Основы линейной алгебры на примере балансовой модели - (курсовая)
p>При решение балансовых уравнений по-прежнему используется лишь основная часть матрицы ( структурная матрицаА). Однако при расчете на планируемый период затрат труда или капиталовложений, необходимых для выпуска данного конечного продукта, принимают участие дополнительные строки.Так, пусть, например, производится единица продукта 1-й отрасли, т. е.
_ 1
У = 0
:
0 .
Для этого требуется валовый выпуск продукции
S11
_ _ S21
x = S1 = :
Sn1
Подсчитаем необходимые при этом затраты труда Sn+1, 1. Очевидно, исходя из смысла коэффициентов an+1, k прямых затрат труда как затрат на единицу продукции k-й отрасли и величин S11, S12, …, S1n, характеризующих сколько единиц продукции необходимо выпустить в каждой отрасли, получим затраты труда непосредственно в 1-ю отрасль как an+1, 1S11, во 2-ю – an+1, 2S21 и т. д. , наконец в n-ю отрасль an+1, nSn1. Суммарные затраты труда, связанные с производством единицы конечного продукта 1-й отрасли, составят:
_ _
Sn+1, 1 = an+1, 1S11 + an+1, 2S21 + … + an+1, nSn1 = an+1S1 ,
т. е. равны скалярному произведению ( n+1 )-й строки расширенной матрицы А', которую обозначим an+1, на 1-й столбец матрицы S. Суммарные затраты труда, необходимые для производства конечного продукта k-й отрасли, составят: _ _
Sn+1, k = an+1Sk ( 13 )
Назовем эти величины коэффициентами полных затрат труда. Повторив все приведенные рассуждения при расчете необходимых капиталовложений, придем аналогично предыдущему к коэффициентамполных затрат капиталовложений: _ _
Sn+2, k = an+2Sk ( 14 )
Теперь можно дополнить матриц S строками, состоящими из элементов Sn+1, k и Sn+2, k, образовать расширенную матрицу коэффициентов полных затрат:
S11 S12 … S1k … S1n матрица коэффициентов S21 S22 … S2k … S2n полных внутрипроизводст. ………………………………… затрат
S' = Si1 Si2 … Sik … Sin
………………………………… ( 15 )
Sn1 Sn2 … Snk … Snn
Sn+1, 1 Sn+1, 2 … Sn+1, k … Sn+1, n дополнительные строки Sn+2, 1 Sn+2, 2 … Sn+2, k … Sn+2, n
Пользуясь этой матрицей можно рассчитать при любом заданном ассортиментном вектореУ не только необходимый валовый выпуск продукции х ( для чего используется матрица S ), но и необходимые суммарные затраты труда xn+1, капиталовложений xn+2 и т. д. , обеспечивающих выпуск данной конечной продукции У. Очевидно,
xn+1 = Sn+1, 1y1 + Sn+1, 2y2 + … + Sn+1, nyn , ( 16 )
xn+2 = Sn+2, 1y1 + Sn+2, 2y2 + … + Sn+2, nyn ,
т. е. суммарное количество труда и капиталовложений, необходимых для обеспечения ассортиментного вектора конечной продукцииУ, равны скалярным произведениям соответствующих дополнительных строк матрицы S' вектор У. Наконец, объединяя формулу ( 7 ) с формулами ( 16 ), приходим к следующей компактной форме:
x1
x2
_ : _
x = xn = S'У ( 17 )
xn+1
xn+2
Пусть дополнительно к данным, помещенным в табл. 2, известны по итогам исполнения баланса фактические затраты труда xn+1, k ( в тыс. человеко-часов ) и капиталовложений xn+2, k ( в тыс. руб. ), которые записаны в табл. 3 Переходя к коэффициентам прямых затрат aik, получим расширенную матрицу:
0. 2 0. 4
А' = 0. 55 0. 1
0. 5 0. 2
1. 5 2. 0
Таблица 3
№ отраслей потребление итого конечный валовый
№ затрат продукт выпуск
отраслей 1 2
1 100 160 260 240 500
2 275 40 315 85 400
труд 250 80 330
капиталовложе- 750 800 1550 ния
Обратная матрица S = ( E - A )-1 была уже подсчитана в предыдущем пункте. На основании ( 13 ) рассчитаем коэффициенты полных затрат труда ( Sn+1, k=S3, k ): _ _
S31 = a3·S1 = 0. 5 · 1. 8 + 0. 2 · 1. 1 = 1. 12 ;
_ _
S32 = a3·S2 = 0. 5 · 0. 8 + 0. 2 · 1. 6 = 0. 72
и капиталовложений Sn+2, k = S4, k:
_ _
S41 = a4·S1 = 1. 5 · 1. 8 + 2. 0 · 1. 1 = 4. 9 ;
_ _
S42 = a4·S2 = 1. 5 · 0. 8 + 2. 0 · 1. 6 = 4. 4 .
Таким образом, расширенная матрица S' коэффициентов полных затрат примет вид:
1. 8 0. 8
S' = 1. 1 1. 6
1. 12 0. 72
4. 9 4. 4
Если задаться на планируемый период прежним ассортиментным вектором У = 240 , то рассчитав по формулам ( 16 ) суммарные затраты труда xn+1 и 85
капиталовложений xn+2, получили бы xn+1 = x3 = 1, 12 · 240 + 0. 72 · 85 = 268. 8 + 61. 2 = 330 тыс. чел. -ч. и xn+2 = xn= 4. 9 · 240 + 4. 4 · 85 = 1176 + 374 = 1550 тыс. руб. , что совпадает с исходными данными табл. 3.
Однако в отличие от табл. 3, где эти суммарные затраты группируются по отраслям ( 250 и 80 или 750 и 800 ), здесь они распределены по видам конечной продукции: на продукцию 1-й отрасли 268. 8 и на продукцию 2-й отрасли 61. 2; соответственно затраты капиталовложений составляют 1176 и 374.
При любом новом значении ассортиментного вектора Увсе показатели плана, такие, как валовая продукция каждой отрасли и суммарные расходы трудовых ресурсов и капиталовложений найдем из формулы ( 17 ). Так, пусть задан ассортиментный вектор У = 480 . Тогда 170
_ х1 1. 8 0. 8 1000 х = х2 = 1. 1 1. 6 480 = 800
х3 1. 12 0. 72 170 600
х4 4. 9 4. 4 3100
Отсюда заключаем, что запланированный выпуск конечного продукта У может быть достигнут при валовом выпуске 1-й и 2-й отраслей: х1=1000 и х2=800, при суммарных затратах труда х3=660 тыс. чел. -ч. и при затратах капиталовложений х4=3100 тыс. руб.
Рассмотренные теоретические вопросы и примеры расчета, конечно, далеко не исчерпывают важную для практики область балансовых исследований. Здесь проиллюстрировано только одно направление приложения линейной алгебры в экономических исследованиях.
Задача
В таблице указаны расходные нормы двух видов сырья и топлива на единицу продукции соответствующего цеха, трудоемкость продукции в человеко-часах на единицу продукции, стоимость единицы соответствующего материала и оплата за 1 чел. -ч.
Таблица
Нормы расхода
Обозначения Стоимость
I II III
Сырье I 1. 4 2. 4 0. 8 a4 5
Сырье II – 0. 6 1. 6 a5 12
Сырье III 2. 0 1. 8 2. 2 a6 2
Трудоемкость 10 20 20 а7 12
Определить:
а) суммарный расход сырья, топлива и трудовых ресурсов на выполнение производственной программы;
б) коэффициенты прямых затрат сырья, топлива и труда на единицу конечной продукции каждого цеха;
в) расход сырья, топлива и трудовых ресурсов по цехам;
г) производственные затраты по цехам ( в руб. ) и на всю производственную программу завода;
д) производственные затраты на единицу конечной продукции.
Решение:
а) Суммарный расход сырья I можно получить, умножив соответствующую 1-ю строку второй таблицы на векторх, т. е.
_ _ 235
а4х = ( 1. 4; 2. 4; 0. 8 ) 186 = 1088
397
Аналогично можно получить расход сырья II и т. д.
Все это удобно записать в виде произведения:
1. 4 2. 4 0. 8 235 1088 Сырье I 0 0. 6 1. 6 186 = 746 Сырье II 2. 0 1. 8 2. 2 397 1678 Топливо 0. 1 0. 2 0. 2 1409 Человеко-часов.
б) Расход сырья I на единицу конечной продукции 1-го цеха ( у1=1 ) найдем из выражения 1. 4S11 + 2. 4S21 + 0. 8S31. Следовательно, соответствующие коэффициенты полных затрат сырья, топлива и труда на каждую единицу конечного продукта получим из произведения матрицы: I II III
1. 4 2. 4 0. 8 1. 04 0. 21 0. 02 1. 97 2. 92 1. 36 Сырье I
0 0. 6 1. 6 0. 21 1. 05 0. 13 = 0. 17 0. 84 2. 09 Сырье II
2. 0 1. 8 2. 2 0. 03 0. 13 1. 26 2. 53 2. 60 5. 23 Топливо
10 20 20 15. 2 24. 8 28. 0 Труд
Таким образом, например, для изготовления у1=1 необходимо затратить 1. 97 единиц сырья I, 0. 17 единиц сырья II, 2. 53 единиц топлива и 15. 2 чел. -ч.
в) Расход сырья, топлива и т. д. по каждому из цехов получим из умножения их расходных норм на соответствующие валовые выпуски по цехам. В результате получим матрицу полных расходов:
I II III
Сырье I 330 440 318
Сырье II 0 111 635
Топливо 470 335 873
Труд 2350 3720 7940
г) Производственные расходы по цехам можем получить путем умножения слева строки стоимостей ( 5; 12; 2; 1. 2 ) на последнюю матрицу:
330 440 318
0 111 635 I II III
( 5; 12; 2; 1. 2 ) 470 335 873 = ( 5410; 8666; 20484 )
2350 3720 7940
д) Наконец, производственные затраты на единицу конечной продукции, необходимые для определения себестоимости продукции, можем найти путем умножения слева матрицы полных затрат, найденной в п. б. , на строку цен:
1. 97 2. 92 1. 36
0. 17 0. 84 2. 09 I II III
( 5; 12; 2; 1. 2 ) 2. 53 2. 60 5. 23 = ( 35. 3; 59. 6; 75. 7 )
15. 2 24. 8 28. 0
Таким образом, внутрипроизводственные затраты на единицу товарной продукции I, II и III цехов соответственно составляют: 35. 3 руб. , 59. 6 руб. , 75. 7 руб.
