Вопросы по курсу "МАТЕМАТИКА" для студентов 2 курса дневного отделения - (шпаргалка)
p>С. В. Х имеет геометрическое распределение, если Pm=P{X=m}=q*m p, m=0, 1, 2, …, 0Определение непрерывной С. В. Плотность распределения и ее свойства. С. В. Х называется непрерывной, если существует неотрицательная функция рх(х) такая, что при любых х функцию распределения Fx(x) можно представить в виде: Fx(x)=интеграл от–бесконечности до х px(y)dy. Рассматривают только такие С. В. , для которых рх(х) непрерывна всюду, кроме, может быть, конечного числа точек. Плотностью распределения вероятностей непрерывной С. В. называют первую производную от функции распределения: f(x)=F’(x). Вероятность того, что Н. С. В. Х примет значение, принадлежащее интервалу (а, b), определяется равенством P(a=0. 2) Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от–бесконечности до бесконечности равен единице: интеграл от –бесконечности до бесконечности f(x)dx=1.
Математическое ожидание Н. С. В. и его свойства.
Мат. ожидание Н. С. В. Х, возможные значения которой принадлежат всей оси ОХ, определяется равенством: М(Х)=интеграл от–бесконечности до бесконечности хf(x)dx, где f(x) - плотность распределения С. В. Х. Предполагается, что интеграл сходится абсолютно. В частности, если все возможные значения принадлежат интервалу (а, b), то М(Х)=интеграл от а до b xf(x)dx. Все свойства мат. ожидания, указаны выше, для Д. С. В. Они сохраняются и для Н. С. В.
Дисперсия Н. С. В. и ее свойства.
Дисперсия Н. С. В. Х, возможные значения которой принадлежат всей оси ОХ, определяется равенством: D(X)=интеграл от–бесконечности до бесконечности [x-M(X)]*2f(x)dx, или равносильным равенством: D(X)=интеграл от –бесконечности до бесконечности x*2f(x)dx –[M(X)]*2. В частности, если все возможные значения х принадлежат интервалу (a, b), то D(X)=интервал от а до b [x– M(X)]*2f(x)dx, или D(X)=интеграл от a до b x*2f(x)dx – [M(X)]*2. Все свойства дисперсии Д. С. В. сохраняются и для Н. С. В.
Равномерный закон распределения.
Равномерным называют распределение вероятностей Н. С. В. Х, если на интервале (а, b), которому принадлежат все возможные значения Х, плотность сохраняет постоянное значение, а именно f(x)=1/(b-a); вне этого интервала f(x)=0. Нетрудно убедиться, что интеграл от –бесконечности до бесконечности р(х)dx=1. Для С. В. , имеющей равномерное распределение , вероятность того, что С. В. примет значения из заданного интервала (х, х+дельта) прин. [a, b], не зависит от положения этого интервала на числовой оси и пропорциональна длине этого интервала дельта: P{xb.
Показательный закон распределения.
Н. С. В. Х, принимающая неотрицательные значения, имеет показательное распределение с параметром лямда, если плотность распределения С. В. при x>=0 равна р(х)=лямда*е в степени - лямда*х и при x0.
Нормальный закон распределения.
Н. С. В. Х имеет нормальное распределение вероятностей с параметром а и сигма>0, если ее плотность распределения имеет вид: р(х)=1/(корень квадратный из 2пи *сигма) * е в степени–1/2*(x-a/сигма)*2. Если Х имеет нормальное распределение, то будем кратко записывать это в виде Х прибл. N(a, сигма). Так как фи(х)=1/(корень из 2пи)*е в степени–х*2/2 –плотность нормального закона распределения с параметрами а=0 и сигма=1, то функция Ф(х)=1/(корень из 2пи)* интеграл от–бесконечности до х е в степени –t*2/2dt, с помощью которой вычисляется вероятность P{a
Функция Лапласа, ее свойства; вероятность попадания в интервал для нормального распределения С. В.
СВ называется нормально распределенной, если ее плотность распределения имеет вид
f(x)=(1/sЦ(2p))*e-(x-a)2/2s2; s>0.
Функцией Лапласа называется функция вида(Z=x-a/s)
Ф(Х)= . Аргумент—переменная верхнего предела.
Св-ва;
Функция Ф(х)—нечетная, т. е. Ф(-х_=-Ф(х)
Функция монотонно возрастает, т. е. х2>x1 следовательно, Ф(х2)>Ф(х1) Ф(х2)=—> Ф(х2)>Ф(х1)
3. Ф(+Ґ)=0, 5. Доказательство.
Ф(Ґ)=
Ф-ция Ф(Х) возрастает и стремится к 0, 5.
Вероятность попадания в интервал для НРСВ.
Пусть x—НРСВ с пар. а и s(s>0).
Неравенство Чебышева.
Если известна дисперсия С. В. , то с ее помощью можно оценить вероятность отклонения этой величины на заданное значение от своего мат. ожидания, причем оценка вероятности отклонения зависит лишь от дисперсии. Соответствующую оценку вероятности дает неравенство Чебышева. Неравенство Чебышева является частным случаем более общего неравенства, позволяющего оценить вероятность события, состоящего в том, что С. В. Х превзойдет по модулю произвольное число t>0. PX– MX
Теоремы Маркова и Чебышева.
Теорема Чебышева. Если последовательность попарно независимых С. В. Х1, Х2, Х3, …, Xn, … имеет конечные мат. ожидания и дисперсии этих величин равномерно ограничены (не превышают постоянного числа С), то среднее арифметическое С. В. сходится по вероятности к среднему арифметическому их мат. ожиданий, т. е. если эпселен–любое положительное число, то: lim при n стремящемся к бесконечности P(|1/n сумма по i от 1 до n Xi–1/n сумма по i от 1 до n M(Xi)|=1. Учитывая это неравенство получаем: P=сумма по i: |xi|>=t pi =t |xi|/t pi=t |xi|/t pi+сумма по i: |xi|=t, равна сумме интегралов от плотности вероятности по промежуткам (-бесконечность, -t) и (t, бесконечность). На этих промежутках |x|/t*t>=1. Так как |x|/t*p(x)>=0, то интеграл от–t до t по |x|/t*p(x)dx>=0. Воспользовавшись формулой M|X|=интеграл от –бесконечности до бесконечности |x| p(x) dx, в результате преобразований получаем неравенство Маркова.
Центральная предельная теорема, следствия (теорема Муавра-Лапласа). Локальная теорема Лапласа. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р(0
Двумерная С. В. Двумерная функция распределения и ее свойства. Двумерной называют С. В. (Х, Y), возможные значения которой есть пары чисел (x, y). Составляющие Х и Y, рассматриваемые одновременно, образуют систему двух С. В. Дискретной называют двумерную величину, составляющие которой дискретны. Непрерывной называют двумерную величину, составляющие которой непрерывны. Законом распределения Д. С. В. называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями. Функция распределения вероятностей Д. С. В. называют функцию F(X, Y), определяющую для каждой пары чисел (х, y) вероятность того, что Х примет значение, меньшее х, при этом Y примет значение, меньшее y: F(x, y)=P(X=F(x1, y), если х2>x1. F(x, y2)>=F(x, y1), если y2>y1. 3) Имеют место предельные соотношения: 1) F(-бесконечность, у)=0, 2) F(x, -бесконечность)=0, 3) F(-бесконечность, -бесконечность)=0, 4) F(бесконечность, бесконечность)=1. 4) а) при у=бесконечность функция распределения системы становится функцией распределения составляющей Х: F(x, бесконечность)=F1(x). Б) при х=бесконечность функция распределения системы становится функцией распределения составляющей У: F(бесконечность, у)=F2(y).
Условные и безусловные законы распределения компонент двумерной С. В. Условные. 1) Для дискретной двумерной С. В. Пусть составляющие X и Y дискретны и имеют соответственно следующие возможные значения: x1, x2, …, xn; y1, y2, …, ym. Условным распределением составляющей Х при Y=yj (j сохраняет одно и то же значение при всех возможных значениях Х) называют совокупность условных вероятностей p(x1|yj), p(x2|yj), …, p(xn|yj). Аналогично определяется условное распределение Y. Условные вероятности составляющих Х и Y вычисляют соответственно по формулам: p(xj|yi)=p(xi, yj)/p(yj), p(yj|xi)=p(xi, yj)/p(xi).
Корреляционный момент, коэффициент корреляции.
Корреляционным моментом СВ x и h называется мат. ожидание произведения отклонений этих СВ. mxh=М((x—М(x))*(h—М(h))) Для вычисления корреляционного момента может быть использована формула: mxh=М(x*h)—М(x)*М(h) Доказательство: По определению mxh=М((x—М(x))*(h—М(h))) По свойству мат. ожидания mxh=М(xh—М(h)—hМ(x)+М(x)*М(h))=М(xh)—М(h)*М(x)—М(x)*М(h)+М(x)*М(h)=М(xh)—М(x)*(h) Предполагая, что x и h независимые СВ, тогда mxh=М(xh)—М(x)*М(h)=М(x)*М(h)—М(x)*М(h)=0; mxh=0. Можно доказать, что если корреляционный момент=0, то СВ могут быть как зависимыми, так и независимыми. Еслиmxh не равен 0, то СВ x и h зависимы. Если СВ x и hзависимы, то корреляционный момент может быть равным 0 и не равным 0. Можно показать, что корреляционный момент характеризует степень линейной зависимости между составляющимиx и h. При этом корреляционный момент зависит от размерности самих СВ. Чтобы сделать характеристику линейной связиx и h независимой от размерностей СВ x и h, вводится коэффициент корреляции: Кxh=mxh/s(x)*s(h) Коэффициент корреляции не зависит от разностей СВ x и h и только показывает степень линейной зависимости между x и h, обусловленную только вероятностными свойствами x и h. Коэффициент корреляции определяет наклон прямой на графике в системе координат (x, h) Свойства коэффициента корреляции.
-1
Если Кxh =±1, то линейная зависимость между x и h и они не СВ. Кxh>0, то с ростом одной составляющей, вторая также в среднем растет. Кxh
Доказательство.
D(x±h)=M((x±h)2)—M2(x±h)=M(x2±2xh+h2)—(M(x)±M(h))2=M(x2)±2M(xh)+M(h2)—+M2(x)+2M(x)*M(h)—M2(h)=D(x)+D(h)±2(M(xh))—M(x)*M(h)=D(x)+D(h)±2mxh
Предмет математической статистики. Генеральная совокупность и выборка. Мат. статистика опирается на теорию вероятностей, и ее цель –оценить характеристики генеральной совокупности по выборочным данным. Генеральной совокупностью называется вероятностное пространство {омега, S, P} (т. е. пространство элементарных событий омега с заданным на нем полем событий S и вероятностями Р) и определенная на этом пространстве С. В. Х. Случайной выборкой или просто выборкой объема n называется последовательность Х1, Х2, …, Xn, n независимых одинаково распределенных С. В. , распределение каждой из которых совпадает с распределением исследуемой С. В. Х. Иными словами, случайная выборка–это результат n последовательных и независимых наблюдений над С. В. Х, представляющей генеральную совокупность.
Выборочное оценивание функции распределения и гистограмма.
