Шпаргалки по математическому анализу для 1-го семестра в МАИ - (шпаргалка)

p>#19 Ряд еn=1Ґan –наз абс сход если сход ряд е|an|. Если еan – cх а е|an| - расх то такой ряд наз усл сх. {Теорема о связи между сх абс и об} Если ряд абсолютно сходится то он и просто сходится {Док} Пусть рядеn=1+Ґan -абс сх Ю еn=1+Ґ|аn| -сх-ся Ю по критерию Коши "e>0 $ne| при n>ne и "pОZ p>=0 вып-ся нер-во: |an+an+1+…+an+p|1 ряд еn=1+Ґan- расх {Т2} Если для посл-ности еnЦ|an|; k=limn®+Ґ nЦ|an|; при k1 ряд еn=1+Ґan- расх. #20{Ряды с комплексными членами} {О} Посл-ность zn=xn+iyn, n=1, 2… имеет своим пределом число z0=x0+y0 Если для"e>0 $ ne | при n>ne вып |zn-z0|0 $ne | при n>ne =|zn-z0|=|xn-x0| и |zn-zo|>= |yn-y0| Ю при n>ne вып. нер-во |xn-x0|

#21{Производная диф…} {O} Производной f(x) в т. х0- называется предел отношение приращения ф-ции к соответсвующему приращению аргумента, когда последние®0; f'(x0)=limDx®0(f(x0+Dx)-f(x0))/Dx {O} A=const Вырожение АDх –назыв. дифференциалом ф-ции f в т. х0 и обозначают dy или df(x); Приращение Dх обозначают dx и называют дефференциалом независимой переменной т. о. dy=Adx {Т} Если у ф-ции f(x) в (. ) x0 существут производная то ф-ция непрерывна в (. ) х0 {Док-во} ПустьDy=f(x0+Dx)-f(x0) т. к. $ limDx®0Dy/Dx=f’(x0)Ю Dy/Dx=f’(x0)+a(Dx), где a(Dx) ®0 при Dх®0 Ю Dy=f’(x0)ЧDx+a(Dx), где a(Dх)®0 при Dх®0 Ю Dy=f’(x0)Dx+a(Dx)DxЮ limDx®0Dy=0 Юв f(x)-непрерывно в т. х0 {O}y=f(x)-определённая в U(x0) в т. х0 называется дифференцируемой при х=х0 исли её приращениеDу=f(x0+Dx)-f(x0), x0+DxОU(x0) можно представить в виде Dу=АDх+о(Dх), Dх®0{Т} Для того, чтобы ф-ция y=f(x) была дифференцируема, необходимо и достаточно чтобы она в этой точке имела дифференциал. {Док-во} Пусть y=f(x) диффер-ма в х0Ю Dy =f(x0+Dx)-f(x0)= ADx+o(Dx), Dx®0; limDx®0Dy/Dx= limDx®0(A+o(Dx)/Dx)=A; т. о. в т. х0 $f’(x0)=limDx®0Dy/Dx=A {Обратно} Пусть ф-ция y=f(x) имеет в т. х0 $f’(x0)=limDx®0Dy/DxЮDy/Dx=f’(x0)+e(Dx), limDx®0e(Dx)=0 Ю Dy=f’(x0)Dx +e(Dx)DxЮ Dy=f’(x0)Dx+o(Dx), Dx®0 Ю ф-ция f- дифференцируема в т. х0 №22{Геометрический смысл произ} Пусть ф-ция y=f(x)- определена и непрерывна на (a; b) x0, x0+DxО(a, b), y0=f(x0), y0+Dy=f(x0+Dx) M0(x0, y0) M(x0+Dx, y0+Dy){картинка} проведём секущую MM0 её ур-ние имеет вид y=y0+k(Dx)(x-x0), k(Dx)=Dy/Dx; Всилу непрерывности y=f(x) в т. (х0) Dу®0 при Dх®0 Ю|M0M|=Ц(DxІ+DyІ)®0 при Dх®0 В этом случае говорят что M®M0 {О} Если $ limDx®0k(Dx)=k0 то прямая уравнение которой y=y0+k(Dx)(x-x0) получается из ур-ния k(Dx)=Dy/Dx при Dх®0 называется наклонной касательной к графику ф-ции у=f(x) в (. ) (х0, у0) Т. к. k(Dx)=Dy/Dx, то k0=limDx®0k(Dx)= limDx®0Dy/Dx=f’(x0) Ю уравнение касательной имеет вид y=y0+f’(x0)(x-x0) ; f’(x0)=tga; причём y=y0+k0(x-x0) –называется предельным положением; y=y0+k(Dx)(x-x0) Ю касательная есть предельное положение секущей при M0M т. к. f’(x0)(x-x0)=dy то dy=y-y0 где у-текущая ордината касательной. Т. е. дифференциал ф-ции в (. ) х0 есть приращение ординаты касательной. {Уравнение нормали. } Нормалью к графику ф-ции y=f(x) в (. ) (х0, у0) называется прямая роходящая через эту точку перпендикулярно касат к графикуэтй ф-ции. Его можно написать, зная точку, через которую она проходит и угловой коэффициент k=-1/f’(x0) ; y-f(x0)=-1Ч(x-x0)/f’(x0) x и y – точки на нормали #23 Пусть ф-ции U(x) и V(x) –дифференцируемы в (. ) х тогда d(U+(-)V)=(U+(-)V)’dx=(U’+(-)V’)dx=U’dx+(-)V’dx=dU+(-)dV; 2)d(UЧV)=(UЧV)’dx=(U’V+V’U)dx=U’Xdx+V’Udx=Vdu+Udv; 3)d(U/V)=(U/V)'dx=(U'V+v'U)dx/VІ=(U'Vdx-V’Udx)/VІ=(Vdu-Udv)/VІ №24 {Производная от сложной ф-ии. } Dh: Пусть: z=f(y) - дифф. в точке y0 ; y=j(x)  дифф. в точке х0 .    y0=j(x0) тогда сложная ф-ия z=f(j(x))- дифф. в точке х0 и справедлива формула: z’x=z’yЧy’x=f’(y)Чj’(x) ; dz/dx=dz/dy Ч dy/dx {Док}Т. к. z=f(y) - дифф. в точке y0 ЮDz=f’(y0)Dy+a(Dy); Т. к. y=j(x)- дифф. в точке х0 ЮDy=j’(x0)Dx+b(Dx); Dz=f’(y0)j’(x0)Dx+f’(y0)b(Dx)+a(Dy); Т. к y=j(x) - дифф. в точке х0 а значит непрерывна в этой точке Ю (Dx®0ЮDy®0). t(Dx)=f’(x0)b(Dx)+a(Dy); limDx®0tЧDt/Dx; limDx®0t(Dx)/Dx= limDx®0[f’(x0)Чb(Dx)/Dx+a(Dy)/Dx]= limDx®0a(Dy)/Dx= limDx®0a(Dy)/DyЧ limDx®0Dy/Dx=j’(x0); D(f(j(x)))=(f’(y0)j’(x0))Dx+t(Dx), где limDx®0t(Dx)/Dx=0Ю (f(j(x)))’x=z’x=f’(y0)j’(x0) #25 {Производная от обратной ф-ии. } Пусть y=f(x) в точке х0 имеет: 1) f’(x)№0, 2) на промежутке, содержащем х0, обратную ф-цию y=f-1(x)=j(y) 3) y0=f(x0); тогда в (. ) х0 существует f’(j)№0, равная j'(y0)=1/f’(x0). {Док-во} Пусть x=j(y) и двум различным значениям х соответсвует е различных значений у. x№x0®y№y0ЮDx№0® Dy№0Ю Dy/Dx=1/Dy/Dx ; Пусть y=f(x) дифф. в точке x0 тогда limDx®0Dy=0ЮDx®0ЮDy®0 $f’(x0)=limDx®0Dy/Dx= limDy®01/Dy/Dx=1/limDy®0Dx/Dy=1/j’(y0) ; f’(x0)№0Юj’(y0)=1/f’(x0) #26 {Логарифмическая производная} y=[u(x)]v(x), u(x)>0; lny=v(x)lnu(x); y'/y=v’(x)lnu(x)+v(x)Чu’(x)/u(x); y’=uvЧ(v’lnu+vЧu’/u); (lny)’=y’/y-логарифмическая производная ф-ции {Производные основных элементарных ф-ций} 1) y=ConstDy=c-c=0ЮlimDx®0Dy/DxЮ(C)’=0 ; 2) y=sinx Dy’=cosx 3)(cosx)’=-sinx 4) (ax)’=axlna 5)(arcsinx)’=1/Ц1-xІ 6)(arccosx)’=-1/Ц(1-xІ) 7) (arctgx)’=1/(1+xІ) 8) (arcctgx)’=-1/(1+xІ) 9) (lnx)’=1/x ; 10) (xa)’=aЧxa-1 #27 {Производные и дифференциалы выс. порядков}{О} Пусть y=f(x); f(n)(x)=(f(n-1)(x))’т. о. если говорят что у ф-ции y=f(x) в (. ) существует производная n-ого порядка то это означает, что в некоторой окресности (. ) х0 определено произведение n-1–ого порядка, которая сама имеет производную в (. ) х0 f(n-1)(x0) Эта последняя производная и наз. n-ого порядка от ф-ции f {}Дифференциал n-ого порядка} {О} dnf(x)=d(dn-1f(x)) При взятии дифференциала следует учитывать, что величина dx есть произвольное не зависящее от х число которое надо рассматривать как постоянный множитель при взятии производной dІy=d(dy)=d(f’(x)dx)=df’(x)dx=f’’(x)dxІ; dny=f(n)(x)dxn ; f(n)=dny/dxn ) uv(n) = u(n)v + Cn1 u(n-1)v' +Cn2 u(n-2)v'' + … +C1n u(n-k)v(k) + uv(n) =еk=0nCkn u(n-k)v(k), (формула Лейбница), Где Cnk =n! /k! Ч(n-k)! , 0! = 1, v(0) = v. (u + v)(n) = еk=0nCkn u(n-k)v(k) - бином Ньютона. формула Лейбница доказывается по индукции. #28{Параметрическое дифференцирование} Пусть x=x(t), y=y(t) определены в окрестности t0 t=t(x) x0=x(t0) Определена сложная ф-ция Ф(х)=у(t(x)) которая называется параметрически заданным уравнением. Предположим что x(t) и g(t) имеют производные в т. х0 тогда ф-ции Ф(х)=у(t(x)) также имеют производную в (. ) х0 и она равна Ф’(x)=y’t(t0)/x’t(t0) Действительно по правилу дифференцирования сложной ф-ции Ф’(x0)=y’t(t0)Чt’x(x0); t’x(x0)=1/x’t(t0) Ф(э(х0)=y’t(t0)/x’t(t0) x’(t0)№0 Если ф-ция x(t) и g(t) имеет производную x’’(t0) y’’(t0) то Ф’’(x0) равно =(Ф’(x))’x|x=0=(y’t/x’)’ x|x=x0=(y’t/x’t|t|t=t0Чt’x|x=x0=y’’tt(t0)Чx’t(t0)-y’t(t0)Чxtt’’(t0)/(x’t(t0)) #29 Теорема (Ферма). Если функция f(x) имеет производную в точке с и достигает в этой точке наибольшее(наим) значение, то f’(с)=0. Доказательство. Для определенности будем считать, что f(x) имеет в точкес локальный максимум. По определению производной имеем f’(c)=limDx®0(f(c+Dx)-f(c))/Dx ; Так как у нас f(c)>=f (x) "xОU(с), то для достаточно малых Dx> 0 ; (f(c+Dx)-f(c))/Dx откуда в пределе при Dx®0 получим, что f’(с)=0 поэтому, переходя к пределу при Dx®0 в этом неравенстве, получаем, что f’(с)>=0. Из соотношений вытекает, что f'(c)=0. #30 Теорема (Ролля). Если функция y=f(x) непрерывна на [а, b], дифференцируема на (а, b) и f (а) ==f(b), то существует точка cО0(а, b), такая, что f'(c)=0. Доказательство. Если f постоянна на [а, b], то для всех cО(a, b) производная f'(c)=0. Будем теперь считать, что f непостоянна на [а, b]. Так как f непрерывна на [а, b], то существует точка x1О [а, b], в которой f достигает максимума на [а, b] и существует точка х2О[а, b], в которой f достигает минимума на [а, b]. Обе точки не могут быть концевыми точками отрезка [а, b], потому что иначе maxf(x)=minf(x)=f(a) =f(b) и f была бы постоянной на [а, b]. Следовательно, одна из точек x1, х2 принадлежит к интервалу (а, b). Обозначим ее через c. В ней достигается локальный экстремум. Кроме того, f'(c) существует, потому что по условию f'(x) существует для всех хО(а, b). Поэтому по теореме Ферма f’(c)=0. {} Теорема Ролля имеет простой геометрический смысл. Если выполнены условия теоремы, то на графике функции y=f(x) существует точка (c, f(c)) касательная в которой параллельна оси х. #31 Теорема(Лагранжа). Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [а, b] и имеет производную на интервале (а, b). Тогда существует на интервале (а, b) точка с, для которой выполняется равенство (f(b)-f(a))/(b-a)=f'(c) (а

#32Теорема(Коши). Если функции f(x) и g(x) непрерывны на [а, b] и дифференцируемы на (а, b), и g'(x)№0 в (а, b), то существует точка cО(a, b) такая, что( f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f’(c)/g’(c) Доказательство. Отметим, что g(b)-g(a)№0, так как в противном случае, по теореме Ролля нашлась бы точка g такая, что g'(c)=0, чего быть не может по условию теоремы. Составим вспомогательную функцию F(x)=f(x)-f(a)-(f(b)-f(a))Ч(g(x)-g(a))/(g(b)-g(a)) В силу условия теоремы эта функция F непрерывна на [а, b], дифференцируема на (а, b) и F(a)=0, F(b)=0. Применяя теорему Ролля, получим, что существует точка cО(a, b), в которой F'(c)=0 Но F’(x)=f’(x)-(f(b)-f(a))Чg’(x)/(g(b)-g(a)) поэтому, подставляя вместо х точку c, получаем утверждение теоремы. #33(Правило Лапиталя) 1)Ф-ции f(x) и g(x) опред на полуинтервале (a, b] ; 2) limx®a+0f(x)=limx®a+0g(x)=0; 3) Существуют произв (конечн) f’(x) and g’(x) на (a, b] y’№0 ; 4) Сущесвует (конечн или нет) limx®a+0f’(x)/g’(x)=k тогда limx®a+0f(x)/g(x)=k {Док-во} доопределим ф-ции f(x) и g(x) при x=a наложив f(0)=g(0)=0 ; Тогда мы получим непрерывные на отрезке [a; b] ф-ции (т. к. в т. a знак а f и g совпадают со значениями пределов, а в остальных точках непрерывность вытекает из существования производных) По теореме Коши. f(x)/g(x)=(f(x)-f(a))/(g(x)-g(a)=f’(c)/g’(c); где a0 ; 2) limx®+Ґf(x)=limx®a+Ґg(x)=0; 3)Сущ(кон) произв f’(x) and g’(x) на [c, +Ґ) g’(x)№0 ; 4)$ limx®a+Ґf’(x)/g’(x)=k Тогда limx®a+Ґf(x)/g(x)=k {д} Замена t=1/x, если x®+ҐЮt®0 по условию 2) limt®0f(1/x)= limt®0g(1/x)=0 ; По усл 4) limt®0f’(1/t)/g’(1/t)=k Юпо т1 limx®a+Ґf(x)/g(x)= limx®a+Ґf’(x)/g’(x)=k {}{T3}1)Ф-ции f(x) и g(x) опред на полуинтервале (a, b] ; 2) limx®a+0f(x)=+Ґ; limx®a+0g(x)=+Ґ; 3) Существуют произв (конечн) f’(x) and g’(x) на (a, b] y’№0 ; 4) Сущесвует (конечн или нет) limx®a+0f’(x)/g’(x)=k тогда limx®a+0f(x)/g(x)=k #34 Ф-ла Тейлора {Т} Путь ф-ция y=f(x) опред и непр на (a, b) и имеет в т. хО(a, b) производные до порядка n включительно f’(x), f’’(x), …, f(n)(x); f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)/1! + f’(x0)(x-x0)І/2! +…+ f(n)(x0)(x-x0)(n)/n! +o((x-x0)n)-формула Тейлора с остаточным членом Пеано. f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)/1! + f’(x0)(x-x0)І/2! +…+ f(n)(x0)(x-x0)(n)/n! +f(n+1)(c)(x-x0)n+1/(n+1)! -формула Тейлора с остаточным членом Лагранжа. Pn(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)/1! +…+f(n)(x0)(x-x0)n/n! -ф-ла Тейлора в степени n, а ф-ция rn(x)=f(x)-Pn(x)-остаточный член ф-лы Тейлора; При х=0 ф-ла Маклорена. {Д} Найдём многочлен Pn(x)=A0+A, (x-x0)n ; Pn(x0)=f(x0), Pn’(x0)=f’(x0), …, Pn(n)(x0)=f(n)(x0) (1) Дифференцируя данный многочлен получим Pn(x)=A0+a1(x-x0)+…+An(x-x0)n; Pn(x0)=f(x0), Pn’(x0)=f’(x0), …, Pn(n)(xn)=f(n)(x0); Pn’(x)=A1+2A2(x-x0)+…+nAn(x-x0)n-1 ; P’’n(x)=2ЧA2+3Ч2ЧA3(x-x0)+…. +n(n-1)An(x-x0)n-2 ; Pn(n)=nЧ(n-1)Ч(n-2)Ч…ЧAn; P(x0)=A0=f(x0); Pn(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)/1! +fn(x0)(x-x0)І/2! +…+f(n)(x0)(x-x0)n/n! ; Pn(x0)=f(x0), Pn’(x0)-f’(x0), …, Pn(n)(x0)=f(n)(x0) ; rn(x)=f(x)-Pn(x) Т. к. деференцир rn(n-1)(x) диф-фма в (Ч) x0 то limx®x0rn(n-1)(x)/(x-x0)= limx®x0 (rn(n-1)(x))-rnn-1(x0)/(x-x0)=rnn(x0) Раскрывая по правилу Лапиталя получим limx®x0rn(x)/(x-x0)n= limx®x0rn’(x)/n(x-x0)n-1=…= limx®x0rn(n-1)(x)/n! (x-x0)=rn(n)(x)/n! =0 Юrn(x)=o((x-x0)n), x®x0 #35Разложение основных элементарных ф-ций по формуле Маклорена. 1)f(x)=ex, f(0)=1, f(k)(x)=ex, f(k)(0)=1, ex=1+x+xІ/2! +…+xn/n! +o(xn), x®0; 2)f(x)=sinx, f(0)=0, f’(x)=cosx, f’’(x)=-sinx, f’’’(x)=-cosx, f(IV)(x)=sinx, …; f(k)(x)={(-1)msinx, k=2m {(-1)m-1cosx, k=2m-1 m=1, 2, …; f(2m-1)(0)=(-1)m-1 полагая n=2m получим sinx=x-x3/3! +x5/5! -…+(-1)n-1x2m-1/(2m-1)! +o(x)2m, x®0; cosx=1-xІ/2! +x4/2! -x6/6! +…. +(-1)mx2m/(2m)! +o(x2m+1), x®0; 4)f(x)=ln(1+x)…f(0)=ln1=0, f’(x)=1/(1+x), f’’(x)=-1/(1+x)І, f’’’(x)=2/(1+x)3…, f(k)(x)=(-1)k-1(k-1)/(1+x)k ; f(k)(0)=(-1)k-1Ч(k-1)! Подставим в формулу Тейлора Ю l(1+x)=x-xІ/2+x3/3+...+(-1)n-1xn/n+o(xn), x®0 ; 5)f(x)=(1+x)b f(0)=1, f’(x)=b(1+x)b-1, f’’(x)=b(b-1)(1+x)b-2; f(k)(x)=b(b-1)…(b-k+1)(1+x)b-k ; f(k)(0)=b(b-1)…(b-k+1); (1+x)b=1+bЧx+b(b-1)xІ/2! +…+b(b-1)…(b-n+1)xn/n! +o(xn), x®0 #36 Признак монотонности ф-ции. {Т} Пусть ф-ция f(x) дифференцируема на (a, b), для того, чтобы ф-ция возрастала(убывала) на этом интервале необходимо и достаточно чтобы во всех точках этого интервала выполнялось f’(x)>=0 (f’(x)0 (f’(x)0, тогда f(x0+Dx)-f(x0)>=0; Dx®0; (Dy=0 (Dy/Dx=0 (f’(x0)=0 (f’(x)0, f’(c)>=0 (f’(c)=0 (f(x2)-f(x1)=f(x1) (f(x2)0 xО(a, b) (f’(x)0 (f’(c)0 (f(x2)-f(x1)=f(x0) или f(x)=0 | " xО(x0, x0+d] f’(x)0), а " xО(x0-d, x0] f’(x)0) то х0 является экстремумом при этом для xО(d, x0+d); f’(x)>0, a для xО(x0-d, x0) f’(x)0 то xo-мин. {До} Пусть для xО(x0-d, x0) f’(x)>0 для xО(x0, x0+d) f”(x)x0 Ю x-x0>0 x00ЮDf>0 Ю f(x)=q1f(x1)+q2f(x2)), где"q1>0, q2>0, q1+q2=1 Геом интопрет: x=q1x1+q2x2 (x10, q2>0, q1+q2=1 тогда т. х лежит между точками х1 и х2{Док-во} (x-x1=q1x1+q2x2-x2=x1(q1-1)+q2x2=-x1q2+q2x2=q2(x2-x1)>0Юx>x1Юx2-x=x2-q1x1-q2x2=x(1-q2)-q1x1=x2q1-q1x1=q2(x2-x1)>0Юx1=)(f(x2)-f(x))/x2-x1) (1) {Т1} Пусть ф f(x) опред. и непрерыв. на пром. Х и имеет на этом пром. кон . произв. Для того чтобы выпукла(вогнута)Ы f’(x)- возратала(убывала) на Х {Док-во} Пусть ф-ция выпукла на Х и х1=0 (f’’(x)=0) {(. ) перегиба} Пусть y=f(x) –дифференцируема в (. ) x0 и y=e(x)-ур-ние касательной к графику ф-ции у=f(x) в (. ) х0. Если при переходе через (. ) х0 выражение f(x)-e(x)- меняет свой знак то (. ) х0 называется точкой перегиба. {T}Достаточное условие точки перегиба. Если х0 является точкой перегиба ф-ции f(x) и вэтой точке существует вторая производная, то она равна 0 {Д} Уравнение касательной к графику ф-ции y=f(x) в т. х0 имеет вид L(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0) Разложим ф-цию f(x) в окр. т. х0 по Тейлору с остаточным членом в форме Пеано: f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-0)+f’’(x0)(x-x0)І/2! +a(x)(x-x0)І, a(x)®0 при x®x0 ; f(x)-L(x)=(f’’(x0)+2a(x))(x-x0)І/2! ; Если предположить что f’’(x)№0 то т. к. a(х)®0 при х®х0 в достаточно малой окр. т. х0 знак в правой чсти аоследнего равенства совпадает со знаком f’’(x) Юпри переходе через т. х0 выражение f(x)-L(x) не меняет знак, значит т. х0 не является точкой перегиба, а это противоречит условиюЮ f’(x0)=0 {Т}Достаточное условие (. ) перегиба: Пусть ф-ция y=f(x) дифференцируема в (. ) х0 и дважды дифференцируема в некоторой выколотой окрестности U(x0, d) Если при переходе через (. ) х0 f’’ меняет знак, то это точка перегиба. {Док-во} Рассмотрим f(x)-L(x)=f(x)-f(x0)-f’(x0)(x-x0)=(по теореме Лагранжа ; x лежит между х и х0) =f’(x)(x-x0)-f’(x0)(x-x0)=(Т Лагранжа h леж ме/ду x и х0)=(x-x0)(f’(x)-f’(x0))=(x-x0)(x-x0)f’’(h); Т. к. т-ка x лежит между х0 их то т-ки х и x лежат по одну сторону от т. х0 Ю(х-х0)(x-х0)>0 поэьому знак f(x)-L(x) совпадает со знаком f’’(h); Т. к. т. h лежит между x и х0 то т-ки х и h лежат по одну сторону от т. х0 ЮЕсли при переходе через т. х0 вторая производная меняет знак то и вырожение f(x)-L(x)- также меняет свой знакЮ х0-т. перегиба.

Страницы: 1, 2, 3