Прикладная математика - (реферат)
p>Положение принципиально меняется с началом научного Возрождения —с работ Г. Галилея, И. Кеплера и других ученых, для которых математика и математический способ мышления становятся одним из основных орудий естествознания. Мощное давление естествознания весьма благотворно сказалось на развитии математики. В XVI—XVIII вв. оба направления - прикладное и теоретическое — непрерывно взаимодействовали и оплодотворяли друг друга. Типичной была такая картина, когда возникновение и первоначальное развитие математического понятия диктовались задачами естествознания или геометрии (приложения к которой в тот период порой мало отличались от приложений к механике или оптике); вскоре после создания это понятие получило самостоятельную жизнь и его развитие продолжалось по внутренним математическим законам; некоторые из результатов этого “чистого” развития вновь применялись к естествознанию, что приводило к появлению новых математических понятий и задач и т. д. Ярким и широко известным примером такого развития служит создание дифференциального и интегрального исчислений. В этот “золотой” период гармонического развития математики различение, а тем более противопоставление чистой математики и прикладной потеряло всякий смысл. Этому способствовало и то обстоятельство, что крупнейшие ученые рассматриваемого периода — И. Ньютон, Л. Эйлер, Ж. Лагранж и другие — были не только математиками, но и физиками, механиками; в трудах каждого из них развивались как теоретическое, так и прикладное направления математики.1. 3. Период доминирования теоретико-множественного направления.
Переход к следующему периоду растянулся на десятилетия, и потому его начало лишь условно можно датировать серединой ХХ века. Он связан с рядом блестящих работ по теории множеств (Г. Кантор) и теории функций (К. Вейерштрасса), по построению первых абстрактных алгебраических структур и анализу аксиом геометрии. Это широко известные и глубоко прогрессивные для своего времени работы превратили значительную часть математики в единую науку, с едиными требованиями к определениям, утверждениями и доказательствам, с едиными нормами строгости.
Что касается прикладного направления, то оно продолжало развиваться, прежде всего, в связи с развитием физики и небесной механики, однако, какого-либо переворота здесь не было.
Открывались новые каналы, через которые шли приложения, например векторные алгебра и анализ, тензорные алгебра и анализ, позже —операционное исчисление, теория обобщенных функций и т. п. , но сам характер приложений некоторое время оставался в принципе тем же. Классический математический аппарат в сочетании с глубокими физическими идеями привел к ряду выдающихся открытий, сделанных, как пишут в популярных книгах, “на кончике пера”. Широко известны примеры такого рода— предсказание электромагнитных волн К. Максвеллом, открытие планет Нептуна и Плутона, предсказание П. Дираком позитрона и т. д. На указанной основе возникла одна из важнейших областей современной науки— теоретическая физика.
Успехи теоретического направления, создание единого уровня строгости всей математики привели к тенденции решать и математические задачи, возникшие в приложениях, также на уровне строгости теоретического направления. Наиболее отчетливо эту тенденцию выразили Д. Гильберт и А, М. Ляпунов. В некоторых случаях эту тенденцию оказалось возможным реализовать, что, впрочем, привело к двойственности при решении прикладной задачи в целом: постановка задачи и интерпретация решения проводились на физическом уровне строгости (попытки аксиоматизации отдельных разделов физики на теоретико-множественной основе оказались безуспешными, так что физический уровень строгости здесь неизбежен), математическое же решение осуществлялось на математическом уровне строгости. В более сложных случаях, а также, если прикладную математическую задачу решали физики, к решению часто привлекались и физические соображения; однако математики рассматривали такое решение как неполноценное и стремились заменить его решением, находящимся полностью на достигнутом “вейерштрассовском” уровне строгости. Так сложилось еще одно “профессиональное” раздвоение между требованиями в уровне строгости решения прикладной математической задачи у математиков и прикладников.
Свой вклад в подобную раздвоенность могли бы внести и вычисления, которые, как известно, почти никогда не проводятся полностью на “вейерштрассовском” уровне строгости. Однако, отойдя от традиций Эйлера и других корифеев “золотого” периода, математики теоретико-множественного направления перестали вычислять. Эта деятельность была предоставлена астрономам, артиллеристам и т. п. , а также небольшой группе специалистов-вычислителей, которые считались находящимися где-то между математиками и инженерами. Достижения в этой области подавляющим большинством математиков не принимались всерьез; во всяком случае они считались совершенно несравнимыми с поражающими воображение достижениями в новых направлениях.
Отмечу, что позже, когда вычислительная математика вошла в моду, произошло дальнейшее расслоение: по остроумному выражению Р. С. Гутера, “работающие в области вычислительной математики делятся на тех, кто доказывает сходимость вычислительных процессов и существование решений, и тех, кто применяет вычислительные процессы и получает решения”. Именно эти последние приносят непосредственную пользу прикладным наукам.
1. 4. Что включать в математику?
Что такое прикладная математика? Вообще, существует ли она? Эти вопросы сейчас вызывают порой ожесточенную дискуссию. Любопытно, что термин “прикладная математика” стал сейчас чрезвычайно модным.
Кажется, что наиболее распространенная точка зрения на понятие “прикладная математика” среди математиковсостоит в том, что прикладной математики вообще нет. Впрочем, разные математики вкладывают в эти слова совершенно различное содержание в зависимости от того, что они, математики, включают в самое математику. Одни считают, что математикой нужно называть лишь чисто дедуктивные построения. Все, что лежит вне таких построений, к математике и к математикам отношения не имеет и не должно называться математикой, даже прикладной. Ныне эта точка зрения редко высказывается вслух, но “неофициально” она еще довольно распространена. В действительности названная точка зрения, неправомерно и значительно суживающая границы Великой Науки Математики, приносит вред в первую очередь самой математике (и, конечно, делу подготовки молодых математиков). Вот что пишут по этому поводу М. Кац и С. Улам: “Попытки - к сожалению, довольно частые— изолировать “чистую” математику от всей остальной научной деятельности и заставить ее вариться в собственном соку могут лишь обеднить и математику, и прочие науки”.
Та же мысль высказывалась Ф. Клейном: “Чисто логические концепции должны составить, так сказать, тверды и скелет организма математики, сообщающий ей устойчивость и достоверность. Но самое жизнь математики, важнейшие наведения и ее продуктивность относятся преимущественно к ее приложениям, то есть к взаимным отношениям ее абстрактных объектов со всеми другими областями. Изгнать приложения из математики—это то же, что искать живое существо с одной только костной основой, без мускулов, нервов и сосудов”.
Процитируем, наконец, и А. Пуанкаре: “Физика не только дает математикам повод к решению проблем; она еще помогает найти к этому средства. Это происходит двояким путем. Во-первых, она дает нам предчувствия решения; во-вторых, подсказывает нам ход рассуждений”. Здесь, в сущности, выражена вторая точка зрения. Она заключается в том, что в сферу действия математики вводятся также и практические методы решения задач, приходящих извне математики (приближенные методы, применение математических машин и т. п. ). Однако еще более импонирует самая широкая — третья —точка зрения, согласно которой математика не только охватывает дедуктивные области, но и включает все математические сущности —математические объекты, методы и идеи, встречающиеся как в теоретической математике, так и в приложениях: имеются в виду построение математических моделей, математический эксперимент, индуктивные или другие рациональные рассуждения математического характера и т. п. В весьма интересной книге Д. Пойа говорится: “Пределы математики — это вся область доказательных рассуждений, относящихся к любой науке, достигнувшей того уровня развития, при котором относящиеся к этой науке понятия могут быть выражены в абстрактной, логико-математической форме”. Хочется добавить, что при этом в понятие доказательности не следует вкладывать узко догматическое содержание. Конечно, приверженцам этой точки зрения, которая представляется нам наиболее прогрессивной и плодотворной для математики (и, что довольно существенно, также для математиков), приходится поступиться “теоретико-множественным единством” математики, оставив его лишь за неким “ядром” математики.
1. 5. Точки зрения на прикладную математику.
Прежде всего, с огорчением отмечу, что, по мнению некоторых математиков, заниматься приложениями вообще зазорно. По этому поводу Ф. Клейн писал: ”К сожалению.... все еще встречаются университетские преподаватели, которые не находят достаточно презрительных слов по адресу всякого занятия приложениями. С высокомерием, которое сказывается в таких взглядах, должно бороться самым решительным образом. Всякое дельное достижение, относится ли оно к теоретической или к прикладной области, следовало бы ценить одинаково высоко, представляя каждому, возможность заниматься теми вещами, к которым он чувствует наибольшую склонность. Тогда каждый проявит себя тем более разносторонним образом, чем большим числом талантов он обладает: величайшие гении, каковы Архимед, Ньютон, Гаусс, всегда охватывали равномерно и теорию и практику”. Приведу еще слова Р. Куранта: “На самом деле между “чистой” и “прикладной” математикой невозможно провести четкую грань. Поэтому-то в математике не должно быть разделения на касту верховных жрецов, поклоняющихся непогрешимой математической красоте и внимающих только своим склонностям, и на работников, обслуживающих их. Подобная “кастовость”— в лучшем случае симптом человеческой ограниченности”. В. В. Новожилов пишет: “К сожалению, теоретик до сих пор нередко рассматривает “прикладника” как математика второго сорта, как ученого, который не способен работать предельно строго, разменивается на частности в ущерб общности. Легко обнаруживая у “прикладников” промахи в строгости рассуждений, теоретик часто остается равнодушным к их основному достоинству — умению с достаточной для практических целей точностью решать такие актуальные задачи, которые он сам строгими методами решить не может”.
