Реферат: Построение экономической модели c использованием симплекс-метода
Интересующее нас
отношение ( фиксирующее искомую точку пе-ресечения и идентифицирующее
исключаемую переменную ) можно
определить из симплекс-таблицы. Для этого в столбце , соответствующем вводимой
переменной X2
, вычеркиваются отрицательные и
нулевые элементы ограничений . Затем
вычисляются отношения постоянных ,
фигурирующих в правых частях этих ограничений , к оставшимся элементам столбца ,
соответствующего вводимой переменной X2 . Исключаемой
переменной будет та переменная текущего базиса , для которой указанное выше
отношение минимально.
Начальная симплекс-таблица для нашей задачи , получаемая после проверки условия допустимости ( т. е. после вычисления соответствующих отношений и определения исключаемой переменной ) , воспроизведена ниже . Для удобства описания вычислительных процедур , осуществляемых на следующей итерации , введем ряд необходимых определений . Столбец симплекс-таблицы , ассоциированный с вводимой переменной , будем называть ведущим столбцом . Строку , соответствующую исключаемой переменной , назовем ведущей строкой ( уравнением ) , а элемент таблицы , находящийся на пересечении ведущего столбца и ведущей строки , будем называть ведущим элементом .
После
того как определены включаемая и исключаемая пере-
менные ( с использованием условий оптимальности и допустимости ) ,
следующая итерация ( поиск нового базисного решения ) осуществля-
ется методом исключения переменных , или методом Гаусса — Жордана . Этот
процесс изменения базиса включает вычислительные процедуры двух типов .
Тип 1 ( формирование ведущего уравнения ) .
Новая ведущая строка = Предыдущая ведущая строка / Ведущий элемент
Тип 2 ( формирование всех остальных уравнений , включая Z - yравнение ) .
Новое уравнение = Предыдущее уравнение —
é Коэффициент ù
ê ведущего столбца ê * ( Новая ведущая строка ) .
ê предыдущего ê
ë уравнения û
Выполнение процедуры типа 1 приводит
к тому , что в новом
ведущем уравнении ведущий элемент становится равным единице .
В результате осуществления процедуры типа 2 все остальные коэф-
фициенты , фигурирующие в ведущем столбце , становятся равными
нулю . Это эквивалентно получению базисного решения путем ис-
ключения вводимой переменной из всех уравнений , кроме ведущего .
Применяя к исходной таблице процедуру 1 , мы делим S2 - уравнение на
ведущий элемент , равный 1 .
Базисные переменные | Z | X1 | X2 | S1 | S2 | Решение |
Z | ||||||
S1 | ||||||
S2 | 0 |
-1/2 |
1 | 0 |
1/2 |
0 |
Чтобы составить новую симплекс-таблицу , выполним необходимые вычислительные процедуры типа 2 .
1. Новое Z - уравнение .
старое Z - уравнение : ( 1 -1 -25 0 0 0 )
( - ( -25 ) * ( 0 -1/2 1 0 1/2 0 )
( 1 -131/2 0 0 121/2 0 )
2. Новое S1 - уравнение
старое S1 - уравнение : ( 0 5 100 1 0 1000 )
( - 100 ) * ( 0 -1/2 1 0 1/2 0 )
( 0 55 0 1 -50 1000 )
Новая симплекс-таблица будет иметь вид :
Базисные переменные | Z | X1 | X2 | S1 | S2 | Решение | |
Z | 1 |
-131/2 |
0 | 0 |
121/2 |
0 | Z – уравнение |
S1 | 0 | 55 | 0 | 1 | -50 | 1000 | S1 –уравнение |
X2 | 0 |
-1/2 |
1 | 0 |
1/2 |
0 | X2 – уравнение |
В новом решении X1 = 0 и S2 = 0 . Значение Z не изменяется .
Заметим , что новая симплекс-таблица обладает такими же ха-
рактеристиками , как и предыдущая : только небазисные переменные
X1 и S2 равны нулю , а значения базисных переменных , как и раньше ,
представлены в столбце « Решение » . Это
в точности соответствует
результатам , получаемым при использовании метода
Гаусса—Жор-
дана .
Из последней таблицы
следует , что на очередной итерации в со-
ответствии с условием оптимальности в качестве вводимой перемен-
ной следует выбрать X1 , так
как коэффициент при этой переменной в
Z-ypaвнении равен -131/2 . Исходя из условия допустимости , определяем , что исключаемой переменной будет S1 . Отношения , фигурирующие в правой части таблицы , показывают , что в новом базисном решении значение включаемой переменной X1 будет равно 1000/55 ( = минимальному отношению ) . Это приводит к увеличению целевой функции на ( 1000/55 ) * ( -131/2 ) = ( 2455/11 ) .
К получению симплекс-таблицы , соответствующей новой итерации , приводят следующие вычислительные операции метода Гаусса—Жордана.
1) Новое ведущее S1 - уравнение = Предыдущее S1 - уравнение / ( 55 ) .
Базисные переменные | Z | X1 | X2 | S1 | S2 | Решение |
Z | ||||||
S1 | 0 | 1 | 0 |
1/55 |
- 50/55 |
1000/55 |
X2 |
2) Новое Z - уравнение = Предыдущее Z - уравнение - ( -131/2 ) * Новое /ведущее уравнение :
( 1 -131/2 0 0 121/2 0 )
- ( -131/2 ) * ( 0 1 0 1/55 -50/55 1000/55 )
( 1 0 0 27/110 5/22 2455/11 )
3) Новое X2 - уравнение = Предыдущее X2 - уравнение - ( -1/2 ) * Новое ведущее уравнение :
( 0 -1/2 1 0 1/2 0 )
- ( - 1/2 ) * ( 0 1 0 1/55 -50/55 1000/55 )
( 0 0 1 1/110 1/22 91/11 )
В
результате указанных преобразований получим следующую симп-
лекс-таблицу .
Базисные переменные | Z | X1 | X2 | S1 | S2 | Решение |
Z | 1 | 0 | 0 |
27/110 |
5/22 |
2455/11 |
X1 | 0 | 1 | 0 |
1/55 |
-50/55 |
1000/55 |
X2 | 0 | 0 | 1 |
1/110 |
1/22 |
91/11 |
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10