Реферат: Построение экономической модели c использованием симплекс-метода
Cпт= n! / [ ( n - m )!m! ]
Вторая из ранее отмеченных закономерностей оказывается
весьма полезной для построения
вычислительных процедур симп-
лекс-метода , при реализации которого осуществляется
последова-
тельный переход от одной экстремальной точки к другой, смежной с ней . Так как смежные экстремальные точки отличаются только
одной переменной,
можно определить каждую последующую ( смеж-
ную) экстремальную точку путем замены одной из текущих не-
базисных ( нулевых ) переменных текущей базисной
переменной.
В нашем случае получено решение , соответствующее точке А
, откуда следует осуществить переход в точку В . Для этого нужно увеличивать небазисную переменную X2 от исходного нулевого значения до значе-
ния , соответствующего точке В (
см. рис. 1 ). В точке B переменная
S1 ( которая в точке А была базисной ) автоматически
обращается в
нуль и , следовательно , становится небазисной переменной . Таким
образом , между множеством небазисных и множеством базисных
переменных происходит взаимообмен переменными X2 и S1 . Этот
процесс можно наглядно представить в виде следующей таблицы.
Экстремальная точка | Нулевые переменные | Ненулевые переменные |
А | S2 , X2 | S1 , X1 |
В | S1 , X2 | S2 , X1 |
Применяя аналогичную
процедуру ко всем экстремальным точкам
рис. 1 , можно убедиться в том , что любую
последующую экстре-
мальную точку всегда можно определить путем взаимной замены
по одной переменной в составе базисных и небазисных переменных
( предыдущей смежной точки ) . Этот фактор существенно упрощает
реализацию вычислительных процедур симплекс-метода.
Рассмотренный
процесс взаимной замены переменных приводит
к необходимости введения двух новых терминов .
Включаемой пе-
ременной называется небазисная в данный момент переменная ,
которая будет включена в множество базисных переменных на сле-
дующей итерации ( при переходе к смежной экстремальной точке ) .
Исключаемая переменная — это та базисная переменная , которая
на следующей итерации подлежит исключению из множества ба-
зисных переменных .
Вычислительные процедуры симплекс-метода .
симплекс-алгоритм состоит из следующих шагов.
Шаг
0. Используя
линейную модель стандартной формы , опреде-
ляют начальное допустимое базисное решение путем приравнива-
ния к нулю п — т ( небазисных ) переменных.
Шаг
1. Из числа текущих
небазисных ( равных нулю ) перемен-
ных выбирается включаемая в новый базис переменная , увеличение
которой обеспечивает улучшение значения целевой функции. Если
такой переменной нет , вычисления прекращаются , так как текущее
базисное решение оптимально . В противном случае осуществляется
переход к шагу 2.
Шаг
2. Из числа
переменных текущего базиса выбирается исклю-
чаемая переменная , которая должна принять нулевое значение ( стать
небазисной ) при введении в состав базисных новой переменной .
Шаг
3. Находится новое
базисное решение , соответствующее
новым составам небазисных и базисных переменных . Осуществляется переход к шагу
1.
Поясним
процедуры симплекс-метода на примере решения нашей зада-
чи . Сначала необходимо представить
целевую функцию и ограничения модели в стандартной форме:
Z - X1 - 25X2 +0S1 -0S2 = 0 ( Целевая функция )
5X1 + 100X2 + S1 = 1000 ( Ограничение )
-X1 + 2X2 + S2 = 0 ( Ограничение )
Как отмечалось ранее , в качестве
начального пробного решения
используется решение системы уравнений , в которой две переменные принимаются
равными нулю . Это обеспечивает единст-
венность и допустимость получаемого решения . В рассматриваемом
случае очевидно, что подстановка X1 = X2 = 0 сразу же приводит к следующему результату: S1 = 1000 , S2 = 0 ( т. е.
решению , соответствующему точке А на рис. 1 ) . Поэтому точку А можно
использовать как начальное допустимое решение . Величина Z в этой точке равна нулю , так как и X1 и X2 имеют нулевое значение . Поэтому , преобразовав уравнение
целевой функции так , чтобы его правая часть стала равной нулю , можно
убедиться в том , что правые части уравнений целевой функции и ограничений
полностью характеризуют начальное решение . Это имеет место во всех случаях , когда начальный базис состоит из остаточных
переменных.
Полученные результаты удобно представить в виде таблицы :
Базисные переменные | Z | X1 | X2 | S1 | S2 | Решение | |
Z | 1 | -1 | - 25 | 0 | 0 | 0 | Z – уравнение |
S1 | 0 | 5 | 100 | 1 | 0 | 1000 | S1 –уравнение |
S2 | 0 | -1 | 2 | 0 | 1 | 0 | S2 – уравнение |
Эта
таблица интерпретируется следующим образом. Столбец
« Базисные переменные » содержит переменные пробного базиса S1 ,
S2 , значения которых приведены в столбце « Решение
» . При
этом подразумевается , что небазисные переменные X1 и X2 (
не пред-
ставленные в первом столбце ) равны нулю . Значение целевой функ-
ции Z = 1*0 +
25*0 + 0*1000 + 0*1 равно
нулю , что и показано в последнем столбце таблицы .
Определим , является ли
полученное пробное решение наи-
лучшим ( оптимальным ) . Анализируя Z - уравнение , нетрудно заме-
тить , что обе небазисные переменные X1 и X2 , равные нулю ,
имеют
отрицательные коэффициенты .
Всегда выбирается переменная с большим абсолютным значением отрицательного
коэффициента ( в Z - уравнении ) , так как практический
опыт вычислений показывает , что в этом
случае оптимум достигается быстрее .
Это правило составляет
основу используемого в вычислительной
схеме симплекс-метода условия оптимальности ,
которое состоит в
том , что , если в задаче максимизации все небазисные переменные в
Z - Уравнение имеют неотрицательные
коэффициенты , полученное пробное решение является оптимальным . В противном случае в ка-
честве новой базисной переменной следует выбрать ту , которая имеет
наибольший по абсолютной величине отрицательный коэффициент .
Применяя условие оптимальности к
исходной таблице , выберем
в качестве переменной , включаемой в базис , переменную Х2 .
Исклю-
чаемая переменная должна быть выбрана из совокупности базисных
переменных S1
, S2 . Процедура выбора
исключаемой переменной предполагает проверку условия допустимости , требующего , чтобы в качестве исключаемой переменной выбиралась та из
пере-
менных текущего базиса , которая первой обращается в нуль при уве-
личении включаемой переменной X2
вплоть до значения , соответствующего смежной
экстремальной точке .
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10