Теория цепных дробей - (реферат)
p>Рациональную дробь называют наилучшим приближением действительного , если любая более близкая к рациональная дробь имеет больший знаменатель, чем , то есть если из следует d>b. Таким образом, подходящие дроби являются наилучшими приближениями, например, Архимедово число для является наилучшим приближением. Ранее мы доказали, что для оценки погрешности , возникающей при замене любого действительного его подходящей дробью , можно пользоваться неравенством . Выразим этот результат по отношению к действительному иррациональному , имеющим бесконечное множество подходящих дробей, следующим образом: для любого действительного иррационального существует при c=1 бесконечное множество несократимых дробей таких, что (1). Такими дробями являются, например, все подходящие дроби для . Возникает вопрос: При каких меньших значениях c (чем c=1) существует для любого действительного иррационального бесконечное множество (несократимых) рациональных приближений , погрешность которых .Теорема: Для любого действительного иррационального числа существует при бесконечное множество несократимых рациональных дробей таких, что (). Такими рациональными дробями могут быть только подходящие дроби к . Доказательство: Докажем первую часть теоремы. Рассмотрим две последующие подходящие дроби к и . Допустим, что ни одна из этих дробей не удовлетворяет неравенству (). Тогда имеем: , . Отсюда . Но так как лежит между и , то , вследствие чего , или , а это для k>1 невозможно. Мы пришли к противоречию, значит наше допущение неверно, а верно то, что требуется доказать. Для доказательства второй части теоремы докажем достаточный признак подходящей дроби к действительному числу : если , где Q>0, несократимая дробь и для действительного имеет место неравенство (), то является подходящей дробью к . Доказательство: Покажем, что если =()= ( удовлетворяет условию теоремы) подходящая дробь к , то соответствующее остаточное число разложения данного в цепную дробь окажется >1. Действительно, , откуда следует , так как . Теорема доказана полностью.
Достаточный признак подходящей дроби не является ее необходимым признаком; могут существовать подходящие дроби для , которые ему не удовлетворяют. Крайнюю возможность уменьшения c в указанном раньше смысле выражает теорема Гурвица-Бореля: Теорема: Для любого действительного иррационального числа существует при бесконечное множество несократимых рациональных дробей таких, что выполняется неравенство (1), то есть неравенство , ()
если же , то существуют такие действительные иррациональные , для которых неравенство (1) имеет не более конечного числа рациональных решений . Доказательство: Докажем первую часть. Разложим в цепную дробь. Мы докажем, что из трех любых соседних подходящих дробей , i=k, k+1, k+2 по крайней мере одна удовлетворяет условию . Доказательство этого утверждения будем вести методом от противного. Предположим, что для каких-либо трех соседних подходящих дробей выполняются неравенства: , , (2)
и расположены по разные стороны от и поэтому при нечетном k из (2) следует ,
а при четном: , так что и в том, и в другом случае имеем:
, или, умножая на и перенося все члены в одну сторону , то есть , , или, поскольку и целые, . (3) Так как и также расположены по разные стороны от , из (2) аналогично получаем: . (4) Пользуясь еще тем, что из (3) и (4) получаем:
.
Предположение, что выполнены все три неравенства (2), привело нас к противоречию, поэтому по крайней мере для одной из трех подходящих дробей , , , взятой в качестве , должно выполняться неравенство (). Придавая k различные значения, получим бесконечное множество дробей, удовлетворяющих неравенству (). Докажем вторую часть.
Предположим, что при , неравенство (1) удовлетворяется для бесконечного множества рациональных чисел . Тогда для каждой такой дроби неравенства , откуда, подставляя значение , получаем , а возводя в квадрат, получаем: . Так как , то при достаточно большом Q будем иметь: и, следовательно, целое число , =, что при целых P и Q не может иметь места. Полученное противоречие показывает, что неравенство (1) может иметь место только для конечного числа рациональных чисел . Теорема доказана полностью. Эта теорема была опубликована Гурвицем в 1891 году. Тот факт, что из трех соседних подходящих дробей по крайней мере одна даст приближение вида , был доказан Борелем в 1903 году. Последним теоремам можно дать и другое очень важное истолкование. Рассмотрим для этого уравнение , где – любое действительное иррациональное число. Исключая тривиальное решение x=y=0, это уравнение не может иметь решение в целых числах. Однако можно поставить задачу о приближенном его решении в целых числах, то есть о нахождении таких пар чисел x(x>0) и y, чтобы: или .
Теорема Гурвица-Бореля показывает, что для всегда существует бесконечное множество таких пар; если же , то существуют такие действительные числа, для которых таких пар имеется лишь конечное множество. Новая точка зрения получает в содружестве с методом Дирихле весьма значительное применение в теории диофантовых приближений.
§ 3. Квадратические иррациональности и периодические цепные дроби. Рациональные числа представляют собой корни уравнений первой степени вида с целыми коэффициентами. Во множестве иррациональных чисел наиболее простыми являются те иррациональности, которые являются корнями квадратных уравнений с целыми коэффициентами; такие числа будем называть квадратическими иррациональностями. Число называется квадратической иррациональностью, если – иррациональный корень некоторого уравнения (1) с целыми коэффициентами, не равными одновременно нулю. При таком , очевидно, будет a0, c0. Коэффициенты a, b, c уравнения (1), очевидно, можно взять взаимно простыми; в этом случае дискриминант этого уравнения будем называть также дискриминантом . Корни уравнения (1) равны и , так что любую квадратическую иррациональность можно представить в виде , где P, Q – целые, а D (D>1) – целое неквадратное число. Второй корень уравнения (1) будем называть иррациональностью, сопряженной с . В определении квадратической иррациональности особенно важно обратить внимание на то, что речь идет о квадратных уравнениях с целыми коэффициентами. Любое является корнем квадратного уравнения и даже уравнения первой степени, например уравнений , x-=0.
Примеры:
– квадратическая иррациональность, так как является иррациональным корнем уравнения . – квадратическая иррациональность, так как представляет собой иррациональный корень уравнения . Здесь P=–1, Q=–3, D=5. не является квадратической иррациональностью.
Действительно, корень любого квадратного уравнения с целыми коэффициентами имеет вид , где P, Q, D, причем D>1. Если бы мы имели =, то, возводя это равенство в куб, мы получили бы, что – рациональное число, а следовательно, рациональным являлся бы и , а это не так. Теорема: Всякая периодическая непрерывная дробь изображает квадратическую иррациональность. Доказательство: Пусть – смешанная периодическая цепная дробь, то есть , где – чисто периодическая цепная дробь. Обозначим подходящие дроби к и соответственно через и .
Так как , то, согласно формуле (5) из 1. 1 этой главы, . Выполнив необходимые преобразования, получаем: . Из этой формулы видно, что удовлетворяет квадратному уравнению с целыми коэффициентами. Кроме того, - число иррациональное, так как оно представляет бесконечную непрерывную дробь. Таким образом, - квадратическая иррациональность. Но по той же формуле , поэтому и является, очевидно, квадратической иррациональностью, что и требовалось доказать. Докажем обратную теорему, которая носит имя Лагранжа.
Теорема Лагранжа: Всякая действительная квадратическая иррациональность изображается периодической непрерывной дробью. Доказательство: Пусть – действительный иррациональный корень квадратного уравнения (1) с целыми коэффициентами a, b, c. При разложении в непрерывную дробь получаем (2), где – остаток порядка k+1. Подставляя выражение из (2) в (1), получаем
(3), где
(4)
Отсюда, во-первых, видно, что (5), во-вторых, можно непосредственным вычислением установить, что (6). Таким образом, дискриминант уравнения (3) такой же, как и дискриминант уравнения (1), откуда следует, что он от k не зависит. Идея доказательства в дальнейшем заключается в том, чтобы показать, что при данном коэффициенты , , ограничены по модулю. Если этот факт на самом деле имел бы место, то это означало бы, что коэффициенты, будучи целыми числами, могут принимать только конечное число различных значений. Вместе с тем и число возможных уравнений (3) было бы конечным, хотя k пробегает бесконечное множество значений. Но в таком случае и остатки (которые определяются из (3)), число которых бесконечно, могли бы принять только конечное число различных значений. Поэтому должны были бы существовать остатки с одинаковыми значениями, а это уже означает, что непрерывная дробь – периодическая. Итак, докажем, что , и ограничены по абсолютной величине. Достаточно сделать это для , так как в силу соотношения (5), из ограниченности уже как следствие вытекает ограниченность , а в силу (6) – ограниченность . Как известно из свойств подходящих дробей, или , где , откуда . Поэтому из первого равенства (4) имеем
Так как , то
,
то есть и , а это и доказывает ограниченность .
Этим и завершается доказательство теоремы Лагранжа.
Отметим без доказательства следующие свойства разложений квадратических иррациональностей: при разложении квадратного корня и целого положительного числа, не являющегося полным квадратом, период начинается со второго звена; чисто периодическая цепная дробь получается тогда и только тогда, когда квадратическая иррациональность больше 1, а сопряженная иррациональность лежит в интервале (-1; 0) (это свойство было доказано Э. Галуа в 1828 году. Он доказал также, что в случае чисто периодического разложения сопряженная квадратическая иррациональность имеет те же элементы, но расположенные в обратном порядке).
Примеры:
