Шпаргалки по математическому анализу для 1-го семестра в МАИ - (шпаргалка)
p>#39 Асимптоты: Пусть кривая задана ур-нием y=f(x) где х>A=const и ф-ция f(x) –непрерывна при всех x>A. Пусь прямая L: задана ур-нием : y=ax+b. Если расстояние от точки А (x, f(x)) до прямой L стремиться к 0 при неограниченном возрастании х, то прямая называется асимптотой кривой гаммы соответсвующей х®+Ґ Аналогично при х®-Ґ{}Найдём расстояние до пр L r(x)=|f(x)-ax-b|/Ц(1+aІ) Т. к. прямая L –является асимптотой то limx®+Ґr(x)=0Ю limx®+Ґ(f(x)-ax-b)=0Ю limx®+Ґ(f(x)/x-a-b/x)=0Ю limx®+Ґ(f(x)/x-a)=0Ю a= limx®+Ґf(x)/x ; b= limx®+Ґ(f(x)-ax). Для отыскания асимтоты необходимо вычислить limx®+Ґf(x)/x если этот lim несущ то асимтоты соответсвующей к стремлению х®+Ґ нет. Если этот предел существует и = а то находим b тогда y=ax+b –является асимтотой. {}Пусть функ-ции y=f(x) определена возможно в односторонней окрестности т. х0 и если для этой ф-ции выполняется хотябы одно из равенств limx®х0-0f(x)=Ґ limx®х0+0f(x)=Ґ то прямая х=х0 называется вертикальной асимптотой. #40 {O} Ф-ция F(x) называется первообразной для ф-ции f(x) на промежутке Х если эта ф-ция Дифференцирунма на этом промежутке и во всех точках промежутка выполняется равенство F’(x)=f(x) {T} Для того чтобы две дифференцируемые ф-ци F(x) и j(x) были первообразными для одной и той же ф-ции f(x) необходимо и достаточно чтобы они отличались на const {Док-во}Пусть F(x)– первообразная для f(x) тогда тогда F’(x)=f(x) Ю(F(x)+c)’=F’(x)=f(x)ЮF(x)+c-первообразная для f(x) Если F(x) и j(x) – первообразные для f(x) то рассмотрим ф-цию y(х)=F(x)-j(x) для неё y’(x)=F’(x)-j’(x)=f(x)-f(x)=0 Пусть х1, x2ОX Юпо теореме Лагранжа y(х2)-y(х1)=y’(c)(x2-x1)=0 т. е y(x2)=y(x1) Юy(x)=c=const {T} Если F1(x) и F2(x)-две первообразные для f(x) на (a, b), то F1(x)-F2(x)=C на (a, b), где C- некоторая постоянная.#41{O}Пусть ф-ция f(x) определено на Х мн-во всех первообразных ф-ции f(x) на пром Х называется неопределённым интегралом и обозначаетсятf(x)dx ; Если F(x)-первообразная для f(x) то тf(x)dx=F(x)+C; {Cв-ва} 1)Если ф-ция F(x) дифференцируема на Х, то тF’(x)dx=F’(x)+C; 2)Если ф-ция f(x) имеет первообразную на Х то для всех точек из этого промежутка d(тf(x)dx)=f(x)dx; 3)Пусть f1 and f2 имеют на промежутке Х первообразную тогда ф-ция f1+f2–также имеет на этом промежутке первообразную и выполнено равенство т(f1(x)+f2(x))dx=тf1(x)dx+тf2(x)dx {д} пусть F1(x)-первообразная для f1(x), F2(x)-первообразная для f2(x), тогда F1(x)+f2(x)-непрерывна для f1(x)+f2(x), т. к. (F1(x)+F2(x))’=F1’(x)+F2’(x)= f1(x)+f2(x); 5)Если F(x) –первооб для f(x), то тf(ax+b)dx=1/aF(ax+b)+C {д} в самом деле [1/aF(ax+b)]’=1/aЧaF’(ax+b)=f(ax+b); #42 Метод замены переменой в неопт: Пусть f(x) определена и непрерывна на соответствующем интервале и х=j(t) –непрерывно дифференцируема ф-ция на некотором интервале изменения t, тогда тf(x)dx=тf(j(t))j’(t)dt+C=тf(j(t))d(j(t))+C-ф-ция интегрирования замены переменной. {Т по частям} Пусть ф-ция U(x), V(x)–дифференцируема на некотором промежутке Х и существует тU(x)V’(x)dx тогда существует интеграл тV(x)ЧU’(x)dx=U(x)ЧV(x)-тU(x)ЧV’(x)dx –ф-ла дифференцирования по частям. {Док-во} Т. к. ф-ция U(x) и V(x) дифференцируемы на промежутке Х то по правилу дифференцирования произведения получим (UЧV)’=U’V+UV’ЮU’V=(UV)’-UV’; Т. к. существует итегралл тUV’dx по условию Если $ т(UV)’dx=UV+C то $тU’Vdx=т(UV)’dx-тUV’dx=UV-тUV’dx+C Ю производную постоянную к тU’Vdx=UV-тUV’dx; Пример тexsinxdx=exsinx-тexcosxdx=|U’(x)=ex V’(x)=sinx|=exsinx-(excosx-тexsinxdx); тexsinxdx=exsinx-excox-тexsinxdx; 2тexsinxdx=exsinx-excosxЮ тexsinxdx=(exsinx-excosx)/2 #43По основной теореме алгебры каждый многочлен степени n имеет n –корней с учётом кратности Pn(z)=A1(z-z1)k1Ч…Ч(z-zs)ks, k1+…+ks=n; Пусть а-корень кр-ти м многочлена Pn(z)ЮPn(z)=(z-a)mЧQn-m(z)Юa-корень кр-ти m многочлена Pn(z); Пусть многочлен Pn(x)- имеет действительный коофицент, тогда Pn(x)єPn(x) xОR По доказанному: Если комплексное число а является многочленом Pn(x) то а является также корнем этого многочлена той же кратности. Т. к. (z-a)(z-a) является многочленом с действительным многочленомЮ Pn(x)=(x-a1)a1Ч…Ч(x-ar)arЧ(x-z1)b1Ч…Ч(x-zs)bsЧ(x-zs)bs=(x-a1)a1Ч…Ч(x-ar)arЧ(xІ+p1x+q1)b1Ч…Ч(xІ+psx+qs)bs; PjІ/4-qj
#44 Ф-цию вида R(x, mЦ(ax+b)/(cx+d) –называют дробно линейной иррациональностью. С помощью замены t=mЦ(ax+b)/(cx+d) рационализируем интеграл. tm=(ax+b)/(cx+d); x=(b-dtm)/(ctm-a) –рациональная ф-ция от t; dx=(mtm-1(ad-bc)dt)/(ctm-a)І Ю тR(x, mЦ(ax+b)/(cx+d))dx=тR((b-dtm)/(ctm-a), t) (mtm-1(ad-bc)dt)/(ctm-a)І=тR1(t)dt. R1(t)-рациональная. {} Вида тR(x, ЦaxІ+bx+c)dx, -квадратичная иррациональность где а, b, c –постоянные числа. Если трёхчлен axІ+bx+c имеет действительные корни х1 х2 то axІ+bx+c=a(x-x1)(x-x2) и R(x, ЦaxІ+bx+c)=R(x, (x-x1)Ц(x-x2)a/(x-x1)=R1(x, Ц(x-x2)/(x-x1) ; поэтому пусть axІ+bx+c не имеет действит корней и а>0. Тогда подстановка (Эйлера) t=Ц(axІ+bx+c) +xЦa ЮaxІ+bx+c=tІ-2xtЦa+axІ; x=(tІ-c)/2t(Цa)+b –рациональная функ-ция от t Ч. Т. Д ; Если а0 (axІ+bx+c)>=0) то можно сделать замену ЦaxІ+bx+c=xt+Цc {}{} #45 Интегрирование выр R(cosx, sinx); Рационализация тR(cosx, sinx)dx достигается подстановкой t=tg(x/2) (-p0 $dE=d(E)>0 | при любом разбиении s мелкости |t|0 | limn®Ґf(xnjo)=Ґ Рассмотрим сумму st=еI=1itf(xI)Dxi=f(xio)Dxjo +еI=1itf(x)Dxi=f(xjo)Dxjo+B Зафиксируем произвольным образом xiО[xi-1, xi] i№jo limst(f, x1, …, x0n, .. ,xit)=lim(f(xjo)Dxjo+B)=Ґ m>0 существует n0 | st(f, x1, …, xjo(n), …, xit)>m Отсюда Ю, что интегральная сумма при мелкости разбеения |t|®0 не могут стремится ни к какому конечному результату. Предположим, что $ I=lim|t|®0stЮ"E>0 $dE>0 | "t, |t|M Юф-ция не может быть не ограничена на отр[a, b]. Ч. Т. Д. #47{O}Для ф-ции y=f(x) определённой в (. ) а положим по определению атa f(x)dx=0, а для ф-ции y=f(x) интегрируемой на отр. [a, b] положим по опред bтaf(x)dx=-aтbf(x)dx {Св-во1} aтbdx=b-a действительно ф-ция f(x)є1 на [a, b] по этому при любом разбиении t и любом выборе (. ) xi f(xi)=1Юst=еi=1itf(xi)Dxi=еi=1itDx1=(x1-x0)+(x2-x1)+(x3-x2)+…+(xit-xt-1)=xit-x0=b-a Ю lim|t|®0st=b-a {Св-во2} Пусть f, g интегрируемы на отр [a, b] , тогда ф-ция f+g также интегрируема на отр[а, b] и имет место равенство: aтb(f(x)+g(x))dx= aтbf(x)dx+ aтbg(x)dx {док} Пусть t={xi} i=it i=o xiО[xi-1, xi] , тогда sE(f+g)=еi=1it(f(xi)+g(xi)Dxi=еiti=1f(xi)Dxi+еiti=1g(xi)Dxi=st(f)+st(g) Т. к. f и g - интегриремы на [a, b] то $lim|t|®0st(f)=aтbf(x)dx; $lim|t|®0st(g)=aтbg(x)dx ; $lim|t|®0st(f+g)=aтbf(x)dx+aтbg(x)dx т. о. ф-ция f+g -интегрируема на отр[a, b] и имеет место равенство aтb(f(x)+g(x))dx=lim|t|®0st(f+g)=aтbf(x)dx+aтbg(x)dx {Св-во №3}Пусть ф-ция y=f(x) интегрируема на отр[a, b] тогда для любого действительного числаl ф-ция lЧf(x) - интегрируема на отр [a, b] и имеет место равенство aтblf(x)dx=laтbf(x)dx {Св-во 4} Пусть a0 ($ M>0 | " xО[a, b] |f(x)|>M) Тогда 1/f(x) - также интегрируема на [a, b] {Св-во} Пусьт f(x) -интегр-ма на [a, b] и"хО[a, b] f(x)і0 тогдаЮ aтbf(x)dxі0
#48 {T о среднем} Пусть 1) f и g интегрируема на [a, b]; 2) m0, а при g(x)Ј0 aтbg(x)dx0. |f(x)|ЈС "xО[a, b]Ю|DF|=|xтx+Dxf(t)dt|ЈСЧ| xтx+Dxdt|=С|Dx| ЮlimDx®0DF=0 Значит А- непрерывна в т. х Ч. Т. Д. {T2} Пусть y=f(x) интегрируема на [a, b] и непрерывна в x0О[a, b] Ю F(x)= aтxf(t)dt дифференцируема в (. ) х0О[a, b] и имеет место равенство F’(x0)=f(x0) {Док-во} Пусть x0+DxО[a, b] DF=F(x0+Dx)-F(x0)= aтx+Dxf(t)dt- aтx0f(t)dt= aтx0f(t)dt+ x0тx+Dxf(t)dt- aтx0f(t)dt= xтx0+Dxf(t)dt |DF/Dt-f(x0)|=|1/Dx|, x0тx0+Dxf(t)dt-f(x0)/Dx=|1/Dx Ч x0тx0+Dx (F(t)-f(x0))dt|Ј1/|Dx|Ч| x0тx0+Dxf(t)-f(x0)dt Т. к. ф-ция f(x) непрерывна в х0 то для любого E>0 $ dt>0 |при|x-x0|
#53 Пусть y=f(x) определна на [a, +Ґ) и интегрмруем на " [a; b] Ю несобственный интеграл по промежутку [a, +Ґ) под ф-ей f(x) обозначен следующий предел aт+Ґf(x)dx=limb®+Ґ aтbf(x)dx. Если указанный предел конечен , то интеграл aт+Ґf(x)dx называется сходящимся, если бесконечен или не существует, то расходящийся. {} Пусть сО[a, +Ґ) Ю aтbf(x)dx= aтcf(x)dx+ cтbf(x)dx {Т} По св-ву пределов aт+Ґf(x)dx cущ Ы когда сущ limb®+Ґ aтbf(x)dx {Док} Существование интеграла (2) эквивалентно существованию предела, что в свою очередь эквивалентно выполнению условия Коши: для любого E > 0 существует b0 где а < b0 < b, такое, что выполняется неравенство |F(b’’)-F(b’) для всех b' и b", удовлетворяющих неравенствам b0 < b' < b" < b. Но F(b’’)-F(b’)=b’тb’’f(x)dx Ютеорема доказана. {O} Несобственным интегралом по промежутку (a; b] от ф-ции f(x) называется следующий пределaтbf(x)dx= limx®a+0 aтbf(x)dx. Если указанный предел конечен то т называется сход, если бесконечен или не сущ то расх. {О} aтсf(x)dx и стbf(x)dx при a0 | aтhf(x)dx1 при k=+Ґ |f(x)/g(x)-k|k/2 Ю g(x)0 на интервале (а, b) найдется точка b0 такая, что если b0 < b' < b" < b, то E> b’тb’’ |f(x)| dxі| b’тb’’ f(x)dx т. е. для интеграла aтbf(x)dx выполняется условие Коши. Так как |aтb’f(x)dx|Ј aтb’ |f(x)| dx то после перехода к пределу при b'®b для абсолютно сходящегося интеграла aтb f(x)dx получим |aтb f(x)dx|Ј aтb |f(x)| dx {Глав зн не соб т}Пусть ф-ция y=f(x) определена на всей числовой прямой и интегрируема на любом конечном отрезке. Главным значением несобственного-Ґт+Ґf(x)dx называется v. p. Ґт+Ґf(x)dx=limh®+Ґ -hт+hf(x)dx; Главное знач совпадает со значением Ґт+Ґпо этому гл. знач имеет смысл рассматривать несобственный интеграл. Пусть ф-ции f(x) интегрируема на отр. [a, c-E], [c+E, b], E>0 Гл. зн. несоб. т наз v. p. aтbf(x)dx=limE®0 (aтC-Ef(x)dx +C+Eтbf(x)dx) #56 {Интегральный признак сходимости рядов} Пусть f(x) – непрерывна, возрастает на [1; +Ґ) Тогда е(n=1, +Ґ)f(n) и 1т+Ґf(x)dx сходятся или расходятся одновременно {Док-во} Т. к. ф-ция непрерывна на полуинтервале [1, +Ґ) то она интегрируема на люблм отрезке [1, h]М[1, +Ґ) Ю т. к. ф-ция не возрастает на [1, +Ґ) то для к=1, 2, 3… f(k)>=f(x)>=f(k+1), при k=kтk+1f(k+1)dx Ю f(k)>= kтk+1f(x)dx>=f(k+1) Ю е(k=1, n)f(k){=Sn}>=е(k=1, n){= 1тn+1f(x)dx} kтk+1f(x)dx>=е(k=1, n)f(k+1) h
3. Предел числовой последовательности. Теорема о единственности предела числовой последовательности. Ограниченность сходящейся последовательности. 4. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их свойства. Свойства пределов, связанные с арифметическими операциями над последовательностями. Переход к пределу в неравенствах.
5. Понятие предела функции. Односторонние пределы. Теорема о единственности преЯсла. Теорема об ограниченности (на некоторой окрестности точкиа функции f(х), имеющей конечный предел при х® а. Бесконечно малые и бесконечно большие функции и их свойства. 6. Связь функции с ее пределом. Арифметические операции над пределами функций. Предельный переход в неравенствах.
7. Теорема о пределе сложной функции.
8. Сравнение функций. Эквивалентные функции. Сравнение бесконечно малых функций.
9. Непрерывность функций в точкеке. Односторонняя непрерывность. Точки разрыва функции их классификация. Теорема о сохранении -знака непрерырывной функции. 10. Свойства непрерывных функций на промежутках. Равномерная непрерывность. 11. Теорема о непрерывности сложной функции.
12. Теорема о непрерывности обратной функции.
13. Непрерывность элементарных функций.
14. Понятие числового ряда. частичные суммы, определение сходимости ряда. Критерий Коши сходимости ряда. Необходимое условие сходимости ряда. Исследование на сходимость ряда
15. Свойства сходящихся рядов.
16. Ряды с неотрицательными членами. Признак сравнения и предельный признак сравнения.
17. Признаки Даламбера и Коши.
18. Знакопеременные числовые ряды Теорема Лейбница для знакочередующегося ряда. Оценка остатка ряда.
19. Абсолютная и условная сходимость. Теорема о связи между сходимостью рядов и Свойства абсолютно сходящихся рядов. Признаки Даламбера и Коши для знакопеременных рядов.
20. Ряды с комплексными членами.
21. Производная и дифференциал функции. Необходимое условие существования производной. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции в точке. 22. Геометрический смысл производной и дифференциала. Уравнение касательной и нормали к графику функции.
23. Правила вычисления производных, связанные с арифметическими действиями над функциями.
24. Производная сложной функции.
25. Производная обратной функции.
26. Логарифмическая производная. Производные основных элементарных функций. 27. Производые и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница. 28. Параметрическое дифференцирование.
29. Теорема Ферма. Геометрическая ннтерпритадия.
30. Теорема Ролля. Геометрическая интерпрнтация.
31. Теорема Лагранжа. Геометрическая интерпретация.
32. Теорема Коши.
33. Правило Лопиталя.
34. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и Пеано. 35. Разложение основных элементарных функции по формуле Маклорена. 36. Признак монотонности функции.
37. Необходимое условие экстремума функции. Достагочное условие экстремума функции.
38. Выпуклость и точки перегиба.
39. Асимптоты.
40. Первообразная и ее свойства.
41. Неопределенный интеграл и его свойства.
42. Метод замены переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование по частям.
43. Основные свойства из алгебры многочленов. Интегрирование рациональных дробей.
44. Интегрирование иррациональностей.
45. Интегрирование тригонометрических выражений.
46. Определенный интеграл. Ограниченность интегрируемой функции 47. Свойства определенного интеграла,
48. Теорема о среднем.
49. Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Его непрерывность и дифференцируемость.
50. Формула Ньютона - Лейбница
51. Формулы замены переменной в определенном интеграле и интегрирование по частям.
52. Площадь плоской фигуры. 53. Несобственные интефалы. Основные определения и свойства.
54. Несобственные интегралы от неотрицательных функций. Признак сравнения и предельный признак сравнения.
55. Абсолютная и условная сходимость. Главное значение несобственного интеграла. 56. Интегральный признак сходимости ряда.
