Вопросы по курсу "МАТЕМАТИКА" для студентов 2 курса дневного отделения - (шпаргалка)
p>43. Система дифф. уравнений Колмогорова для вероятностей состояний. Пусть дан марковский случайный процесс. Рi(t)—вер-ти состояний: i=1, n(все с чертой), тогда для Рi(t) выполняется следующее дифференциальное уравнениеd Рi(t)/dt=е( от i<>k, k=1 до n) lki* Рi(t)—е( от j<>1, j=i до n) lij*Pi(t); i=1, n(все с чертой) (1) Система из n уравнений , т. к. для любого момента tе( от i=1 до n) Pi(t), то в системе (1) одно любое уравнение м-но отбросить. И, задав начальное условие на момент t=t0, P1(t0)=1, Pi(t0)=0, i=1, n( все с чертой).
В итоге м-но решить сис-му дифф. ур-ний и найти все вер-ти состояний Pi(t), i=1, n(все с чертой).
44. Предельные вероятности состояний. Нахождение предельных вероятностей. Предположим, что дан марковский случайный процесс, тогда, используя уравнение Колмогорова, можно найти Рi(t); i =
Предельными или финальными вероятностями называют пределы
, если эти вероятности существуют, т. е. = Рi.
Если эти предельные вероятности существуют, то в системе устанавливается стационарный режим, при котором состояние системы меняется случайным образом, но вероятность каждого состояния остается неизменной.
Предельная вероятность в марковском случайном процессе существует, если этот процесс удовлетворяет свойству транзитивности. Процесс в протекающей системе называется транзитивным, если существует интервал времениt, в течение которого система может перейти из любого состояния Si в любое другое состояние Sj.
Алгебраические уравнения для предельной вероятности состояний Пусть марковский случайный процесс удовлетворяет свойству транзитивности, тогда для него при t® Ґ существуют предельные вероятности состояний Pi=const. , Ю, в этом случае вместо дифференциального уравнения Колмогорова получили систему линейных уравнений относительно вероятности состояний
Одно уравнение отбрасывается, остается n уравнений, решая эту систему получаем Р1, Р2, .... , Рn.
45. Процессы гибели и размножения. Формулы для нахождения предельных вероятностей. Мы предполагаем, что все потоки, переводящие систему из любого Si в Si+1 и из Si в Si-1 являются простейшими.
li, i+1
li, i-1
Процессы такого типа называются процессами гибели и размножения. Составим систему уравнений для нахождения предельной вероятности состояний: S0: l01P0 = l10P1 S1: l10P1 + l12P1 = l01P0 + l21P2 S2: l21P2 + l23P2 = l12P1 + l32P3 .... Sn: ln, n-1 Pn = ln-1, n Pn-1 P0 + P1 + P2 + .... + Pn = 1 Из первого уравнения выражаем P1 =
l01P0 + l12P1 = l01P0 + l21P2
P2 =
P3 = Pn = ....
P0 + .... + = 1
46. Потоки событий. Простейший поток и его свойства.
Потоком событий называется последовательность каких-то однородных событий, следующих друг за другом через случайные интервалы времени, т. е. в произвольные моменты времени.
Потоки избираются на числовой оси, представляющей ось времени, точками, соответствующими моменту наступления событий.
Например: - поток вызовов, поступающих на станцию скорой помощи; - поток автомобилей, пересекающих перекресток.
Среднее число событий, происходящих в единицу времени называется интенсивностью потока. l- среднее число событий в потоке, происходящее за единицу времени. Свойства потока:
Поток называется стационарным, если вероятность наступления того или иного числа событий за интервал времени длины а зависит от длины этого интервала и не зависит от того, в какой момент времени начинается отсчет этого интервала. t2 – t1 = a
Поток событий называется потоком без последействия (без последствия), если для любых непересекающихся интервалов времени длиныt1 и t2.
Вероятность появления того или иного числа событий в интервале t2 не зависит от того, какое число событий произошло в интервале t1. Иначе, отсутствие последствия означает независимость наступления событий во времени.
3. Поток называется ординарным, если вероятность наступления двух и более событий за некоторый достаточно малый интервал времениt пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью наступления одного события за этот интервал.
Поток, обладающий всеми тремя перечисленными свойствами называется простейшим.
47. Закон распределения числа событий за фиксированный промежуток времени и закон распределения интервала времени между событиями в простейшем потоке. Пусть рассматривается какой-то поток событий. С ним всегда можно связать дискретную СВ– число событий, происходящих за интервал длины t. Эта СВ дискретна. С этим же потоком можно связать НСВ – интервал времени между событиями. Т –интервал времени между событиями в потоке. Для простейшего потока доказано, что число событий, попадающих на интервал длиныtявляется ДСВ, распределенной по закону Пуассона. Вероятность того, что за времяt произойдет ровно k событий.
(a > 0)
a = t l, l - интенсивность простейшего потока
при t = 1
Найдем закон распределения интервала времени между событиями простейшего потока. Выведем закон распределения интервала времени между событиями в потоке.
F(t) = ?
Fт(t) = P(T
Всякий простейший поток можно задать интенсивностью, либо задать среднее значение времени между событиями в потоке (Т).
Средняя продолжительность интервала времени ; М(Т) = = Ю l =
Многоканальная СМО с отказами.
СМО—система, предназначенная для обслуживания какого-то потока поступающих на вход в систему заявок. Система характеризуется наличием того или иного числа каналов обслуживания. Если в системе несколько каналов, то мы считаем эти каналы равноправными, и они имеют одинаковые хар-ки (среднее число заявок, обслуж. 1-им каналом при непрерывной работе за единицу времени—одно и то же для всех каналов). Пусть СМО имеет n каналов обслуживания и на вход в систему поступает простейший поток заявок с интенсивностьюl. Будем считать, что среднее время обслуживания одной заявки одним каналом Тоб=1/m; продолж. Обслуж. Тоб—СВ, распределенная по показательному закону с параметром m. Тогда при непрерывной работе канала он может обслужить m заявок в единицу времени (технич. , профес. Хар-ка каналов). Пусть в случае, когда заявка, поступившая в систему, застает свободный хотя бы один канал, то она поступает сразу под обслуживание каким-то одним каналом. Если же заявка поступает в момент занятости всех каналов, то она получает отказ в обслуживании и покидает систему необслуженной. Нарисуем граф состояний таких СМО, при этом нумерацию состояний будем вести по числу заявок, находящихся в системе: S0—заявок нет S1—одна заявка, один канал занят, n-1 каналов свободно , ,, Sn—n заявок, n каналов занято, нет свободных. l l l l
S0
S1
S2
Sn-1
Sn
2m 3m (n-1)m nm
Вероятности состояний:
Р0=(1+)-1
P1=; P2=(l2/(2! m2))*P0; ..... ;Рr=(lk/k! mk)*P0
Ротказа=Рn ( все каналы заняты).
Относительная пропускная способность системы (вер-ть обслуживания) q=1—Pотказа=1—Рn Абсолютная пропускная способность(ср. число заявок, обслуж. за единицу времени) A=lq
Среднее число занятых каналов =Aq/m
Можно найти двумя способами:
кзан—число занятых каанлов—СВ . зан=М(кзан)=
зан=A/m 5. незан=n—зан 7. Степень загруженности каналов s=зан/n
Многоканальная СМО с ограниченным числом мест в очереди.
СМО—система, предназначенная для обслуживания какого-то потока поступающих на вход в систему заявок. Система характеризуется наличием того или иного числа каналов обслуживания. Если в системе несколько каналов, то мы считаем эти каналы равноправными, и они имеют одинаковые хар-ки (среднее число заявок, обслуж. 1-им каналом при непрерывной работе за единицу времени—одно и то же для всех каналов). Пусть дана сис-ма с простейшим потоком, инт-ть которогоl, один канал в среднем может обслужить mзаявок в единицу времени. Пусть в сис-ме имеется m мест для постановки заявок в очередь. Предположим, что заявка, заставшая в момент своего поступления один канал свободным, тут же обслуж. Если же в момент поступления заявки все каналы заняты, но имеется хотя бы одно свободное место в очереди, то заявка становится в очередь на обслуживание, при этом как только один из каналов освобождается, одна заявка из очереди поступает на обслуживание. Если заявка, поступившая в систему, застает занятыми все каналы и места в очереди, то она получает отказ в обслуживании и покидает систему. Возможные состояния системы: S0—заявок нет S1—одна заявка, n-1 канал свободен, все места в очереди свободны Sn—n заявок, все каналы заняты, все места в очереди свободны Sn+1—все каналы заняты, 1 заявка в очереди, m-1 мест в очереди свободны Sn+m—все каналы заняты, m мест (все) в очереди заняты. Предельные вероятности состояний:
Р0=(1+
1. Ротказа=Рn+m==
2. Относительная пропускная сп-ть q=1—Pn+m 3. Абсолютная пропускная сп-ть A=lq 4. Среднее число заявок в очереди
5... 6.
Многоканальная СМО с неограниченным числом мест в очереди.
Многоканальная СМО с отказами.
СМО—система, предназначенная для обслуживания какого-то потока поступающих на вход в систему заявок. Система характеризуется наличием того или иного числа каналов обслуживания.
Если в системе несколько каналов, то мы считаем эти каналы равноправными, и они имеют одинаковые хар-ки (среднее число заявок, обслуж. 1-им каналом при непрерывной работе за единицу времени—одно и то же для всех каналов). Пусть число мест в очереди не ограничено. Хар-ки этой СМО получим из характеристик СМО с ограниченным количеством мест в очереди, предполагая, что m—>Ґ. Тогда в выражении для Р0 имеем
Р0==
При m —>Ґ е1+e+e2+.... +em-1 сходится только в том случае, если 0=1 сумма расходится, т. е. для этой СМО процесс не является транзитивным. Следовательно, предельные вер-ти состояний не существенны.
Будем считать, что при m—>Ґ, e
Ротказа=0
q=1 каждая заявка будет обслужена
.
Среднее время ожидания . 6. A=lq=l. 7.
