Теория цепных дробей - (реферат)
p>4. Найдите первые четыре подходящие дроби разложения в цепную дробь числа =3, 14159265… ; =; =; =Ответ: ; ; ; .
5. Преобразуйте в обыкновенную дробь следующие цепные дроби: a) (2, 1, 1, 2, 1, 6, 2, 5); b) (2, 3, 1, 6, 4); c) (1, 3, 2, 4, 3, 1, 1, 1, 5); d) (0, 3, 1, 2, 7).
Решение: a) (2, 1, 1, 2, 1, 6, 2, 5)=
Составим таблицу подходящих дробей:
2
1
1
2
1
6
2
5
2
3
5
13
18
121
260
1421
1
1
2
5
7
47
101
552
Ответ: =
b) (2, 3, 1, 6, 4)=
2
3
1
6
4
2
7
9
61
253
1
3
4
27
112
Ответ: =
c) (1, 3, 2, 4, 3, 1, 1, 1, 5)
1
3
2
4
3
1
1
1
5
1
4
9
40
129
169
298
467
2633
1
3
7
31
100
131
231
362
2041
Ответ: =
d) (0, 3, 1, 2, 7)=
0
3
1
2
7
0
1
1
3
22
1
3
4
11
81
Ответ: =
6. Разложить в цепную дробь и заменить подходящей дробью с точностью до 0, 001 следующие числа: a) ; b) ; c) ; d) .
Решение: a) =. Выделим из его целую часть: , а дробную часть -2, которая
;
.
Мы получили, что , следовательно, неполные частные, начиная с будут повторяться и =(2, (4)). Составим таблицу подходящих дробей:
2
4
4
4
…
2
9
38
1
4
17
72
Нам необходимо найти такую подходящую дробь , чтобы . Очевидно, что это , так как 17·72>1000. Ответ: .
b) =; =5
;
;
;
;
;
.
Мы получили неполные частные, начиная с будут повторяться и =(5, (1, 1, 1, 10)).
5
1
1
1
10
1
…
5
6
11
17
181
198
1
1
2
3
32
35
, так как 32·35>1000. Ответ: .
c) =(3, 2, 5, 2, 7, 2);
3
2
5
2
7
2
3
7
38
83
619
1321
1
2
11
24
179
382
, так как 24·179>1000.
Ответ: .
d) =; =1
;
;
;
=((1, 2))
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
3
4
11
15
41
56
153
1
2
3
8
11
30
41
102
, так как 30·41>1000.
Ответ: .
7. Найти действительные числа, которые обращаются в данные цепные дроби: a) (4, (3, 2, 1)); b) ((2, 1))
Решение:
a) (4, (3, 2, 1)) - смешанная периодическая дробь.
, то есть , где
x=((3, 2, 1)) - чисто периодическая цепная дробь. Так как выражение, начинающееся с четвертого неполного частного 3, имеет тот же вид:
, то мы можем записать x=(3, 2, 1, x)= =, после чего приходим к квадратному уравнению относительно x:
D=64+12·7=148 .
Положительное решение и есть x... Найдем .
=4+=
Ответ: .
b) ((2, 1))=
=(2, 1, )
Сейчас мы можем найти таким же путем, как и в задаче a), но можно решить задачу легче. Составим таблицу подходящих дробей:
2
1
2
3
3+2
1
1
+1
=
D=4+4·2=12
Положительное решение и есть искомое .
Ответ: .
8. Решить в целых числах уравнения:
a) 143x+169y=5; b) 2x+5y=7; c) 23x+49y=53.
Решение:
a) 143x+169y=5 - диофантово уравнение.
(143, 169)=13(НОД находим с помощью алгоритма Евклида)
уравнение решений не имеет.
Ответ: .
b) 2x+5y=7
(2, 5)=1 уравнение имеет решение в целых числах.
Разложим в цепную дробь. =(0, 2, 2). Составим все подходящие дроби. ; ; На основании свойства подходящих дробей получим
2·2-1·5 =(-1)3 или 2·2+5(-1)=-1
2·(-14)+5·7=7, то есть – частное решение.
Все решения могут быть найдены по формулам
или
c) 23x+49y=53
(23, 49)=1 существуют целые решения.
=(0, 2, 7, 1, 2)
, , , ,
17·23-8·49=(-1)5
23·17+49·(-8)=-1
23·(-901)+49·424=53
или
9. Разложите число 150 на два положительных слагаемых, одно из которых кратно 11, а второе – 17.
Решение: Пусть 11x – первое число 11x>0 x>0; 17y - второе число 17y>0 y>0. Тогда 11x+17y=150
(11, 17)=1существуют решения.
(11, 17)=(0, 1, 1, 1, 5)
0
1
1
1
5
0
1
1
2
11
1
1
2
3
17
11·3-2·17=(-1)5=–1
11·3+17·(-2)=-1
11·(-450)+17·300=150
x=-450+27·17=999 - первое число
y=300-11·27=351 - второе число.
Ответ: 99; 51.
10. Решить уравнения Пелля:
a) b)
Решение:
a)
Представим в виде цепной дроби:
=(5, (10)).
Количество чисел в периоде нечетное (одна) =(5; 10)=.
- наименьшее положительное решение.
Ответ: x=51, y=10.
b)
