказываются эквивалентными.
Имеется также ряд особых функций для задания векторов и матриц. Например, функция magic(n) задает магическую матрицу размера n×n, у которой сумма всех столбцов, всех строк и даже диагоналей равна одному и тому же числу:
>> M=magic(4)
M =
16 2 3 13
5 11 10 8
9 7 6 12
4 14 15 1
>> sum(M)
ans = 34 34 34 34
>> sum(M’)
ans = 34 34 34 34
>> sum(diag(M))
ans = 34
>> M(1,2)+M(2,2)+M(3,2)+M(4,2)
ans = 34
Уже сама по себе возможность создания такой матрицы с помощью простой функции magic заинтересует любителей математики. Но векторных и матричных функций в системе множество, и мы их детально рассмотрим в дальнейшем. Для стирания переменных из рабочей области памяти служит команда clear.
Конкатенация (объединение) матриц
Описанный способ задания матриц позволяет выполнить операцию конкатенации – объединения малых матриц в большую матрицу. Например, создадим вначале магическую матрицу размера 3×3:
>> A=magic(3)
A =
8 1 6
3 5 7
4 9 2
Теперь можно построить матрицу, содержащую четыре матрицы:
>> B=[A A+16;A+32 A+16]
B =
8 1 6 24 17 22
3 5 7 19 21 23
4 9 2 20 25 18
40 33 38 24 17 22
35 37 39 19 21 23
36 41 34 20 25 18
Полученная матрица имеет уже размер 6×6. Вычислим сумму ее столбцов:
>> sum(B)
ans = 126 126 126 126 126 126
Любопытно, что она одинакова для всех столбцов. А для вычисления суммы строк используем команду
>> sum(B.')
ans = 78 78 78 174 174 174
Здесь запись B.' означает транспонирование матрицы B, то есть замену строк столбцами. На этот раз сумма оказалась разной. Это отвергает изначально возникшее предположение, что матрица B тоже является магической. Для истинно магической матрицы суммы столбцов и строк должны быть одинаковыми:
>> D=magic(6)
D =
35 1 6 26 19 24
3 32 7 21 23 25
31 9 2 22 27 20
8 28 33 17 10 15
30 5 34 12 14 16
4 36 29 13 18 11
>> sum(D)
ans = 111 111 111 111 111 111
>> sum(D.')
ans = 111 111 111 111 111 111
Более того, для магической матрицы одинаковой является и сумма элементов по основным диагоналям (главной диагонали и главной антидиагонали).
Удаление столбцов и строк матриц
Для формирования матриц и выполнения ряда матричных операций возникает необходимость удаления отдельных столбцов и строк матрицы. Для этого используются пустые квадратные скобки – [ ]. Проделаем это с матрицей M:
>> M=[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]
M =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
Удалим второй столбец, используя оператор : (двоеточие):
>> M(:,2)=[ ]
M =
1 3
4 6
7 9
А теперь, используя оператор : (двоеточие), удалим вторую строку:
>> M(2,:)=[ ]
M =
1 3
7 9
Работа с демонстрационными примерами с командной строки
Вызов списка демонстрационных примеров
Одним из самых эффективных методов знакомства со сложными математическими системами является ознакомление со встроенными примерами их применения. Система MATLAB содержит многие сотни таких примеров – по примеру практически на каждый оператор или функцию. Наиболее поучительные примеры можно найти в разделе demos справки или выполнив команду:
>> help demos
Examples and demonstrations.
Type 'demo' at the command line to browse more demos of
MATLAB, the Toolboxes, and Simulink.
demo – Run demonstrations.
Mathematics.
intro – Basic Matrix Operations
inverter – Inverses of Matrices
buckydem – Graphs and Matrices
sparsity – Sparse Matrices
matmanip – Matrix Manipulation
integerMath – Integer Arithmetic Examples
Здесь весьма длинный список примеров обрезан.
Пример – вывод изображения поверхности
Исполнив команду
>> wernerboy
можно наблюдать изображение сложной поверхности Вернера–Боя, показанной на рисунке в окне графики.
Это построение прекрасно иллюстрирует технику функциональной окраски сложных поверхностей и фигур, именуемую рендерингом. Данная техника обеспечивает высокую степень реалистичности поверхностей с учетом условий освещения и свойств отражения света от материалов с определенными свойствами.
Что больше – e^pi или pi^e?
Рассмотрим еще один простой пример, дающий ответ на сакраментальный вопрос о том, какое значение больше – e^pi или pi^e? Для запуска этого примера надо исполнить команду
>> e2pi
и наблюдать красочное шоу – графики степенных функций x^y и y^x с построением на них линий заданных функций и оценкой их значений – рисунке. Этот пример – наглядная демонстрация перехода от узких понятий к более широким.
Так можно легко убедиться в том, что все же e^pi больше, чем pi^e. Можно проверить это и помощью логического оператора сравнения > (результат 1 означает, что неравенство выполняется и дает логическое значение TRUE):
>> e^pi>pi^e
ans = 1
Встроенные фигуры
MATLAB имеет ряд встроенных фигур, которые можно легко выводить на построение простым указанием их названия. Так, введя команду knot, можно задать построение еще одной сложной пространственной фигуры узла с функциональной окраской. Можно убедиться в том, что имеется возможность вращать полученную фигуру. В данном примере показан также вывод шкалы цветовых оттенков – справа от фигуры.
Просмотр текстов примеров и m-файлов
Как программная среда MATLAB открыта для пользователя. Любой m-файл системы, например файл демонстрационных примеров, можно просмотреть с помощью любого текстового редактора, редактора и отладчика m-файлов, встроенного в систему, или с помощью команды
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
