Вопросы по курсу "МАТЕМАТИКА" для студентов 2 курса дневного отделения - (шпаргалка)
p>Наиболее полная характеристика С. В. – это ее Ф. Р. Пусть х1, х2, …, xn –выборка из генеральной совокупности, представленной С. В. Х. Рассмотрим, как оценить Ф. Р. F(x) этой С. В. , о которой известно только, что она непрерывна. Чтобы построить оценку F^n(x) Ф. Р. F(x), обычно располагают наблюдения xi в порядке их возрастания, т. е. находят вначале X*1=minXi, затем следующее по величине наблюдаемое значение и т. д. ; если есть одинаковые значения, то их расположение не играет никакой роли. Последовательность неубывающих величин Х*1Точечные оценки числовых характеристик. Основные определения. Метод моментов. Статистической оценкой K * неизвестного параметра Kтеоретического распределения называют функцию f(X1, X2, …, Xn) от наблюдаемых С. В. X1, X2, …, Xn. Точечной называют статистическую оценку, которая определяется одним числомK *=f(x1, x2, …, xn), где х1, х2, …, xn –результаты n наблюдений над количественным признаком Х (выборка). Несмещенной называют точечную оценку, мат. ожидание которой равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки. Смещенной называют точечную оценку, мат. ожидание которой не равно оцениваемому параметру. Несмещенной оценкой генеральной средней (мат. ожидания) служит выборочная средняя: Хв=(сумма по i от 1 до k nixi)/n, где xi– варианта выборки, ni – частота варианты xi, n=сумма по i от 1 до k ni – объем выборки. Смещенной оценкой генеральной дисперсии служит выборочная дисперсия: Dв=(сумма по i от 1 до k ni(Хi-Xв)*2)/n. Несмещенной оценкой генеральной дисперсии служит исправленная выборочная дисперсия: s*2=n/n-1*Dв=сумма ni(xj – Xв)*2/n-1. Метод моментов точечной оценки неизвестных параметров заданного распределения состоит в приравнивании теоретических моментов соответствующим эмпирическим моментам того же порядка. Если распределение определяется одним параметром, то для его отыскания приравнивают один теоретический момент одному эмпирическому моменту того же порядка. Например, можно приравнять начальный теоретический момент первого порядка начальному эмпирическому моменту первого порядка: v1=M1. Учитывая, что v1=M(X) и М1=Хв, получим М(Х)=Хв. Если распределение определяется двумя параметрами, то приравнивают два теоретических момента двум соответствующим эмпирическим моментам того же порядка. Учитывая, что v1=M(X), M1=Хв, мю=D(X), m2=Dв, имеем систему: М(Х)=Хв, D(X)=Dв.
Метод наибольшего правдоподобия.
Метод наибольшего правдоподобия точечной оценки неизвестных параметров заданного распределения сводится к отысканию максимума функции одного или нескольких оцениваемых параметров. Д. С. В. Пусть Х –Д. С. В. , которая в результате n опытов приняла возможные значения х1, х2, …, xn. Допустим, что вид закона распределения величины Х задан, но неизвестен параметрK, которым определяется этот закон; требуется найти его точечную оценку K*=K(x1, x2, …, xn). Обозначим вероятность того, что в результате испытания величина Х примет значение xi через р(xi; K). Функцией правдоподобия Д. С. В. Х называют функцию аргумента K: L (x1, x2, …, xn; K)=p(x1; K)*p(x2; K)…p(xn; K). Оценкой наибольшего правдоподобия параметра K называют такое его значение K*, при котором функция правдоподобия достигает максимума. Функции L и lnL достигают максимума при одном и том же значенииK, поэтому вместо отыскания максимума функции L ищут, что удобнее, максимум функции lnL. Н. С. В. Пусть Х–Н. С. В. , которая в результате n испытаний приняла значения х1, х2, …, xn. Допустим, что вид плотности распределения– функции f(x) – задан, но неизвестен параметр K, которым определяется эта функция. Функцией правдоподобия Н. С. В. Х называют функцию аргументаK: L(x1, x2, …, xn; K)=f(x1; K)*f(x2; K)…f(xn; K).
Интервальные оценки числовых характеристик. Доверительный интервал. Основные определения.
Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами – концами интервала, покрывающего оцениваемый параметр. Доверительный интервал –это интервал, который с заданной надежностью гамма покрывает заданный параметр. 1. Интервальной оценкой с надежностью гамма мат. ожидания а нормально распределенного количественного признака Х по выборочной средней Хв при известном среднем квадратическом отклонении сигма генеральной совокупности служит доверительный интервал: Хв–t(сигма/корень из n)1. 3. Интервальной оценкой ( с надежностью гамма) неизвестной вероятности р биномиального распределения по относительной частоте w служит доверительный интервал ( с приближенными концами р1 и р2).
Доверительный интервал для мат. ожидания при известной дисперсии. K^=X=1/n сумма по i от 1 до n Xi является наилучшей несмещенной оценкой для мат. ожидания МХ=K нормального распределения f(x, K)=1/(корень из 2пи сигма в квадрате)*е –(х-K)*2/(2сигма в квадрате) по выборке объема n. Пусть дисперсия Хi Dxi=сигма в квадрате известна, где сигма в квадрате–некоторое конкретное число. Предполагается, что для нормально распределенного признакаx, дисперсия которого известна равна s2. По выборке объема n получены выборочные значения x1, x2, .... , xn. Требуется получить интервальную оценку неизвестного нам математического ожидания этого признака. M |x| > a заданной надежности j. Сначала рассчитываем точечную оценку математического ожидания:
; Будем считать, что x1, x2, .... , xn разные СВ, но распределенные по одному и тому же закону и математическое ожидание.
M(xi) = a; Д(xi) = s2; - значение СВ и тогда , тогда
Доказательство несмещенности точечной оценки
Вывод: - нормально распределенная СВ, , , тогда чтобы найти вероятность заданного отклонения P(|a – | < d) = j P(|a – | < d) = 2Ф() = 2Ф(), где ; Ф() =
По таблице для функции Лапласа по значению функции равной находим значение аргумента ; ; Вместо обозначаем . ; P(|a –| < d) = P(-d< a - < d) = P(- d < a < + d) = j (- d; + d) – доверительный интервал.
Проверка гипотез. Ошибки первого и второго рода. Мощность критерия. В статистике рассматриваются гипотезы двух типов:
Параметрические – гипотезы о значении параметра известного распределения; Непараметрические – гипотезы о виде распределения.
Обычно выделяют основную гипотезу – нулевую (H0). Пример: математическое ожидание признака x, который распределен по нормальному закону и дисперсия его известна, а H0: M(x) = a. Предполагаем, что известна дисперсия Конкурирующая гипотеза имеет вид: H1: M(x) № a;
H1: M(x) > a, либо H1: M(x) = a1. Для проверки гипотез используются критерии, и они представляют собой специальным образом подобранные СВ, k– точечный или приближенный закон, который известен.
Обычно предполагается, что если гипотеза Н0 выполняется, то вычисляемая по выборочным данным kнабл. Этого критерия и гипотеза Н0 принимается, если kнабл. О(kкритич. левостор. ; kкритич. правостор. ) Если kнабл. попадает в критическую область (все остальные значения kО(- Ґ ; kкритич. лев. ) И (kкритич. прав. ; Ґ), то гипотеза Н0 отвергается и принимается конкурирующая гипотеза Н1. При этом возможны ошибки двух типов: Первого рода: что гипотеза Н0 отвергается, в то время, как она верна. Вероятность этой ошибки: P(H1/H0) =a - уровень значимости критерия. Критерий подбирается так, чтобы aбыла как можно меньше. Второго рода: что отвергается гипотеза Н1, в то время, как она верна. b = P(H0/H1) Мощностью критерия – (1-b) - вероятность попасть точке-выборке в критическое множество, когда верна конкурирующая гипотеза.
1-b = P(H1/H1)
Проверка гипотезы о равенстве генеральных средних при известных дисперсиях. Признак x и h распределены нормально с известными дисперсиями. Пусть по выборкам x1, x2, .... , xn объема n, h1, h2, .... , hm объема m, получены выборочные средние значения ( ; ). Выдвигается гипотеза о равенстве генеральных средних: H0: M(x) = M(h); При конкурирующей гипотезе: H1: M(x) № M(h); В качестве проверки гипотезы выбираем новую СВ ;
- СВ:
Д(Z)- дисперсия Д((- )/s(-)) =
M(Z) = 0; Д(Z) = 1. Для того, чтобы выбрать Zкр. и при заданном уровне значимостиa, определить принимается или не принимается основная гипотеза, найти вероятности.
P(0 < Z < Zкр. ) + P(Z > Zкр. прав. ) = Ѕ Ф(Zкр. ) + a/2 = Ѕ Ф(Zкр. прав. ) = Ѕ - a/2 Zнабл. =
|Zнабл. | < Zкр. прав. Ю Н0 |Zнабл. | > Zкр. прав. Ю Н0 отвергается.
38. Проверка гипотезы о равенстве генеральных средних при неизвестных дисперсиях.
Пусть x и hнормально распределенные СВ, предполагается, что неизвестны, но равны между собой дисперсии. x1, x2, .... , xn h1, h2, .... , hm
; : Н0: М(x) = М(h) Н1: М(x) № М(h)
Для проверки гипотезы Н0, вводится СВ t, которая представляет собой
Теоретическое обозначение признака; СВ Т распределена по закону Стъюдента, зависит от первого параметра, который называется числом степеней свободы (k). k = n + m –2 (по таблице для распределения Стъюдента при заданном значении k и уровне значимостиaв зависимости от вида альтернативной и конкурирующей гипотезы, находятся либо односторонние tкр. , либо двухсторонние tкр. ).
Ткр. прав. = - Ткр. лев. | Тнабл. | < Ткр. двуст. Ю Н0 | Тнабл. | > Ткр. двуст. Ю Н0 отвергается.
42. Марковские случайные процессы. Размеченный граф состояний. Предположим, что дана система S. Предп. , что состояние этой сис-мы хар-ся параметрами состояний. Если состояние системы меняется во времени случайно, то говорят, что в сис-ме протекает случайный процесс. Сис-ма—аудитория. Для хар-ки состояния используется параметр—число студентов, тогда эта система с дискретными состояниями. Будем рассматривать системы с дискретными состояниями и непрерывным t: сис-ма мгновенно в произвольные сегменты t скачками меняет состояние. Если параметр t принимает дискретные значения (t=1, 2, 3, ....), то происходит процесс с дискретным временем (случайная последовательность), если же t изменяется на некотором интервале, то процесс с непрерывным временем. Если случайные величины семейства принимают дискретные значения, то имеет место процесс с дискретными значениями, если же непрерывное, то с непрерывными значениями. Предположим, что рассматривается система с дискретными состояниями и непрерывным t. Пусть S1, S2, ...., Sn—возможные состояния сис-мы. Для описания процесса, происх. в сис-ме, надо знать вер-ти каждого состояния на произвольный момент t. Р1(t)—вер-ть того, что в момент t сис-ма находится в 1-ом состоянии. Процесс, протекающий в системе, наз. марковским, если для него вероятность попасть в состояние Xi=Si в момент ti зависит не от всего прошлого, а лишь от состояния Xi-1=Si, в котором процесс был в предыдущий момент времени ti-1. Графом называется совокупность вершин и дуг, соединяющих эти вершины. Для описания процесса, протекающего в системе, удобно использовать размеченный граф состояний, в котором в кач-ве вершин исп-ся различные состояния системы, а в кач-ве дуг—стрелки, показ. возможные переходы за 1 шаг из состояния в состояние. При этом над каждой стрелкой указ. Плотность вероятности соответствующего перехода.
