Шпаргалки по математическому анализу для 1-го семестра в МАИ - (шпаргалка)
Шпаргалки по математическому анализу для 1-го семестра в МАИ - (шпаргалка)
Дата добавления: март 2006г.
Экзаменационная программа
По курсу математического анализа для студентов групп 03-112 - 116. 1. Понятие n-мерного арифметического пространства Rn. Метрика. Метрические пространства. Открытые и замкнутые множества в Rn. 2. Общее определение функции. Сложная, неявно и параметрически заданная функции, обратная функция.
3. Предел числовой последовательности. Теорема о единственности предела числовой последовательности. Ограниченность сходящейся последовательности. 4. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их свойства. Свойства пределов, связанные с арифметическими операциями над последовательностями. Переход к пределу в неравенствах.
5. Понятие предела функции. Односторонние пределы. Теорема о единственности преЯсла. Теорема об ограниченности (на некоторой окрестности точкиа } функции f(х), имеющей конечный предел при х® а. Бесконечно малые и бесконечно большие функции и их свойства. 6. Связь функции с ее пределом. Арифметические операции над пределами функций. Предельный переход в неравенствах.
7. Теорема о пределе сложной функции.
8. Сравнение функций. Эквивалентные функции. Сравнение бесконечно малых функций.
9. Непрерывность функций в точкеке. Односторонняя непрерывность. Точки разрыва функции их классификация. Теорема о сохранении -знака непрерырывной функции. 10. Свойства непрерывных функций на промежутках. Равномерная непрерывность. 11. Теорема о непрерывности сложной функции.
12. Теорема о непрерывности обратной функции.
13. Непрерывность элементарных функций.
14. Понятие числового ряда. частичные суммы, определение сходимости ряда. Критерий Коши сходимости ряда. Необходимое условие сходимости ряда. Исследование на сходимость ряда
15. Свойства сходящихся рядов.
16. Ряды с неотрицательными членами. Признак сравнения и предельный признак сравнения.
17. Признаки Даламбера и Коши.
18. Знакопеременные числовые ряды Теорема Лейбница для знакочередующегося ряда. Оценка остатка ряда.
19. Абсолютная и условная сходимость. Теорема о связи между сходимостью рядов и
. Свойства абсолютно сходящихся рядов. Признаки Даламбера и Коши для знакопеременных рядов.
20. Ряды с комплексными членами.
21. Производная и дифференциал функции. Необходимое условие существования производной. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции в точке. 22. Геометрический смысл производной и дифференциала. Уравнение касательной и нормали к графику функции.
23. Правила вычисления производных, связанные с арифметическими действиями над функциями.
24. Производная сложной функции.
25. Производная обратной функции.
26. Логарифмическая производная. Производные основных элементарных функций. 27. Производые и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница. 28. Параметрическое дифференцирование.
29. Теорема Ферма. Геометрическая ннтерпритадия.
30. Теорема Ролля. Геометрическая интерпрнтация.
31. Теорема Лагранжа. Геометрическая интерпретация.
32. Теорема Коши.
33. Правило Лопиталя.
34. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и Пеано. 35. Разложение основных элементарных функции по формуле Маклорена. 36. Признак монотонности функции.
37. Необходимое условие экстремума функции. Достагочное условие экстремума функции.
38. Выпуклость и точки перегиба.
39. Асимптоты.
40. Первообразная и ее свойства.
41. Неопределенный интеграл и его свойства.
42. Метод замены переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование по частям.
43. Основные свойства из алгебры многочленов. Интегрирование рациональных дробей.
44. Интегрирование иррациональностей.
45. Интегрирование тригонометрических выражений.
46. Определенный интеграл. Ограниченность интегрируемой функции 47. Свойства определенного интеграла,
48. Теорема о среднем.
49. Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Его непрерывность и дифференцируемость.
50. Формула Ньютона - Лейбница
51. Формулы замены переменной в определенном интеграле и интегрирование по частям.
52. Площадь плоской фигуры.
53. Несобственные интефалы. Основные определения и свойства. 54. Несобственные интегралы от неотрицательных функций. Признак сравнения и предельный признак сравнения.
55. Абсолютная и условная сходимость. Главное значение несобственного интеграла.
#1{ пространство}Множ всех упорядоченных наборов n действ чисел с определенными на этом мн-ве функциями p(x, y) называется n-мерным арифметическим пространством и обозн Rn. {Открытые и замкнутые множ в прос-ве R ''}Множ xОR'' назыв открытым если весь Х лежит в R то для любой точки "xОX $ e >0 такая что U(x, e) принадл Х любое открытое множ содерж данную точку называется его окрестностью. Точка х принадл пространству R'' назыв точкой прикосновения Х содержащейся в R'' если любая окрестность этой точки содержит точки множ-ва Х Множ-во содерж все свои точки прикосновения называется замкнутым {Метрическое пр-во. } Метрическим пространством называется пара (x, r) состоящая из мн-ва Х и действит не отриц функции r опред на множ Х и удовл след св-вам 1 r(x, y)=0 Ы x=y1; 2) p(x, y)= p(y, x) " x, yОX; 3) p(x, y)
#3Пусть Х какое либо мн-во всякое отобр f: N®X называется послед эл-тов Х элемент f(n) n-ый член последовательности и обозн хn cама послед f: N®X обозн {Xn} или Хn n=1, 2, 3… число а назыв пределом послед {Xn} и обозн А=lim(n®Ґ)xn если "e>0 $ne =n(e)ОN тако что при n>ne выполн нер-во /Хn-А/0 $n1 при n>n1 /xn-a/n1 для e2=b-r>0 $ n2 такое что при n>n2 /xn-b/ xn>r при n>n2 пусть no=max(n1, n2)=> при n>no xn>r xn a=b Теор док. {Т} Сходящаяся последовательность ограничена. {Док} Пусть последовательность аN сходится к числу а. Возьмем какое-либо эпсилон, вне эпсилон-окрестности точки а лежит конечное число членов последо вательности, значит всегда можно раздвинуть окрестность так, чтобы все члены последовательности в нее попали, а это и означает что последователь ность ограничена.
#4послед {xn} назыв б м п если lim(n®Ґ)xn=0 послед {xn} назыв б б п если она имеет своим пределом бесконечнось. Если {xn} ббп то 1/{xn} бмп Док-во т. к {xn} ббп =>"e>0 $ne=n(e) такое что при n>ne вып неравенство /xn/>1/e => 1//xn/ne = lim(n®Ґ) 1/xn=0 {T}произвед беск малой на огранич есть бмп {док-во} пусть {xn}- бмп а {уn}- огранич =>$M>0 такое что /уn/0 тогда тк {xn}- бмп =>$ne=n(e) при n>ne /Xn/ при n>ne /xnyn/=/xn/yn lim(n®Ґ)(xnyn)=0 чтд {Т} Если $n0: "n>n0 aNЈbNЈcN и $ Lim aN=a, $ Lim cN=c, причем a=c, то $ Lim bN=b => a=b=c. {Док} Возьмем произвольно Е>0, тогда $ n’: "n>n’ => cNn” => (a-E)max{n0, n’, n”} (a-E)max{n0, n’, n”}=>bNО(a-E, a+E) {Т переход от к пределу в неравенствах} Если Lim xN=x, Lim yN=y, $n0: "n>n0 хNЈyN, тогда xЈy {Док-во} (от противного): Пусть х>у => по определению предела $ n0’: "n>n0’ |хN-х|n0” |yN-y|max{n0’, n0”}: |хN-х|max{n0’, n0”} хNО(х-Е, х+Е) & уNО(у-Е, у+Е) учитывая, что х>у получаем: "n>max{n0’, n0”} хN>yN - противоречие с условием. #5 {О предела ф-ции} Пусть f(x) определенна в некоторой окрестности т. “а” за исключунием быть может самой этой точки а. Число А – называется пределом ф-ции при x®a если "E>0 $ d=d(E)>0 : "x 00 $ d=d(E)>0 | "x 00 $ d=d(E)>0 : "x 0E {O limx®af(x)=-Ґ} Если "E>0 $ d=d(E)>0 : "x 00 $ D=D(e)>0 : "x |x|>D вып |f(x)-A|0 $ D=D(E)>0 : "x |x|>D вып |f(x)|>E {Односторонние пределы} Правым (левым) пределом ф-ции f(x) ghb x®a+0(-0) называется число А / "e>0 $d=d(e)>0 при "x a(-d)0 | при "x 00 | при "x 00 | при "x 00 Ю $d=d(E) >0 | при "x уд. 01/E Ю 1/f(x)0 | "x, уд. 00 тогда $ d2>0 | при 0E Ю 1/f(x) –бб при х®а {T} Сумма двух б. м при x®a есть бм при x®a {Д} Пусть limx®af1(x)=0 limx®af2(x)=0 "e>0, тогда $d1=d1(e)>0 | при "х 00 | при "x, 00 | "х ОU(a, d1)Ю |g(x)|0 Ю $ d2>0 | при "x, 00 $ d завис от e такое что d(e)>0 такое что "х, 0 /f(x)-A/ /j(x)/=/f(x)-A/0 $ d>0 такая что "х удв 0 /f(x)-A/=/j(x)/ lim(х®а)f(x)=A {Арифмитические операции над пределами ф-ций Т }пусть сущ предел f1(x) при х®а =А и сущ lim(х®а)f2(x)=B 1)сущ lim(f1(x)+f2(x))=A+B 2) сущ lim(f1(x)*f2(x))=AB 3) сущ lim(f1(x)/f2(x))=A/B при В№0 ; 1-e св-во тк lim(х®а)f1(x)=A и lim(х®а)f2(x)=B => f1(x)=A+j1(x) f2(x)=B+j2(x) где j1j2 бм ф-ии при х®а тогда f1(x)+f2(x)=A+B+j1j2= A+B+j(x)== где j(х) бмф т. к. сумма 2х бм ==lim(х®а)(f1(x)+f2(x))=A+B {предельный переход в неравенство} пусть lim(х®а)f1(x)=b1 lim(х®а)f2(x)=b2 и b1 f1(x) 1)e1=c-b1>0 $d1>0 так что "хОU(a, d) /f1(x)-b1/ b1-c f1(x)0 так что "хОU(a, d) =>/f2(x)-b2/ c-b2 "хОU(a, d) => f1(x) f1(x) b1=b2 в силу предыдущ теоремы сущ U(a, d) так что "хОU(a1, d1) => f1(x)>f2(x) do =min(d1d2) =>"хОU(a1, do) => f1(x)f2(x)- по док-ву => противор =>b10 Ю $d2>0 | "x 00 | "x, 00 т. к. $ limy®Ag(y)=B Ю $s>0 |"y , 00 | |f(x)|ЈC(g(x)) "x О E f(x)=O(1) на E Ю f(x) ограничена на Е т. е. $ С>0 | |f(x)|ЈC "xОE Пусть ф-ция f(x) и g(x) –определены в некоторой окрестности (. ) а за исключением быть может самой этой (. ) f(x) есть o-малое от g(x) при x®a и пишут f(x)=o(g(x)), x®a , если в некоторой выколотой окрестности а имеет место f(x)=E(x)g(x), где limx®fE(x)=0 xІ=o(x), x®0 f(x)=og(x) , x®a E(x)=x h(x)=o(g(x)), x®a; j(x)+h(x)=o(g(0))+o(g(x)=o(g(x)) x®a f(x) есть O-большое от g(x) при x®a, если $ U(a) | f(x)=O(g(x)) на U(a) пишут f(x)=O(g(x)), x®a Ф-ции f(x) и g(x) называется эквивалентами x®a, если эти ф-ции определены и отличны и отличны от 0 в некоторой окрестности (. ) а за исключением быть может самой этой точки и существует предел$ limx®af(x)/g(x)=1 пишут f(x)~g(x) x®a {Т} Для того, чтобы ф-ция f(x) и g(x) были эквивалентны, необходимо и достаточно f(x)=g(x)+o(g(x)) x®a g(x)№0 (x№a) {Док-во} Пусть f(x)~g(x) , x®a тогда по определению g(x) отлично от 0 в U(0) и $ limx®af(x)/g(x)=1 Ю $ E(x), E(x)®0 при x®a | f(x)/g(x)=1+E(x)Ю f(x)=g(x)+E(x)g(x)=g(x)+o(g(x)), x®a. Обратно Пусть f(x)=g(X)+o(g(x)) x®a , g(x)+o(x+a) f(x)=g(x)+E(x)g(x), где limx®aE(x)=0 Ю f(x)/g(x)=1+E(x) Ю limx®af(x)/g(x)=1 Ю f~g(x) x®a {Сранение бесконечно малых ф-ций} Пусть f(x) и g(x) –б. м. ф-ции при x®a g(x)№0 в некоторой U(a) {O} Если отношение f(x)/g(x) при x®a имеет конечный и отличный от 0 предел, то ф- ции называются б. м. одного порядка. Если f(x)/g(x)=0 то f(x) само является бесконечно б. м. более высокого порядка по сравнению с g(x) при x®a {O} Ф-ция f(x) называется б. м. к-ого относительно б. м. g(x) при x®a, Если ф-ция f(x) и gk(x) б. м. одного порядка при x®a №9{Непрерывность ф-ции в точке} Ф-ия назыв непрерывной в точке а если (дельта)f(a)=f(a+h)-f(a) определена в окр точки h=0 и для"e >0 $ d=d(e)>0 такое что "h /h/0 такое что f(x)>c "xОU(a, g) ((1)f(a)>0) f(x)< -c "xОU(ag) при f(a)0 тогда $ d>0 такое что "xОU(ag) => /f(x)-f(a)/< e=/f(a)//2 f(x)0 => /f(a)/=f(a)=> "xОU(ag) f(a)/2 c = f(a)/2; 2) f(a) /f(a)/=-f(a)=> "xОU(ag) f(a)/2>f(x) => c = - f(a)/2 >0 => f(x)0 Ю по теореме Больцана –Каши $ сО(a, b) | j(c)=0 Ю f(c)-C=0Юf(c)=C {Т}Ф-ция f(x) непрерывная на отр [a, b] ограничена на этом отрезке. {Т} Ф-ция f(x)-непрерывна на отр[a, b] в некоторых точках этого отрезка минимального и мах значения$a. b О[a, b] | f(a)=minf(x) xО[a, b]; f(b)=maxf(x) xО[a, b] f(a)0 $d=d(e)>0 | "x’, x’’ОX, r(x’, x’’)0 $d=e | "x’, x’’ОR, |x’-x’’|
#11{Т о непрерывн сложн ф-ии } Пусть ф-ия f(x) непрерывна в т. а, a ф-я g(y) непрер в т b =f(a) тогда сущ ф-ия=g(f(x)) в некоторой окр точки а которая непрерывна в точке а {Док-во}Возьмем"e>0 тогда из непрерывности ф-ии g(у) в т b следует что сущ число d>0 так что "у /у-b/0 l(х) опред на (а-d; а+d) и "хО(а-d; а+d) => /f(x)-f(a)/ по опред непрерывности => g(f(x)) непрерывна вт а чтд. #12 {Непрерывность обратной ф-ции} Пусть у=f(x) – непрерывна при "хО [a, b] "уО[A, B] и пусть она строго возрастает, тогда ф-ция x=j(y) также непрерывна {Д} Пусть y0О[A, B] Ю x0=j(y0), f(x0)=y0 x0О(a, b) ; возьмём e>0 столь малое, что [x0-e, x0+e]М[a, b] Пусть y1=f(x0-e) y2=f(x0+e) Тогда в силу строго возрастания ф-ции f "yО(y1, y2)Юx=j(y)О(x0-e, x0+e) тогда для у из [A, B] получаем [a, b] Ю мы получили на нём e>0 удовлетв этому условию мы не взяли существ окрестность в (. ) 0 (у1, у2) | "уО(у1, у2) соответсвует j(y)О(x0-e; x0+e) Если это утверждение справедливо для мал e то оно справедливо для +e Ю ф-ция j - непрерывна в т. н0 по определению. {} Пусть у0=В Ю х0=j(y0)=b Возьмём e
#13 {Непрерывность элементарных ф-ций} 1)f(x)=C –непрерывна на всей числовой прямой. Df(x)=f(x+h)-f(x)=C-C=0; limh®0Df(x)=0; 2) f(x)=x; Df(x)=x+h-x=h Юlimh®0h=0; 3)f(x)=xn, nОN –непрерывна на всей числовой прямой, непрерывна как произведение непрерывных ф-цийЮ по индукции xn=xn-1Чx; 4)f(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-непрерывная на всей числовой прямой как сумма конечного числа непрерывных ф-ций; 5)R(x)=P(x)/Q(x)=(a0xn+a1xn-1+…+an)/(b0xm+b1xm-1+...+bm)-непрерывна на всей числовой прямой за исключением тех х, при которых значение знам. обращ в 0 как частное двух непрерывных ф-ций. ;6) f(x)=sinx Лемма"xОR, |sinx|p/2 Ю |sinx|=0 Df=(ax+h-ax)=ax(ah-1) limh®0ax(ah-1)=0; 9)f(x)=logax a>0 a№1 непрерывна на (0, +Ґ) 10)arcsinx, arccosx – на всей числ. пр. #14{Понятие числового ряда} пусть дана числовая последовательность {an} составленный из членов этой последовательности символ. а1+а2+а3…аn назыв беск числовым рядом а1а2-члены этого ряда для обознач испесумма n 1-ых членов ряда назыв частичной суммой ряда если предел послед частичных сумм конечный то говорят что ряд сход в прот случае расход {Т необход условие сходимости} если рядеаn сход то lim(n®Ґ)an=0 док-во если ряд еan сх то $ lim(n®Ґ)Sn=S=lim(n®Ґ)S(n-1) тогда lim(n®Ґ)an = lim(n®Ґ)(Sn-S(n-1)) = lim(n®Ґ)Sn-lim(n®Ґ)(Sn-1)=0 т док. {Т Критерий Коши } Для сх-ти ряда е(n=1, Ґ)an у "e >0 $ ne такое что при n>ne и "рО Z p>=0 вып неравенство /аn+an+1+an+2+an+p/1 сход a=1/n+1/(n+1)+…+1/(2n-1)>1/2n+1/2n+…+1/2n=n/2n=1/2 Ю для e=1/2 при " n $ p=n-1 | вып-ся нер-во |an+…+an+p|>e Ю ряд расх. Пусть a>1, s=2-1>0 расходится частичная сумма ряда S2k=1+1/2a+(1/3a+1/4a)+(1/5a+1/6a+1/7a+1/8a)+…+(1/(2k-1+1)a+, ,, +1/(2k)a); 1/(n+1)a+1/(n+2)a+…+1/(2n)a>1/na+1/na+1/na=n/na=1/na-1=1/nsm) Т. к. $lims®+ҐA’SЮ$limn®+ҐA’n=m Ю $limn®+ҐA=limn®+ҐAn-n+Am Ю еn=1+Ґan ряд сх. {Следствие} Если ряд е(1, +Ґ)an сх-ся и an=е(k=n+1, +Ґ)ak Юlimn®+Ґan=0 {Док} Пусть An=е(1, n)ak, A=limn®+ҐAn Ю A=An+anЮan=A-A1 Ю limn®+Ґan=A-limn®+ҐAn=0 {Т} Если ряды е(n=1, +Ґ)an и е(n=1, +Ґ)bn сх-ся и l-число, то е(n=1, +Ґ)(an+bn) сх-ся и е(n=1, +Ґ)lan сх-ся {Д} Пусть Аn=е(k=1, n)ak, Bn=еk=1nbk; A=limn®+ҐAn, B=limn®+ҐBn; $limn®+Ґ(An+Bn)=A+B, $limn®+ҐlAn=lA Т. к. An+Bn=(a1+b1)+…+(an+bn)- n-ая частичная сумма ряда е(n=1, +Ґ)(an+bn) и lAn=la1+…+lan- n-ая частичная сумма ряда то данные ряды сходятся. #16{T признак сравнения} пусть даны 2 ряда е(n=1...Ґ)an и е(n=1...Ґ)bn аn>=0 bn>=0 (n=1, 2, 3…) и $ no такое что при n>no аn $ M>0 такое что Bn е(k=no+1...Ґ)ak сх-ся =>е(k=1...Ґ)ak сход {Предельный признак сравнения}Если сущ предел lim(n®Ґ) an/bn =k то; 1). 0 e=1 $ no такое что при n>no an/bn anno => из сх еbn следует сходимость еan => еaк сходится 0no an/bn>k/2 (k1; k=+Ґ => при n>no аn>(k/2)bn (k из расход еbn =>еаn расх =>еак а>bn (k=+Ґ) Ю Утв. #17{Признак Даламбера не предельный(пр Тейлора)} еan an>0 n=1, 2, 3… Если а(n+1)/an ряд сход если q>=1 ряд расх {Док-во} аn= a1*a2/a1*a3/a2…an/a(n-1) е(n=1, +Ґ)аn cх-ся Пусть а(n+1)/an >=1 => а(n+1)>=an>=…>=a1>=0 lim(n®Ґ)an№0 =>ряд расход {Признак Дплмбера предельный} Пусть существует предел: $limn®+Ґan+1/an=k; 1)k1 ряд расх. {Док-во} k0 |k+en0 an+1/an1; k0 | k-e>1 Ю $n0 | при n>n0 an+1/an>k-e>1 Ю еn=1+Ґan расход { Радик Признак Коши} пусть дан ряд еan>0 кор n-ой степ(аn)1 ряд расход {cледствие} пусть$ lim(кор n-ой степ(аn))=k; k1 – ряд расход #18 {O} Знакопеременными рядами называют еn=1+Ґ(-1)n-1an, an>0{Т Лейбница} пусть дан знакоперем ряд е(-1)n-1 сn cn>0; 1)C(n+1)$ lim(k®Ґ)S2k+1=lim(k®Ґ)S2k=S; Из вышесказанного следует $lim(n®Ґ)Sn=lim(n®Ґ)S2k = lim(k®Ґ)S2k+1=S {Док-ть самим} {Оценка остатка ряда} При выполнении Т Лейбница знак остатка ряда совпад со знаком своего 1-го члена и не превосходит его по модулю
