Основы линейной алгебры на примере балансовой модели - (курсовая)
p>Теорема. Если существует хоть один неотрицательный вектор х>0, удовлетворяющий неравенству ( Е - А )·х>0, т. е. если уравнение ( 6' ) имеет неотрицательное решениеx>0, хотя бы для одного У>0, то оно имеет для любого У>0 единственное неотрицательное решение. При этом оказывается, что обратная матрица ( Е - А ) будет обязательно неотрицательной.Из способа образования матрицы затрат следует, что для предшествующего периода выполняется равенство ( Е -А )·х' = У', где вектор-планх' и ассортиментный вектор У' определяются по исполненному балансу за прошлый период, при этом У'>0. Таким образом, уравнение ( 6' ) имеет одно неотрицательное решение x>0. На основании теоремы заключаем, что уравнение ( 6' ) всегда имеет допустимый план и матрица ( Е - А ) имеет обратную матрицу.
Обозначив обратную матрицу ( Е - А )-1 через S = || sik+ ||, запишем решение уравнения ( 6'' ) в виде _ _
х = S·У ( 7 )
Если будет задан вектор – конечный продукт У и вычислена матрица S = ( E - A )-1, то по этой формуле может быть определен вектор-план х. Решение ( 7 ) можно представить в развернутой форме:
x1 = S11y1 + S12y2 + … + S1nyn
x2 = S21y1 + S22y2 + … + S2nyn ( 8 ) ………………………………
xn = Sn1y1 + Sn2y2 + … + Snnyn
ПОЛНЫЕ ВНУТРИПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ
ЗАТРАТЫ.
Выясним экономический смысл элементов Sik матрицы S.
Пусть производится только единица конечного продукта 1-й отрасли, т. е. 1
_ 0
У1 = ;
0
Подставляя этот вектор в равенство ( 7 ), получим
1 S11
_ 0 S21 _
х = S : = : = S1
0 Sn1 0 _ 1
задавшись ассортиментным вектором У2 = 0 , получим :
0
0 S12
_ 1 S22 _
х = S : = : = S2
0 Sn2
Аналогично, валовый выпуск х, необходимый для производства единицы конечного продукта k-й отрасли, составит
0 S1k
_ : S2k _
х = S 1 = : = Sk , ( 9 ) : Snk
0
т. е. k-й столбец матрицы S.
Из равенства ( 9 ) вытекает следующее:
Чтобы выпустить только единицу конечного продукта k-й отрасли, необходимо в 1-й отрасли выпустить х1=S1k, во 2-й х2=S2k и т. д. , в i-й отрасли выпустить xi=Sik и, наконец, в n-й отрасли выпустить xn=Snk единиц продукции. Так при этом виде конечного продукта производства только единица k-го продукта, то величины S1k, S2k, …, Sik, …, Snk, представляют собой коэффициенты полных затрат продукции 1-й, 2-й и т. д. , n-й отраслей идущей на изготовление указанной единицы k-го продукта. Мы уже ввели раннее коэффициенты прямых затрат a1k, a2k, …, aik, …, ank на единицу продукции k-й отрасли, которые учитывали лишь ту часть продукции каждой отрасли, которая потребляется непосредственноk-йотраслью. Но, очевидно, необходимо обеспечить замкнутый производственный цикл. Если бы продукцияi-й отрасли поступала бы только в k-ю отрасль в количестве aik, то производство k-йотрасли все равно не было бы обеспеченно, ибо потребовалось еще продукты 1-й отрасли (a1k ), 2-й отрасли (a2k) и т. д. А они в свою очередь не смогут работать, если не будут получать продукцию той жеi-й отрасли ( ai1, ai2, … и т. д. ). Проиллюстрируем сказанное на примере табл. 2 Пусть нас не интересует выпуск для внешнего потребления продукции 2-й отрасли ( k=2 ) и мы хотим определить затраты продукции 1-й отрасли на единицу этой продукции. Из табл. 2 находим, что на каждую единицу продукции 2-й отрасли ( х2=1 ) затрачивается: продукции 1-й отрасли a12=0. 4 и 2-й отрасли a22=0. 1. Таковы будут прямые затраты. Пусть нужно изготовить у2=100. Можно ли для этого планировать выпуск 1-й отрасли х1=0. 4100=40 ? Конечно, нельзя, т. к. необходимо учитывать, что 1-я отрасль часть своей продукции потребляет сама ( а11=0. 2 ), и поэтому суммарный ее выпуск следует скорректировать: х1=40+0. 240=48. Однако и эта цифра неверна, т. к. теперь уже следует исходить из нового объема продукции 1-й отрасли– х1'=48 и т. д. Но дело не только в этом. Согласно табл. 2 продукция 2-й отрасли также необходима для производства и 1-й и 2-й отраслей и поэтому потребуется выпускать больше, чем у2=100. Но тогда возрастут потребности в продукции 1-й отрасли. Тогда достаточно обратиться к составленной систем уравнений, положив у1=0 и у2=1 ( см п. 2 ):
0. 8х1 - 0. 4х2 = 0
-0. 55х1 + 0. 9х2 = 1
Решив эту систему, получим х1=0. 8 и х2=1. 5. Следовательно, для того чтобы изготовить единицу конечного продукта 2-й отрасли, необходимо в 1-й отрасли выпустить продукции х1=0. 8. Эту величину называют коэффициентом полных затрат и обозначают ее через S12. Таким образом, если а12=0. 4 характеризует затраты продукции 1-й отрасли на производство единицы продукции 2-й отрасли, используемые непосредственно во 2-й отрасли ( почему они и были названыпрямые затраты ), то S12 учитывают совокупные затраты продукции 1-й отрасли как прямые ( а12 ), так и косвенные затраты, реализуемые через другие ( в данном случае через 1-ю же ) отрасли, но в конечном счете необходимые для обеспечения выпуска единицы конечного продукта 2-й отрасли. Этикосвенные затраты составляют S12-a12=0. 8-0. 4=0. 4 Если коэффициент прямых затрат исчисляется на единицу валового выпуска, например а12=0. 4 при х2=1, то коэффициент полных затрат рассчитывается на единицу конечного продукта. Итак, величина Sik характеризует полные затраты продукции i-й отрасли для производства единицы конечного продукта k-й отрасли, включающие как прямые ( aik ), так и косвенные ( Sik - aik ) затраты. Очевидно, что всегда Sik > aik.
Если необходимо выпустить уk единиц k-гоконечного продукта, то соответствующий валовый выпуск каждой отрасли составит на основании системы ( 8 ):
x1 = S1k·yk, x2 = S2k·yk, …, xn = Snk·yk ,
что можно записать короче в виде:
_ _
x = Sk·yk ( 10 )
Наконец, если требуется выпустить набор конечного продукта, заданный ассортимент
_ у1
ным вектором У = : , то валовый выпуск k-й отрасли xk, необходимый для его уn
обеспечения, определится на основании равенств ( 10 ) как скалярное произведение столбцаSk на вектор У, т. е.
_ _
xk = Sk1y1 + Sk2y2 + … + Sknyn = Sk·y , ( 11 ) а весь вектор-план х найдется из формулы ( 7 ) как произведение матрицы S на вектор У. Таким образом, подсчитав матрицу полных затрат S, можно по формулам ( 7 ) –( 11 ) рассчитать валовый выпуск каждой отрасли и совокупный валовый выпуск всех отраслей при любом заданном ассортиментном вектореУ.
Можно также определить, какое изменение в вектор-плане Dх = ( Dх1, Dх2, …, Dхn ) вызовет заданное изменение ассортиментного продукта DУ = ( Dу1, Dу2, …, Dуn ) по формуле: _ _
Dх = S·DУ , ( 12 )
Приведем пример расчета коэффициентов полных затрат для балансовой табл. 2. Мы имеем матрицу коэффициентов прямых затрат:
0. 2 0. 4
А =
0. 55 0. 1
Следовательно,
1 -0. 2 -0. 4 0. 8 -0. 4
Е - А = =
-0. 55 1 -0. 1 -0. 55 0. 9
Определитель этой матрицы
0. 8 -0. 4
D [ E - A ] = = 0. 5
-0. 55 0. 9
Построим присоединенную матрицу ( Е - А )*. Имеем:
0. 9 0. 4
( Е - А )* = ,
0. 55 0. 8
откуда обратная матрица, представляющая собой таблицу коэффициентов полных затрат, будет следующей:
1 0. 9 0. 4 1. 8 0. 8
S = ( Е - А )-1 = ––– =
0. 5 0. 55 0. 8 1. 1 1. 6
Из этой матрицы заключаем, что полные затраты продукции 1-й и 2-й отрасли, идущие на производство единицы конечного продукта 1-й отрасли, составляет S11=0. 8 и S21=1. 5. Сравнивая с прямыми затратами а11=0. 2 и а21=0. 55, устанавливаем, косвенные затраты в этом случае составят 1. 8-0. 2=1. 6 и 1. 1-0. 55=0. 55.
Аналогично, полные затраты 1-й и 2-й отрасли на производство единицы конечного продукта 2-й отрасли равны S12=0. 8 и S22=1. 5, откуда косвенные затраты составят 0. 8-0. 4=0. 4 и 1. 6-0. 1=1. 5. Пусть требуется изготовить 480 единиц продукции 1-й и 170 единиц 2-й отраслей.
Тогда необходимый валовый выпуск х = х1 найдется из равенства ( 7 ): х2
_ _ 1. 8 0. 8 480 1000 х = S·У = · =
1. 1 1. 6 170 800 .
ПОЛНЫЕ ЗАТРАТЫ ТРУДА, КАПИТАЛОВЛОЖЕНИЙ И Т. Д.
Расширим табл. 1, включив в нее, кроме производительных затрат xik, затраты труда, капиталовложений и т. д. по каждой отрасли. Эти новые источники затрат впишутся в таблицу как новые n+1-я, n+2-я и т. д. дополнительные строки. Обозначим затраты труда в k-ю отрасль через xn+1, k, и затраты капиталовложений – через xn+2, k ( где k = 1, 2, …, n ). Подобно тому как вводились прямые затраты aik, xn+1, k
введем в рассмотрение коэффициенты прямых затрат труда an+1, k = ––––– , и xk
xn+2, k
капиталовложений an+2, k = ––––– , представляющих собой расход соответствующего xk
ресурса на единицу продукции, выпускаемую k-йотраслью. Включив эти коэффициенты в структурную матрицу ( т. е. дописав их в виде дополнительных строк ), получим прямоугольную матрицу коэффициентов прямых затрат:
a11 a12 … a1k … a1n
a21 a22 … a2k … a2n основная часть матрицы …………………………………
А' = ai1 ai2 … aik … ain
…………………………………
an1 an2 … ank … ann
an+1, 1 an+1, 2 … an+1, k … an+1, n
an+2, 1 an+2, 2 … an+2, k … an+2, n дополнительные строки
