Быстрый поиск

Курсовая работа: Разработка математической модели теплообменника смешения

по каналу

(2.5)

3. Получение математической модели объекта в виде переменных пространство состояний

Одной из распространенных форм математического описания линейных динамических систем являются уравнения следующего вида:

; (3.1)

Это название связано с тем, что при uk = 0 достаточно задать начальное значение переменных xi, чтобы однозначно определить состояние системы xi(t), y1 для любого момента времени. Модель (3.1) содержит n дифференциальных уравнений 1-го порядка с k управляющими входными воздействиями, а также s алгебраических соотношений для связи выходных переменных системы y с переменными состояния x. Коэффициенты aij, bik, cli называют параметрами модели.

Уравнения (3.1) удобно представить в матричной форме

(3.2)

где X - вектор переменных состояния; U − вектор управляющих (входных) воздействий; Y - вектор выходов; A, B, C − матрицы параметров [2].

Модель (3.2), в сравнении с ранее рассмотренными моделями, формирует дополнительно n переменных внутреннего состояния системы, что увеличивает количество информации об объекте управления.

При этом начальные условия согласуют следующим образом:

(3.7)

Структурная схема объекта с учетом полученных передаточных функций:

Рисунок 3.1-Структурная схема объекта

Тогда вектор переменных состояния объекта в отклонениях от желаемых базовых значений примет вид:

На основе полученных дифференциальных уравнений запишем матрицы А, B и S.

4. Получение дискретной математической модели объекта

Термин “дискретный” еще не сложился. Каждая система управления, в которой присутствует хотя бы один элемент, который не подчиняется непрерывному характеру изменения сигнала, может быть отнесен к классу дискретных систем. Для этих систем характерным является исчезновения сигнала информации хотя бы на небольшом интервале времени. Если эти интервалы устремить к нулю, то можно рассматривать систему как непрерывную. Дискретные системы более общие. В производстве часто технологические процессы непрерывные [2].

Пусть имеется на входе в дискретный элемент какой-то непрерывный сигнал. Введем период квантования. Заменяем реальное время на кванты т=к*Т к=0,1,…,. Если Т 0 тогда имеем непрерывную модель. В этом случае можно зафиксировать амплитуды. Кроме квантования по времени можно квантовать и по вертикали (амплитуде). При таком виде квантования цифры заносятся в виде “0” и “1”. В случае объединения этих квантований они называются дискретными.

Выделим случай, когда входной сигнал x(t) является элементарной функцией 1(t). Реакцию системы на воздействие 1(t) можно компактно:

, (5.1)

где W(D) называется операторной передаточной функцией или оператором. Формально W(D) можно рассматривать как дробно-рациональную функцию от оператора:

. (5.2)

Воспользуемся преобразованием Лапласа, основываясь на утверждении

, (5.3)

если f(0) = 0. Аналогично можно записать:

(5.4)

(5.5)

для любого операторного многочлена степени k, если f(t) и ее производные при t < 0, равны нулю.

Применяя правило (5.5), получим

, (5.6)

где

При этом предполагается, что равны нулю y(0), x(0) и начальные значения производных y(t), x(t) вплоть до (n – 1)-й и (m – 1)-й соответственно. Теперь a(p), b(p) - обычные функции комплексной переменной p. Поэтому операция деления на a(p) имеет обычный смысл

. (5.7)

Учитывая определения (5.7), приходим к основной формуле

. (5.8)

Для осуществления z-преобразования и выбора периода квантования воспользуемся пакетом Matlab:

clc, clear

%Передаточная функция по 1-ому динамическому каналу

W1=tf([1.25],[5 1]);

%Передаточная функция по 2-ому динамическому каналу

W2=tf([0.924],[5 1])

%Формирование передаточной объекта

Wo=series(W1,W2)

T=0.5;

WWo=c2d(Wo,T,'zoh')

figure(1);

step(Wo,WWo)

grid on

Определяем погрешность квантования:

Погрешность квантования не превышает заданную (7%), значит выполняем переход от непрерывной модели к дискретной с периодом квантования 0.5.

Передаточная функция в z-области:

Программа перехода от непрерывной модели(модели в пространстве состояния ) к дискретной в пакете MATLAB

clc, clear

% задаем матрицы параметров

A=[-0.2 0;0 -0.2]

B=[0;0.1848]

F=[0.25;0]

C=[1 1]

D=[0]

BB=[B F]

% переход в область переменных состояний

sistema1=ss(A,BB,C,D)

% переход в дискретную область

sistema2=c2d(sistema1,0.5)

Wz=tf(sistema2)

Модель в пространстве состояний.

a = x1 x2 x1 0.9048 0 x2 0 0.9048 b = u1 u2 x1 0 0.119 x2 0.08793 0

c = x1 x2 y1 1 1 d = u1 u2 y1 0

Передаточная функция в z-области по каналам.

1.По первому динамическому каналу.

5. Получение переходных функций объекта по передаточным функциям каналов

Переходной характеристикой(переходной функцией) h(t) называется реакция системы на единичное ступенчатое входное воздействие u(t-τ)=1(t-τ) при нулевых начальных условиях. Единичная ступенчатая функция – это функция, которая обладает свойством

На рисунке 5.1 приведен пример переходной характеристики системы.

Рисунок 5.1-Пример переходной характеристики системы (τ – момент возникновения входного воздействия)

Для аналитического определения переходной функции следует решить дифференциальное уравнение при нулевых начальных условиях и единичном входном воздействии. При исследовании реального объекта переходную характеристику можно получить экспериментальным путем, подавая на его вход ступенчатое воздействие и фиксируя реакцию на выходе. Если входное воздействие представляет собой неединичную ступенчатую функцию u(t)=k1(t), то выходная величина будет равна y(t)=kh(t), т.е. представляет собой переходную характеристику с коэффициентом пропорциональности k[2].

Для построения переходной характеристики воспользуемся пакетом

Matlab:

clear,clc

W1=tf([1.25],[0.05 1]);

step(W)

Рисунок 5.1- Переходная характеристика объекта по первому динамическому каналу

6. Расчет коэффициентов передаточной функции по экспериментальной переходной функции методом площадей

Сравнение результатов расчета с истинной (аналитической) передаточной функцией объекта.

В основе метода площадей лежит предположение, что объект может быть описан линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами, а его нормированная (приведенная к единице) переходная характеристика может быть аппроксимирована передаточной функцией вида:

(6.1)

Порядок числителя в выражении (6.1) всегда меньше или равен порядку знаменателя. Для нахождения явного вида выражения (6.1) для конкретного технологического объекта необходимо определить значения коэффициентов ai и bi, а также значения степеней полиномов n и m.

На первом этапе осуществляют нормирование переходной характеристики и входного воздействия:

;